有一则有趣的谜语：“无处不在，到处可见”,打的是一种自然物质。谜底是“ 空气”.数学就像空气一样，到处都有，谁都离不开它，但又不能直接看清其真面目 .精彩的赛场上，记录赛场风云的比分牌上是数字，决定前途命运的考卷上记载成绩 的是数字，每个人年龄、身高、体重等的记录是数字……；日月星辰，高山大河，花 草树木，虫鱼鸟兽，从庄严的天安门到雄伟的万里长城，从桌椅板凳到小小的铅笔、 橡皮、文具盒，记载它们的除具体的数字外，它们还都各有不同的形状：长长的、圆 圆的、弯弯曲曲的、方方正正的……；体现它们美的更是奇妙：垂直的、对称的、有 比例的、有顺序的……；运算更是无处不在，无所不及：加减乘除、乘方开方、指数 与幂……；另外还有特殊意义的数：代表顺利的数、表示吉祥的数、破碎的数、永无 止境的数……；另外还有许多的传奇人物、古有把圆周率精确到小数点后七位数字的 祖冲之，今有攀登数学峰巅摘取数学皇冠明珠的陈景润……；还有国王赏麦、爱因斯 坦记数、李白斟酒、岳家军点兵、国王择臣、武松数念珠等妙趣横生的故事。这里我 们就讲一下有趣的数、奇妙的形、多变的运算。数学王国的奥妙将尽收眼底。
1.“六六大顺”
数字真奇妙，还能象征吉祥、顺利，其中“6”是人们最常用的，另外还有一些 ,小朋友们，你想知道吗？
古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为，6是属于美神维纳斯的，它象 征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天 时间……
自然数6为什么备受人们青睐呢？
原来，6是一个非常“完善”的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系，6的因数 共有4个：1、2、3、6,除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家 们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！
数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。例如，28也是一个完全数，它的真 因数有1、2、4、7、14,而1+2+4+7+14正好等于28.
在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。有人统计过， 在1万到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到 1952年，在2000多年的时间里，已被发现的完全数总共才有12个。
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1+1=10吗？
我们初学算术时，就早已知道1+1=2.可是，当我们学到了二进位制的计数法以后 ,就知道在二进位制里1+1=10,而不是1+1=2.因为，在二进位制里，根本就没有2这个 数字的。
2.揭开数的红盖头
“0”很简单，通常表示什么也没有。它真的代表什么都没有吗？答案是否定的 ,小朋友们，这是为什么？
0是数学中最有用的符号之一。但它的发明是来之不易的。一般认为，印度人在 公元6世纪最早用黑点“.”表示零，后来逐渐变成了0.我国古代用算筹运算时，怕发 生定位错误，开始用“”代表空位，后来用铜板似的圆物代替，并逐渐写成0.
现在通用十进制来表示自然数。就是低一位的数满10后就进到高一位上去。这种 十进位制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才发展而成的。
零是一个非常重要的数，记作“0”.它通常表示什么也没有，如2-2=0,但实际上 零表示的意义非常丰富，也可以表示有，如0℃=32°F,这里用零摄氏度表示冰点的温 度，它等于32华氏度。在数轴上，0表示原点，也就是起点的意思。
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古老的自然数
原始人最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。如表示1,2,3,4,5 个物体，就分别伸出1,2,3,4,5个手指，10个物体伸出两只手。要表示很多时，就用 小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代替。这些1,2,3,……就是 自然数。自然数是我们祖先最早认识的数，它们为正整数。
3.美，尽在自然中
凡是美的事物，都非无缘无故的，自然美也是如此，你知道其中的奥妙吗？
自然界中许多美丽的动物、植物，在造形外貌上，都有一种不可言喻的美感，这 是因为它们都具有最均匀美丽的比例--黄金比例。
早在古希腊时代，人们就已经发现了这种黄金分割的比例--1∶1.618.这个比例 常被引用在建筑物的设计上以及绘画的构图等方面，它提供了人们视觉上的最大享受 .
人体的比例
人的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是人体肚脐到脚跟的黄金分割点。
自然界中常见的黄金比例
在绘画中可见到的黄金比例
在名画“拾穗者”中，整个均匀的构图中都是黄金比例。
狗的头骨
鸡蛋
悬铃木叶
斑蝶
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黄金长方形
在长方形中，长、宽之比是黄金比例的长方形是最美丽的长方形。大多数门窗的 长宽之比是黄金分割。
4.应运而生的负数
随着人类历史的进程，最原始的正数记数法已满足不了需要，人们就想办法把相 反意义的量表示出来，那么负数是如何引入的？
今天人们都能用正负数来表示相反意义的两种量。例如若以海平面为0点，世界 上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8848米，世界上最深的马里亚纳海沟深为-11034米。 在日常生活中，则用“+”表示收入，“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却 经历了漫长而曲折的道路。
古代人在实践活动中遇到了一些问题：若相互间借用东西，对借出方和借入方来 说，同一样的东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠某个成员一 定数量。再如，从一个地方，两个骑者同时向相反的方向奔驰，离开出发点的距离即 使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，古代人意识到仅用数量来表示一事物是 不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反意义的量和解决被减数 小于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在二千年前的《九章算术》中，就 有了以卖出粮食的数目为正（可收钱），买入粮食的数目为负（要付钱），的入仓为 正、出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
5.虚虚实实，虚中有实
虚数并非真的是虚假的，有人说虚数是虚假的、错误的，为什么？
“虚数”这个名词，听起来好像“虚”,实际上却非常“实”.
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开平方。如果被开方数不 是负数，可以算出要求的根；如果是负数，怎么办呢？
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也 没有用复数来表达的量，因此，在很长一段时间里，人们对虚数产生了种种怀疑和误 解。笛卡尔称“虚数”的本意是指它是虚假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“ 虚数是美妙而奇异的神录隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在 许多地方用了虚数，但又说一切形如-1、-2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
欧拉之后，挪威一个测量学家维塞尔，提出把复数a+bi用平面上的点（a,b）来 表示。后来，高斯提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用 开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量），这在水力学、地图学 、航空学中的应用是十分广泛的。
6.数学黑洞“西西弗斯串”
在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论 他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推 ,永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。
什么是数学黑洞“西西弗斯串”呢？
西西弗斯串就是任取一个数，例如35962,数出这个数中的偶数个数、奇数个数、 及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用 这三个数组成下一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1,2,3,将数串123再重 复进行，仍得123.对这个程序和数的“宇宙”,123就是一个数学黑洞。
是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。例如： 88883337777444992222,在这个数中偶数、奇数、全部数字个数分别为11、9、20,将 这三个数合起来得到11920,对11920这个数串重复这个程序得到235,再重复这个程序 得到123,于是便进入“黑洞”了。
这就是数学黑洞“西西弗斯串”.同学们努力学习，去探索、发现其中的奥秘吧 !
7.难识庐山真面目
我国南朝著名数学家祖冲之把圆周率精确到小数点以后第七位，堪称世界第一， 你想了解圆周率的故事吗？
圆的周长与直径之比是一个常数，称为圆周率，用希腊字母π来表示。在古代， π值的计算一直为数学家们所关注。一位德国的数学家曾说：“历史上一个国家所算 得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志。”
古代的埃及和巴比伦，π是以3来计算的。例如，量出树干的周长，然后用3来除 ,就得出树干的直径。但这样算出的直径是很不精确的。那么，π值究竟是多少呢？
第一个用正确方法计算π值的，是我国三国时期的刘徽。公元263年，他利用圆 的内接正多边形的面积接近于圆面积的方法，算得π的值约为3.14.这种方法称为割 圆术。
公元460年，我国南朝的著名数学家祖冲之仍采用刘徽的割圆术，算得的圆周率 为：3.1415926<π<3.1415927,这是世界上获得的第一个具有7位小数的圆周率。祖冲 之的这个π值记录保持了1000多年。
1427年，阿拉伯数学家阿尔·卡西经过长期努力，算得了具有16位小数的π值。 1596年，荷兰数学家卢道夫又把π值计算到了35位小数。从此，西方数学家计算π的 工作，有了飞速的进展。
现代数学已经证明，π值是永不循环的无限小数。1990年，美国数学家应用电子 计算机已把π值算到4.8亿位。
8.貌似孪生，品质不同
数奥妙无穷，计算更是妙趣横生，十进位计数法与十进位记数法是不是一样的？
我们在计数的时候，从一、二、三、四、五、六、七、八、九到十，一共创造了 10个数字，从十以上就是十一、十二、十三……一直要到一百，才用上一个新的数字 “百”,而一百刚好是10个“十”.这样的计数方法，叫做十进位计数法。
我们在记数的时候，只用了10个数字，那就是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9.比9大1的这个数“十”,用10来表示。从11、12、13……到19很容易记，比19大1, 只要进位变成20,到99以后，又进位变成100.这样的记数法，叫做十进位记数法。
小朋友们，你知道它们的区别了吧。
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罗马数字没有“0”
原来在5世纪的时候，“0”已经从东方传到罗马了。可是，当时的罗马教皇非常 保守，认为罗马数字可以用来记任何数目，已经足够应用，就下命令禁止大家使用“ 0”.一位罗马学者的手册介绍了0和0的一些用法，罗马教皇发现后大发雷霆，对他施 以酷刑。因此，罗马数字没有0.
9.孙大圣与猴子竞风流
通常人们把0.1和0.10看成是同一个数，认为它们表达的意思是一样的，0.1和 0.10是一样的吗？
我们只学到准确小数的时候，认为两者的值是完全一样的，而且0.10不是最简分 数的写法。但是，当我们学到近似小数的时候，情况就不同了，近似小数所表示的， 实际上是一个数值的范围。为了使我们的近似小数尽量精确，我们要求这个数值范围 尽可能地小，0.10这个近似小数也许是从0.095用“五入”得到的，也可能是从 0.1049用“四舍”得到的，如果用X表示它的准确值，那么0.095X<0.105,它的范围 要比0.1小得多了。
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中国人发明的小数
分母是10,100,1000……的真分数，可以改写成不带分母的形式，这种形式的数 ,称为十进位小数，简称小数。例如，310=0.3,2341000=0.234.符号“.”称为小数 点。
小数是中国人首先发明和使用的。在南宋人数学家秦九韶的著作《数书九章》中 ,出现了十进位小数的现代记法。
10.同族兄弟手足情
数很奇怪，一般认为整数肯定多于偶数，然而它们却是数量相等的，你知道吗？
你一定会回答，当然整数比偶数多，而且应该多1倍，不是吗？如果从正整数1到 100来算，整数有100个而偶数却只有50个啊！可是，如果我们用一一对应的方法来比 较一下，对每一个整数，可以在偶数里找到它对应的数，如-5可以找-10,-4可以找- 8,1可以找2,100可以找200,总是可以找到的。反过来，每一个偶数也可以找到它对应 的整数，如-4找-2,100找50等等，总可以找到，所以，整数与偶数一样多。
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为什么1不算素数？
如果“1”也算作素数，那么把一个合数分解成素因数的时候，它的答案也就不 只一个了。例：把3003分解成素因数相乘的形式，就会出现下面的结果。3003=3×7 ×11×13;3003=1×3×7×11×13;3003=1×1×3×7×11×13.也就是说，我们在分解 式里，可以随便添加几个因数“1”.这样做，一方面对于求3003的素因数，毫无必要 ,另一方面分解素因数的结果不止1个，增添了不必要的麻烦。
11.“土地丈量”创佳绩
举世闻名的金字塔，美丽诱人的尼罗河，勾起人们多少美妙的遐思，埃及--人类 文明的发祥地。勤劳善良的古埃及人创造了灿烂的文化，从土地丈量中创造了几何学 ,小朋友，你知道吗？
在5000多年以前，古埃及尼罗河每年都要泛滥洪水，淹没大片的农田。洪水带来 的泥土覆盖在田地上，使原有的田地界限无法辨认。所以每当洪水退去以后，人们就 要重新丈量土地，于是就产生了最早的几何学。几何学的原意就是“土地丈量”.
当时在古埃及从事土地丈量的人，叫做丈量师。他们用三边的比是3∶4∶5的绳 子围成的三角形是直角三角形的原理，来作直角。
直角三角形的面积与用绳子拉成的长方形的面积相同。
直角梯形的面积与用同边长的绳子拉成的长方形的面积相同。
这种土地测量的方法，传入古希腊后，逐渐形成研究图形性质的学问，即几何学 .
用绳子测量直角三角形的面积
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什么是几何学？
几何学就是根据许多定义和公理，思考为什么，并一一证明出定理的一门学问。
12.方方正正、各显神彩
铺地的美术砖总是正方形或正六边形的这是为什么？用相等的任意四边形材料能 铺地板吗？
在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙，就是正三角形、 正方形和正六边形。因为正三角形的1个角等于60°，6个拼在一起，在公共顶点上的 6个角之和等于360°；正方形一个角是90°，四个拼在一起，4角之和刚好等于360° ;正六边形的1个角等于120°，3个拼在一起为360°。而其他正多边形不能达到这一 要求。而6个三角形相拼又不及另两种相拼好看。因此，在艺术设计上，一般用正方 形和正六边形的美术砖较多。