=100a2+10ab+100a-10ab+bc=100a（a+1）+bc如42×48=?,可以用十位数字乘以比 十位数字大1的数，即，4×5=20,再用两个数的个位数字相乘，即2×8=16,最后把两 个乘积写在一起，即：2016,即42×48=2016.
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4个连数相乘再加1,就是一个完全平方数
4个相邻自然数中，设最小的1个是a,那么，我们就来研究下面的数究竟是不是一 个完全平方数：a（a+1）（a+2）（a+3）+1=a（a+3）（a+1）（a+2）+1=（a2+3a） （a2+3a+2）+1=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1=（a2+3a+1）2.好了，a是一个自然数，（ a2+3a+1）2不就是个自然数的完全平方么？
24.屡战屡胜，布阵各异
二人对阵，其乐无穷，下二局完全相同的象棋其可能性极小，这是为什么？
下象棋开局的时候，一般变化不太多，但后来厮杀时，变化较多，一只车就可以 前后左右有十来种走法。所以，下一步棋有10种到20种变化也是完全可能的。如果双 方各走30步，那么变化也有1060即61位整数的数，所以一般说来，下棋，从头到尾完 全相同的棋局，其可能性是极小的。
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0也是偶数
我们讨论奇偶数，一般是指自然数范围以内的，0不是自然数，不在其内。究竟 是偶数还是奇数，判断的标准很简单。凡是能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇 数。所谓整除就是说商数应该是整数，而且没有余数。显然，因为0÷2=0,商数是整 数0,所以0是偶数。
25.第四名怎样找
某学校举行数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学获得前五名，在公布成绩前，他 们五人预测名次的谈话如下：A说：B第三名，丙第五名；B说：E第四名，D第五名；C 说：A第一名，E第四名；D说：C第一名，B第二名；E说：A第三名，D第四名。如果每 个名次都有人猜对，请预测获得第四名的应是哪位同学？
分析：根据A、B、C、D、E五个同学预测的名次列表格如下图：
12345A说BCB说〖5〗EDC说A〖5〗ED说CBE说〖4〗AD
由表格可知：第二名可能是B,从而第三名是A,第一名是C,第五名是D,因此第四名 应是E.
利用图形或表格进行逻辑推理的方法叫做图表法。
26.数学家有感于“农妇卖蛋”
一农妇去市场卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次又卖去剩下鸡 蛋的一半又半个；第三次卖去前两次卖后所剩下鸡蛋的一半又半个，最后又卖去所剩 下鸡蛋的一半又半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇原有多少鸡蛋？
“农妇卖蛋”是一个经典问题。
许多数学爱好者对这个问题十分感兴趣，并给出了许多解答方法，但多数方法较 为繁琐。瑞士著名的数学家欧拉对这个问题给出了一个别具一格的解法：设第三次卖 完后所剩（第四次卖去）的鸡蛋，第二次卖完后所剩鸡蛋数应为：（3+0.5）×2=7（ 个），因此，农妇原有鸡蛋数为：（7+0.5）×2=15（个）
我们从欧拉对上述问题得到启发：有些数学问题，如果按正向思维去考虑问题， 有时难以入手或根本无法获解，但若能根据问题提供的条件，进行逆向思维去考虑， 则有获解的希望。欧拉解农妇卖蛋问题正是这种逆向思维方式的具体体现。
27.老鼠胜猫，人在作怪
有只老鼠，在圆形湖边碰到了猫，惊慌中跳进圆湖中，湖边上的D处有猫进不去 的石隙可以让老鼠藏身。猫在岸上跑的速度是老鼠在湖中游的速度的4倍，看来老鼠 无论游到何处上岸，猫都可以追捕到它，似乎老鼠是断无生机了，老鼠如何逃生？
分析：大圆内部表示圆湖，其半径为R,取R4为半径作一个同心圆S,让老鼠先游至 S圆，然后围圈游，猫在岸上沿大圆转。设CD是大圆的直径，CD与小圆交于E.现老鼠 应找到这样一个时机；当猫跑到C时，老鼠正好游到E的位置，然后沿ED方向游向湖岸 .因为ED的长等于34R,设老鼠的速度为V,则老鼠由E点到D点的时间为3R4V,但猫沿湖 岸到达E点所需的时间πR4V,而πR4V>3R4V,所以老鼠可以先上岸钻进岸边石隙逃生。
28.5法郎巧取1000法郎
亚历山大·大仲马是19世纪法国著名作家，但在世时生活却十分贫困，常常手无 分文。
一次偶然的机会，他急中生智索取1000法郎的酬金。大仲马怎样巧取酬金？
有一天，瓦利也杰剧院的经理找到大仲巴，愿意和他订一个合同，条件是：剧院 给大仲马1000法郎的酬金，要大仲马为剧院写一个剧本，在前25场演出后，必须使剧 院获得60000法郎的利润。于是双方在合同书上签了字。
很快，大仲马就把剧本写好了，演出时场场暴满，获得了很大的成功。当演到第 25场时大仲马便来到剧院找经理索取1000法郎的酬金。
经理见大仲马来了，不屑一顾地说：“您很不走运啊，大仲马先生！我们刚刚结 算完25场演出所获得的利润，仅仅收了59997法郎。……”
大仲马听后，心理很不是滋味，稍稍思考了片刻，一言不发，直奔售票处，花35 法郎买了一张门票，随即又迅速走进经理室：“经理先生，现在你剧院的收入已经是 60002法郎了。”他一边说，一边向经理扬着手中的门票。
这位经理先是一楞，转而惊叹大仲马的应变能力，这里的计算并不复杂，可却帮 了大仲马的忙，经理无可奈何，只好将1000法郎的酬金如数付给了他。
29.问羊有几何
百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。
什么是百羊问题？
这个问题说的是：“牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。
有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：”你赶来的这群羊 大概有一百只吧？“牧羊人答道：”如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一 半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百 只。“谁能知道牧羊人放牧的这群羊一共有几只？
根据题意，我们可设这群羊共有x只，则
x+x+12x+14x+1=100,解这个方程得：X=36,也就是牧羊人放牧的这群羊共有36只 .
第30.佛掌上的”明珠“
印度是个信奉佛教的国度，古印度人对数学的贡献被称为佛掌上的”明珠“.
在公元前3世纪，印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间，古印度人就 知道了数字符号和0符号的应用，这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后 ,印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制，大大简化了数的运算，并使记 数法更加明确。如古巴比伦的小记号既可以表示1,也可以表示1/60,而在印度人那 里符号1只能表示1个单位，若表示十、百等，须在1的后面写上相应个数的0,现代人 就是这样来记数的。
印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念，在 实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。
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阿拉伯人对古代数学的贡献，是现在人们最熟悉的1、2…9、0十个数字，称为阿 拉伯数字。但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数 字，并将它传给欧洲，架起了一座”数学之桥“.
在算术上，阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的 无理数运算，但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿 拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，并且用几何图形来解释它们的解 法。
31.神奇的生日组合
爱因斯坦出生在1879年3月14日。把这些数字连在一起，就成了1879314.重新排 列这些数字，任意构成一个不同的数（例如3714819），在这两个数中，用大的减去 小的（在这个例子中就是3714819-1879314=1835505），得到一个差数。把差数的各 个数字加起来，如果是二位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即 1+8+3+5+5+0+5=27,2+7=9）。
哥白尼的生日是1473年2月19日，牛顿的生日是1642年12月25日，高斯出生于 1777年4月30日，居里夫人出生于1867年11月7日，只要按照上面的方法去计算，最后 一定都得到9.实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9.
32.为神秘的”天外来客“祝福
相传毕达哥拉斯发现毕达哥拉斯定理以后，高兴得不得了，宰了100头牛大肆庆 贺了许多天。
说来有趣，正是这个让他欣喜若狂的定理，后来又使他狼狈万分，几乎无地自容 .
毕达哥拉斯错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比； 除此之外，就不再有别的什么东西了。
问题就出在这里。有一天，毕达哥拉斯的学生希伯斯，在世界上找到了一种既不 是整数，又不是整数之比的怪东西。
根据毕达哥拉斯定理，希伯斯算出边长为1的正方形的对角线的长度等于2.可是 ,2既不是整数，也不是整数的比。他惶惑极了：根据老师的看法，2应该是世界上根 本不存在的东西呀？
希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为 得意的一项发明，竟招来一位神秘的”天外来客“.
毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认2是一种新的数，因为他的全部” 宇宙“理论，都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论2,并且警 告说，不要忘记了入学时立下的誓言。
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毕达哥拉斯定理的内容是：在直角三角形里，两条直角边的平方和，一定等于斜 边的平方。这是几何学里一个非常重要的定理。
33.看谁得的金币多
一天，一个外星人来到了地球，他的名字叫欧米加。他可以十分准确地预言每一 个人在面临”两个里挑一个“时会选择哪一个。
欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的，总是装着100个金币；箱子 B不透明，它要么装着10000个金币，要么空着。他告诉每个受试者，有两种选择，一 种是拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是，当我预计你这样做时，我就让箱子 B空着，你就只能得到100个金币。另一种选择是只拿一个箱子B.如果我预计你这样做 时，我就放进箱子中10000个金币，你能全部得到它。
一个男孩子决定只拿箱子B,他的理由是，我已看见欧米加尝试了许多次，每次他 都预计对了。凡是拿两个箱子的人都只能得到100个金币，所以我只拿箱子B,就可以 得到10000个金币。
一个女孩子决定拿两个箱子，她的理由是，欧米加已经做完了他的预言，并且已 经离开了，箱子不会再变了。如果是空的，它还是空的，如果它是有金币的，它就仍 然有。所以：如果B中有金币，她只拿B,可得到10000个金币；两个都拿，可得10100 个金币。如果B箱空着，她只拿B,就什么也得不到；两个都拿，就至少可得100个金币 .因此，在每种情况下，她拿两个箱子都比拿一个箱子多得100个金币。
两种看法当然不可能都对。哪一种错了？为什么？这个由美国物理学家W·纽科 姆提出的悖论，至今还没有解决。
难拿的箱子
34.以”规“”矩“度天下之方圆
在山东省嘉祥县一座古代建筑的石室造像中，有两位古代神话中我们远古祖先的 形象，一位叫伏羲，一位叫女娲。伏羲手中的物体就是规，它呈两脚状，与现在的圆 规相似；女娲手中的物体叫做矩，它呈直角拐尺形。
原来，规就是画圆用的圆规，矩就是折成直角的曲尺。矩由长短两把尺合成，短 尺叫勾，长尺叫股，可以用来画直线或者作直角。
我国古代有位叫商高的数学家，曾详细介绍了用矩的方法。他说：
”把矩平放在地上，可以定出绳子的垂直；把矩竖立起来，可以测量物体的高度 ;把矩倒立过来，可以测量物体的深度；把矩平卧在地上，可以测量两地之间的距离 .矩旋转一周，就形成了一个圆形，两个矩合拢起来，就形成了一个方形。“墨子说 过：”造车的工匠“执其规矩，以度天下之方圆”;孟子说过：即使是离娄那样眼光 锐利的人，即使是鲁班那样心灵手巧的工匠，“不以规矩，不能成方圆”.
35.丢番图的墓志铭
被称为代数学之父的古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一首诗，既代表了他的生 平，又是对他的最好纪念。
墓中
长眠着一个伟大的人物
--丢番图！
他一生的六分之一时光，
是童年时代；
又度过了十二分之一岁月后，
他满脸长出了胡须；
再过了七分之一年月时，
举行了花烛盛典；
婚后五年，
得一贵子。
可是不幸的孩子，
他仅仅活了父亲的半生时光，
就离开了人间。
从此，作为父亲的丢番图，
在悲伤中度过四年后，
结束了自己的一生。
假设这位数学家的寿命为x岁，则：
x=16x+112x+17x+5+12x+4
得x=84,因此，丢番图是33岁结婚，38岁得子，儿子寿命为42岁，在丢番图80岁 时去世，他自己终年84岁。
36.日神显灵难倒柏拉图
传说在公元前4世纪，古希腊的雅典流行一种病疫，为了消除灾难，雅典人向日 神求助。日神说：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方体香案的体积扩大一 倍。”这个条件使雅典人很高兴，他们认为这是容易做到的，于是把旧香案的各棱放 大一倍，做了一个新的立方体香案。然而疫势反而更加猖獗。当雅典人再去祈祷日神 时，他们才知道新香案的体积并不是旧香案的两倍。这就难住了当时的人们，连最有 名的学者柏拉图也感到无能为力。
这就是几何作图中著名的倍立方体问题。用数学语言来表达，就是：“已知一立 方体，求作另一立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。”这一问题与三等分角 问题、化圆为方问题，构成了初等几何作图中的三大作图不能问题。
这个问题之所以不能解决，是因为当时的条件下作图时只能使用圆规和无刻度的 直尺。直尺只能用来“过两点作直线或延长线段”.圆规只能作圆或画弧。而且任何 作图题中只能有限次地使用直尺和圆规，这一规定一直延续至今，利用直尺、圆规可 以作三种基本图形：画线、作圆、求交点。凡是能由这三种基本技术经过有限次复合 而成的图形才算是用直尺和圆规作图，否则就是作图不能问题。倍立方体问题就是如 此。
37.拿破仑向法国数学家挑战
尺规作图特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返。连拿破仑这样一位威震 欧洲的风云人物，在转战南北的余暇，也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。有一次，他 还编了一道尺规作图题，向全法国数学家挑战呢。
拿破仑出的题目是：“只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分。”
由于圆心O是已知的，求出这个题目的答案并不难。