净收益每年不变的公式除了可直接用于测算价值,还有以下作用:①用于不同土地使用期限或不同收益期限的房地产(以下简称不同期限房地产)价格之间的换算;②用于比较不同期限房地产价格的高低;③用于市场法中因土地使用期限或收益期限不同进行的价格调整。
1)直接用于测算价值
【例61】某写字楼的土地是6年前以出让方式取得的建设用地使用权,国有建设用地使用权出让合同载明使用期限为50年,不可续期。预测该写字楼正常情况下每年的净收益为80万元,该类房地产的报酬率为8.5%。计算该写字楼的收益价值。
【解】该写字楼的收益价值计算如下:
V=A=Y1—1=(1+Y)n=80=8.5%1—1=(1+8.5%)50—6=915.19(万元)
【例62】某宗房地产的收益期限可视为无限年,预测其未来每年的净收益为80万元,该类房地产的报酬率为8.5%。计算该房地产的收益价值。
【解】该房地产的收益价值计算如下:
V=A=Y=80=8.5%=941.18(万元)与例61中44年土地使用期限的写字楼价值915.19万元相比,例62中无限年的房地产价值要大25.99万元(941.18—915.19=25.99)。
【例63】6年前,甲单位提供一块面积为1X000m2、使用期限为50年的土地,乙企业出资300万元,合作建设一幢建筑面积为3X000m2的钢筋混凝土结构办公楼。建设期为2年。建成后的办公楼建筑面积中,1X000m2归甲单位所有,2X000m2由乙企业使用20年,使用期满后无偿归甲单位所有。现在,乙企业有意将其使用部分的办公楼在使用期满后的剩余期限买下来,甲单位也乐意出卖。但双方对价格把握不准并有争议,协商请房地产估价机构评估。
【解】本题的估价对象是未来16年后(乙企业的使用期限为20年,扣除已经使用的4年,剩余期限为16年)的28年土地使用权(土地使用期限为50年,扣除建设期2年和乙企业的使用期限20年,剩余期限为28年)和房屋所有权现在的价值。估价思路之一是采用市场法,寻找市场上类似房地产44年的价值和16年的价值,然后将两者相减即是。估价思路之二是采用收益法(未来净收益的现值之和),其中又有两种求法:一是先求取未来44年净收益的现值之和及未来16年净收益的现值之和,然后将两者相减;二是直接求取未来16年后的28年净收益的现值之和。
下面采用收益法的第一种求法。
据调查得知,现时与该办公楼相似的写字楼每平方米建筑面积的月租金平均为80元,据估价师分析预测,其未来月租金稳定在80元,出租率为85%,年运营费用约占年租赁有效毛收入的35%,报酬率为10%。钢筋混凝土结构办公楼的使用年限为60年,估价时点以后的剩余使用年限为60—4=56(年),建筑物使用年限晚于土地使用期限结束,收益期限根据土地使用权剩余期限确定。估价时点以后的土地使用权剩余期限为50—6=44(年)。
(1)求取未来44年净收益的现值之和:
年净收益=80×2X000×85%×(1—35%)×12
=106.08(万元)
V44=A=Y1—1=(1+Y)n=106.08=10%1—1=(1+10%)44=1X044.79(万元)
(2)求取未来16年的净收益的现值之和:
V16=A=Y1—1=(1+Y)n=106.08=10%1—1=(1+10%)16
=829.94(万元)(3)求取未来16年后的28年土地使用权和房屋所有权现在的价值:
V28=V44—V16=1X044.79—829.94=214.85(万元)2)用于不同期限房地产价格之间的换算
为叙述上的简便,现以Kn代表上述收益期限为有限年公式中的“1—1=(1+Y)n”,即
Kn=1—1=(1+Y)n=(1+Y)n—1=(1+Y)n因此,K70表示n为70年时的K值,K∞表示n为无限年时的K值。如果用Vn表示收益期限为n年的价格,则V50就表示收益期限为50年的价格,V∞就表示收益期限为无限年的价格。于是,不同期限房地产价格之间的换算方法如下。
①已知V∞,则V70、V50为
V70=V∞×K70
V50=V∞×K50②已知V50,则V∞、V40为
V∞=V50×1=K50
V40=V50×K40=K50如果将上述公式一般化,则有Vn=VN×Kn=KN=VN×(1+Y)N—n[(1+Y)n—1]=(1+Y)N—1
【例64】已知某宗收益性房地产40年收益权利的价格为2X500元/m2,报酬率为10%。请计算该房地产30年收益权利的价格。
【解】该房地产30年收益权利的价格计算如下:
Vn=VN×(1+Y)N—n[(1+Y)n—1]=(1+Y)N—1V30=2X500×(1+10%)40—30[(1+10%)30—1]=(1+10%)40—1=2X409.98(元/m2)
上述不同期限房地产价格之间的换算隐含着下列前提:①Vn与VN对应的报酬率相同且不等于零(当Vn或VN之一为V∞时,要求报酬率大于零;当Vn和VN都不为V∞且报酬率等于零时,Vn=VN×n=N);②Vn与VN对应的净收益相同或可转化为相同(如单位面积的净收益相同);③如果Vn与VN对应的是两宗房地产,则该两宗房地产除收益期限不同外,其他方面均应相同或可调整为相同。
当Vn与VN对应的报酬率不相同时,假如Vn对应的报酬率为Yn,VN对应的报酬率为YN,其他方面仍符合上述前提,则可通过公式
Vn=A=Yn1—1=(1+Yn)n
与公式
VN=A=YN1—1=(1+YN)N
相除,推导出下列不同期限房地产价格之间的换算公式:
Vn=VN×YN(1+YN)N[(1+Yn)n—1]=Yn(1+Yn)n[(1+YN)N—1]
【例65】已知某宗收益性房地产在30年建设用地使用权、报酬率为10%下的价格为3X000元/m2。计算该房地产在50年建设用地使用权、报酬率为8%下的价格。
【解】该房地产在50年建设用地使用权下的价格计算如下:
Vn=VN×YN(1+YN)N[(1+Yn)n—1]=Yn(1+Yn)n[(1+YN)N—1]
V50=3X000×10%(1+10%)30[(1+8%)50—1]=8%(1+8%)50[(1+10%)30—1]=3X893.00(元/m2)
3)用于比较不同期限房地产价格的高低
在比较两宗相似的房地产的价格高低时,如果两宗房地产的土地使用期限或收益期限不同,则直接比较是不妥的,需要先将它们转换成相同期限下的价格,然后再进行比较。转换成相同期限下的价格的方法,与上述不同期限房地产价格之间的换算方法相同。
【例66】甲房地产的收益期限为50年,单价为2X000元/m2;乙房地产的收益期限为30年,单价为1X800元/m2。报酬率均为6%,其他条件相同。请比较该两宗房地产的价格高低。
【解】比较该两宗房地产的价格高低,需要将它们转换为相同期限下的价格。为计算上的方便,将它们转换为无限年下的价格:
(1)甲房地产:
V∞=V50×1=K50=2X000/1—1=(1+6%)50=2X114.81(元/m2)
(2)乙房地产:
V∞=V30×1=K30=1X800/1—1=(1+6%)30=2X179.47(元/m2)
由上可知,乙房地产的价格名义上低于甲房地产的价格(1X800元/m2<2X000元/m2),实际上却高于甲房地产的价格(2X179.47元/m22X114.81元/m2)。
4)用于市场法中因期限不同进行的价格调整
上述不同期限房地产价格之间的换算方法,对市场法中因可比实例与估价对象的土地使用期限、收益期限等不同而需要对可比实例价格进行调整,是特别有用的。在市场法中,可比实例的土地使用期限、收益期限等可能与估价对象的土地使用期限、收益期限等不同,从而需要对可比实例价格进行调整,使其成为与估价对象相同的土地使用期限、收益期限等下的价格。
【例67】某宗5年前以出让方式取得的50年使用期限的工业用地,目前所处地段的基准地价为1X200元/m2。该基准地价在评估时设定的使用期限为法定最高年限。除使用期限不同外,该工业用地的其他状况与评估基准地价时设定的状况相同。现行土地报酬率为10%。通过基准地价求取该工业用地目前的价格。
【解】本题通过基准地价求取该工业用地目前的价格,实际上是将使用期限为法定最高年限(50年)的基准地价转换为45年(原取得的50年使用期限减去已经使用5年)的基准地价。具体计算如下:
V45=V50×K45=K50=1X200×(1+10%)50—45[(1+10%)45—1]=(1+10%)50—1=1X193.73(元/m2)
净收益每年不变的公式还有一些其他作用,如可用来说明在不同报酬率下土地使用期限长到何时,有限期的土地使用权价格接近无限年的土地所有权价格。通过计算可以发现,报酬率越高,接近无限年的价格越快。假设将两者相差万分之一看做接近,当报酬率为2%时,需要520年才能接近无限年的价格,3%时需要350年,4%时需要260年,5%时需要220年,6%时需要180年,7%时需要150年,8%时需要130年,9%时需要120年,14%时需要80年,20%时需要60年。当报酬率为25%时,只要50年就相当于无限年的价格。
6.2.3净收益按一定数额递增的公式
净收益按一定数额递增的公式根据收益期限,分为有限年和无限年两种。
1.收益期限为有限年的公式
收益期限为有限年的公式为
V=A=Y+b=Y21—1=(1+Y)n—b=Y×n=(1+Y)n
式中:b——净收益逐年递增的数额,其中,净收益未来第1年为A,未来第2年为(A+b),未来第3年为(A+2b),依此类推,未来第n年为[A+(n—1)b]。
公式原型为V=A=1+Y+A+b=(1+Y)2+A+2b=(1+Y)3+…+A(n—1)b=(1+Y)n
此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按数额b逐年递增;②报酬率为Y,且Y≠0;③收益期限为有限年n。
2.收益期限为无限年的公式
收益期限为无限年的公式为
V=A=Y+b=Y2公式原型为V=A=1+Y+A+b=(1+Y)2+A+2b=(1+Y)3+…+A+(n—1)b=(1+Y)n+…
此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按数额b逐年递增;②报酬率为Y,且Y0;③收益期限为无限年。
【例68】预测某宗房地产未来第一年的净收益为16万元,此后每年的净收益在上一年的基础上增加2万元,收益期限可视为无限年,该类房地产的报酬率为9%。计算该房地产的收益价值。
【解】该房地产的收益价值计算如下:
V=A=Y+b=Y2=16=9%+2=(9%)2=424.69(万元)6.2.4净收益按一定数额递减的公式
净收益按一定数额递减的公式只有收益期限为有限年一种。该公式为
V=A=Y—b=Y21—1=(1+Y)n+b=Y×n=(1+Y)n
式中:b——净收益逐年递增的数额,其中,净收益未来第1年为A,未来第2年为(A—b),未来第3年为(A—2b),依此类推,未来第n年为[A—(n—1)b]。
公式原型为
V=A=1+Y+A—b=(1+Y)2+A—2b=(1+Y)3+…+A—(n—1)b=(1+Y)n此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按数额b逐年递减;②报酬率为Y,且Y≠0;③收益期限为有限年,且n≤A=b+1。
n≤A=b+1和不存在收益期限为无限年公式的原因是:当nA=b+1年时,第n年的净收益<0。这可以通过令第n年的净收益<0推导出,即
A—(n—1)b<0得到nA=b+1
此后各年的净收益均为负值,任何一个“经济人”在(A=b+1)年后都不会再经营下去。
6.2.5净收益按一定比率递增的公式
净收益按一定比率递增的公式根据收益期限,分为有限年和无限年两种。
1.收益期限为有限年的公式
收益期限为有限年的公式为
V=A=Y—g1—1+g=1+Yn式中:g——净收益逐年递增的比率,其中,净收益未来第1年为A,未来第2年为A(1+g),未来第3年为A(1+g)2,以此类推,未来第n年为A(1+g)n—1。
公式原型为
V=A=1+Y+A(1+g)=(1+Y)2+A(1+g)2=(1+Y)3+…+A(1+g)n—1=(1+Y)n
此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按比率g逐年递增;②报酬率为Y,且g≠Y(当g=Y时,V=A×n/(1+y));③收益期限为有限年n。
2.收益期限为无限年的公式
收益期限为无限年的公式为
V=A=Y—g公式原型为
V=A=1+Y+A(1+g)=(1+Y)2+A(1+g)2=(1+Y)3+…+A(1+g)n—1=(1+Y)n+…此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按比率g逐年递增;②报酬率为Y,且g<Y;③收益期限为无限年。
此公式要求g<Y的原因是,从数学上看,如果g≥Y,V就会无穷大。但这种情况在现实中是不可能出现的:一是因为任何房地产的净收益都不可能以极快的速度无限递增下去;二是因为较快的递增速度通常意味着较大的风险,从而要求提高风险报酬。
6.2.6净收益按一定比率递减的公式
净收益按一定比率递减的公式根据收益期限,分为有限年和无限年两种。
1.收益期限为有限年的公式
收益期限为有限年的公式为
V=A=Y+g1—1—g=1+Yn
式中:g——净收益逐年递增的比率,其中,净收益未来第1年为A,未来第2年为A(1—g),未来第3年为A(1—g)2,以此类推,未来第n年为A(1—g)n—1。
公式原型为
V=A=1+Y+A(1+g)=(1+Y)2+A(1+g)2=(1+Y)3+…+A(1+g)n—1=(1+Y)n
此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按比率g逐年递减;②报酬率为Y,且Y≠0;③收益期限为有限年n。
2.收益期限为无限年的公式
收益期限为无限年的公式为
V=A=Y+g公式原型为
V=A=1+Y+A(1—g)=(1+Y)2+A(1—g)2=(1+Y)3+…+A(1—g)n—1=(1+Y)n+…
此公式的假设前提是:①净收益未来第1年为A,此后按比率g逐年递减;②报酬率为Y,且Y0;③收益期限为无限年。
净收益等于有效毛收入减去运营费用。如果有效毛收入与运营费用逐年递增或递减的比率不等,也可以利用净收益按一定比率递增或递减的公式计算估价对象的收益价值。例如,假设有效毛收入逐年递增的比率为gI,运营费用逐年递增的比率为gE,收益期限为有限年,则计算公式为
V=I=Y—gI1—1+gI=1+Yn—E=Y—gE1—1+gE=1+Yn
式中:I——有效毛收入;
E——运营费用;
gI——I逐年递增的比率;
gE——E逐年递增的比率。
公式原型为
V=I—E=1+Y+I(1+gI)—E(1+gE)=(1+Y)2+I(1+gI)2—E(1+gE)2=(1+Y)3+…+I(1+gI)n—1—E(1+gE)n—1=(1+Y)n=I=1+Y+I(1+gI)=(1+Y)2+I(1+gI)2=(1+Y)3+…+I(1+gI)n—1=(1+Y)n—E=1+Y+E(1+gE)=(1+Y)2+E(1+gE)2=(1+Y)3+…+E(1+gE)n—1=(1+Y)n
此公式的假设前提是:①有效毛收入I按比率gI逐年递增,运营费用E按比率gE逐年递增;②报酬率为Y,且gI或gE不等于Y;③收益期限为有限年n,且满足I(1+gI)n—1—E(1+gE)n—1≥0。