哥德巴赫猜想
1742年，哥德巴赫发现每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被它本身整除的数）之和。如6=3+3，12=5+7，等等。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想：a任何一个大于等于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b任何一个大于等于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉都不能证明，这引起了许多数学家的注意。至今，许多数学家仍在努力攻克它，但都没有成功。曾经有人做了具体的验证工作，例如：6=3+3，8=3+5，10=5+5=3+7……有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立。但严格的数学证明尚待数学家们继续努力。
勾股定理
我国是世界上最早发现勾股定理的国家，但是我们的祖先率先发现这一几何宝藏并非一蹴而就的，而是经历了漫长的岁月，通过长期测量发现的，其间走过了一个由特殊到一般的艰辛过程。
我国的几何起源很早。据考古发现，十万年前的河套人就已在骨器上刻有菱形的花纹；六七千年前的陶器上已有平行线、折线、三角形、长方形、菱形、圆等几何图形。随着生活和生产的需要，越来越多的几何问题摆在我们祖先面前。
四千年前，黄河流域经常洪水泛滥。大禹（公元前21世纪）率众治水，开山修渠，导水东流。在治水过程中，他“左准绳，右规矩”。（这里“规”就是圆规，“矩”就是曲尺，由长短两尺在端部相交成直角合成，短尺叫勾，长尺叫股），运用勾股测量术进行测量。在《周髀算经》中，表明大禹已经知道用长为3：4：5的边构成直角三角形。
到了商高（公元前1120年）所处时代，我国的测量技术及几何水平达到了一定高度。《周髀算经》中，记载着周公与商高的一段对话。商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”这里的“勾广”就是勾长，“股修”就是股长，“径隅”就是弦长。就是说，把一根直尺折成矩（直角），如果勾长为3，股长为4，那么尺的两端间的距离，即弦长必定是5。这表明，早在三千年前，我们的祖先就已经知道“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例了。
在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”
从制作工具、测量土地山河到研究天文；从《周髀算经》到《九章算术》，我们的祖先逐渐积累经验，从而发现了勾股定理。为纪念祖先的伟大成就，我国将这个定理命名为勾股定理。
当代中国数学家吴文俊说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……17世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”
0的发现
零是位值制记数法的产物。很久以前，当人们采用这种记数法遇到空位的时候，就会采用不同的方式来表示它的存在。世界上较早采用位值制记数法的有巴比伦、玛雅、印度和中国等，这些地区和民族都对零的产生和发展作出过自己的贡献。
世界上最早采用十进制记数法的是中国人。“零”这个符号之所以产生的原因，最初其实也并不是为了表示“无”，而是为了弥补十进制值记数法中的缺位。从公元七世纪起，中国开始采取用“空”字来作为零的符号。但是，中国古代的零是圆圈〇，并不是现代常用的扁圆0。现在普遍使用的包括“〇”在内的印度—阿拉伯数码是在13世纪的时候由******教徒从西方传入中国的，而那时中国的〇已经使用100年了。
希腊的托勒密是最早采用这种扁圆〇号的人，由于古希腊数字是没有位值制的，因此零并不是十分迫切的需要，然而当时用于角度上的60进位制时，则很明确地以扁圆0号表示空位。可是，托勒密的0并没有作为数参加运算，也没有单独使用的情况。
最先把零作为一个数参加运算的是印度人。
他们在很早的时候就采用了十进位值计数法。空位最开始是用空格表示的，后来为了避免看不清带来的麻烦，就在空格上加一小点，如用5·8表示508。公元876年，在印度的瓜廖尔地方发现了一块石碑，上面的数字和现代的数字很相似，这可能是由小点发展为小圈0表示零的最早根据。
印度人承认零是一个数并用它参加运算可以说是对零的发现的更为重要的贡献。
后来，历经了漫长的岁月，印度数字传入了阿拉伯，并发展成为现今我们所用的印度-阿拉伯数字。但直到1202年，意大利数学家斐波那契把这种数字（包括0）传入欧洲，现代的零的概念和印度-阿拉伯数字中的零号才逐渐流行于全世界。
黄金分割
古希腊的毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，著名的黄金分割就是他在公元前6世纪发现的。
一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出尺子量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。
回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定按照1：0.618的比例截断最优美。
后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称其为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。直到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
π的精确历程
在实践中，人们发现用古代流传下来的圆周率为3的标准去计算圆的周长和面积，其值总会比实际小，所以，不断有人尝试去修正和精确圆周率π的具体数值。
古人求π的方法，就是对单位圆作内接（或外切）正多边形，再求算正多边形的面积。显然，当边数越多时，正多边形就越接近于圆，所求得π的近似值就越精确。不过，计算量越来越大，也越来越困难，每次只是增加小数点后精确的位数而已。π究竟等于多少？没有人知道！
公元前250年，阿基米德在求圆弧长度时，提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下地趋近于圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形时，求出了π的估计值介于3.14163和3.14286之间。这是世界上第一次提出圆周率的科学计算方法。到公元前5世纪，希腊已将圆周率精确到3.1416，这在世界上是领先的。
在求π值精确度上，中国人曾一度领先世界，创造辉煌。我国最早对π进行修正是在公元1～5年，汉代王莽时期的刘歆得到的圆周率是3.15466，这个圆周率虽然不够精确，但这确是突破古人限制的一个勇敢尝试。
公元263年，魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中，首创用“割圆术”去求圆周率。即通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求圆的周长。他从计算正六边形开始，一直算到正192边形，计算出的圆周率在3.141024至3.142704之间。这个精确度虽然只是3.14，但由刘徽开始的“割圆术”以及在此过程中创立的“无限逼近”的思维方法，都让他受到世人的赞誉。
我国南北朝时期的著名数学家祖冲之也对圆周率进行了深入的研究，他将圆周率精确到了小数点后七位，推出3.1415926＜π＜3.1415927。这个由祖冲之创造的世界级的精确度在当时是非常了不起的一个成就，它保持了一千年之久，直到15世纪才由中亚的阿尔·卡希打破，他得到了精确到小数点后16位的π值。
浮力定律
浮力定律现在又称阿基米德定律，这一定律的发现和一个传说故事有关。有一次，大学者阿基米德在众目睽睽之下光着身子从澡堂里飞奔而出，欢呼雀跃，周围的人都不知究竟发生了什么事使他忘乎所以。
原来，国王命令金银匠做了一顶纯金的王冠。新王冠做得很精巧，国王也很高兴。可是国王并不信任工匠，为了检验工匠是否在黄金中掺进了廉价的金属，国王决定让阿基米德在不损坏王冠的情况下辨别出皇冠的质地。
接到任务，阿基米德好几天都想不出什么好主意，他废寝忘食，近乎痴迷。好心的朋友劝他去洗个澡，放松放松。当他坐到满满一盆水里去时，从盆边溢出去的水引起了他的注意，他脑子里灵光一闪，猛地从澡盆里跳出，来不及穿上衣服就狂奔回家。
他在家里做好了试验，来到国王面前，把盛满水的一个大盆放在一只大盘子里，又叫国王拿出一块与皇冠同重的0.75千克的黄金和两只大小一样的杯子。然后，阿基米德将王冠放在盆子里，水溢出来后将溢出的水都装进一只杯子里。然后用同样的方法把0.75千克黄金溢出来的水装进另一只杯子里。最后他拿着两只杯子走到国王面前，说道：“陛下，请您比较一下，这两只杯子里的水一样多吗？”
国王一眼就看到一只多一只少。于是阿基米德肯定地说：“王冠里一定掺了银或者其他的金属，它不是纯金的。”
原来，阿基米德利用了物质的密度、体积和重量的相互关系，同一物质的密度是固定的，即重量与体积之比是一个确定的数。这样，如果王冠是纯金的，它所排出的水应该与0.75千克纯金所排出的水的体积一样，如果不一样，那么王冠里肯定掺了其他金属。
阿基米德辨别王冠的故事仅是一个传说，但他研究物体所受浮力的规律并发现了浮力定律却是千真万确的。他把密度不同的物体放入水中发现：密度和水相同的物体完全浸入水中，但不会沉入水底；密度大于水的物体一直下沉至容器底部；密度小于水的物体总是浮在水面上。阿基米德分别采用了密度不同的物体——木块、蜡块、石块、铁块、铜块、金块等放入水中反复做试验，所得的结果是完全一致的：它们的重量都和所排开的水的重量相等。
阿基米德意识到这是一个普遍规律。于是，他把研究结果写进《论浮力》的著作中。在书中，他明确地表述了浮力定律，并用严密的逻辑推理对浮力定律进行了证明。他指出：浸在液体中的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它所排开液体的重量。这就是著名的浮力定律。为纪念这位伟大的科学家，人们把浮力定律命名为阿基米德定律。
单摆等时性
伽利略是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，教堂里一个被修理工无意碰到而摆动起来的大吊灯引起了伽利略的注意。他的脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头。凭着自己学医的经验，伽利略以脉搏计时，同时数着吊灯的摆动次数。
起初，吊灯摆动速度较大，过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，直到停止了摆动。令伽利略惊奇的是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
伽利略的试验并没有就此结束，回到房间后，他到处寻找试验所需要的东西。他找来丝线、细绳、大小不同的木球、铁球、石块，用细绳的一端系上小球，将另一端系在天花板上。这样，一个单摆就做成了。用这套装置，伽利略继续测量摆的摆动周期。试验证明，无论用铜球、铁球，还是木球，只要摆长不变，单摆来回摆动一次所用时间就相同。这表明单摆的摆动周期与摆球的质量无关。
为了找出决定摆动周期的因素，伽利略继续从试验中寻找答案。多次试验之后，伽利略发现利用不同的摆长，可以十分简便地得到不同的摆动周期。由此可见，摆的长度是影响摆动周期的唯一因素。在实验基础上通过严密的逻辑推理，伽利略证明了单摆周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比。
但让伽利略沮丧的是，他始终无法对自己发现的这一奇妙规律给出一个明确合理的解释。直到100多年后，当牛顿发现地心引力时，这个规律才有了圆满的解释。
但是伽利略很快就发现可以利用摆来制造一台精确的时钟，而这个建议也一直未被采纳。直到1656年第一架摆钟出现以前，人们仍然经常为短时间计时而感到困难，不得不用脉搏或水滴来粗略地计时。
自由落体定律
亚里士多德认为物体自身重量越重，下落的倾向就越大，下落的速度也就越快；物体越轻，下落的倾向就越小，下落的速度也就越慢。因此，亚里士多德得出了一个结论：物体下落的快慢和它的重量是成正比的。
在我们今天看来，亚里士多德的论断是错误的。然而在古代，亚里士多德有很高的声望，他所说的话没有一个人敢怀疑。所以在将近两千年的漫长岁月里，人们一直把亚里士多德的论断当做真理。直至16世纪，这个论断才被伽利略推翻。