1684年8月，哈雷访问了剑桥。哈雷一直在独立研究天体力学。根据开普勒第三定律，他已得出结论：行星到太阳的向心力与行星到太阳距离的平方成反比。这一论断的形成过程表明，他是将开普勒第三定律代入惠更斯新近发表的离心力公式而得出这一平方反比关系。进行这一工作的并非只他一人。在胡克1686年大叫剽窃之后，牛顿回忆起在1677年曾与雷恩谈过一次，在谈话中他们就考虑过“用哲学原理确定天体运动”的问题。他意识到雷恩也已经得出这一平方反比定律。现在真相大白：胡克在1679至1680年冬向牛顿提出的问题，当时有几个人几乎是同时在自行求解。实际上，这是自然哲学面临的一大未解难题：如何用动力学原理推导开普勒的行星运动定律。
1684年1月，在皇家学会的一次会议上，哈雷、雷恩和胡克也讨论了这个问题。
于是，引出科学史上一段佳话，三位著名科学家为了同一问题展开了激烈的讨论，从而上演了“咖啡馆打赌”的故事。一个下午，他们三个人来到了伦敦一家热闹的咖啡馆里，在一个僻静的角落坐下，边喝咖啡边谈论着他们最近在科学上的发现。年龄最小的哈雷最后在研究开普勒第三定律的过程中发现了引力的平方反比关系，但一直在冥思苦想如何去证明它，同两位年长的科学家在一起，正是讨论的好机会，他于是提出了这个问题。
“雷恩爵士，按照开普勒第三定律，我推导出太阳发出的引力和从太阳到行星的距离的平方成反比例，但是您认为一个行星在引力的作用下所遵循的轨道应是一条什么样的曲线呢？”开普勒的第一定律虽然已经明确地指出，行星围绕太阳逆行的轨道是一个椭圆，太阳就处于这个椭圆轨道的一个焦点上，但是谁也无法证明为什么是一个椭圆，以及引力的平方反比定律和行星的椭圆形轨道有什么必然联系，只有回答了这个问题，才能揭示开普勒三大定律之间的内在联系。
因此，哈雷问行星的轨道是一条什么样的曲线的问题，那时牛顿也没有回答出来，只是记下了以后解决这一问题的步骤。现在哈雷也走到了这一步，雷恩也回答不出来。尽管雷恩爵士有着极为敏捷的数学头脑，但是他承认自己无法解决这个问题，只是耸耸肩，摊开双手，说道：
——“这个问题我也进行过推算，和你得出的结论一样，但是要证明行星运行的轨道却是难事。”
哈雷转过头来望了望胡克，那急切的表情说明他非常希望胡克能解决这个问题。但胡克没有出声，脸上露出神秘的微笑。胡克的聪明和才干在科学界是有名的，而且近几年他一直致力于研究这个问题，企图解决这个世纪难题。胡克的表情使渴望得到解答的哈雷心情变得更加急切，他催道：“胡克先生，您快说呀！”
胡克这才抬起头，慢悠悠地说：“这是一个支配一切天体运动的定律，这个定律可以完美地论证，我已经做出这样的论证。”
哈雷问：“那么遵循这条定律的行星运动的轨道是一个什么样的曲线呢？”
“是一个椭圆。”胡克稍作沉吟，然后说，“和开普勒推测的一样。”
“那您是如何证明的呢？”哈雷很兴奋，想看看自己解决不了的问题别人是如何解决的。
胡克又不出声了，仿佛一言难尽。雷恩也急切地要他说出论证方法。
胡克说：“这样吧，我已经证明过了，但不知道是否正确，我还得继续研究。让我们都来做这个论证吧！”
哈雷还想说什么，但经验丰富的雷恩却听出了胡克的弦外之音，他明白了胡克建议大家都来做这个论证的意思是什么：可能胡克是真的已经做出了这个证明，但是他却不愿在这个时候拿出来，而要等别人试做证明都失败后，他再把自己的证明拿出来，以显示自己的与众不同，因为爱卖弄聪明的人总是这样；也许胡克根本就没有证明出来，他这样说，一方面可以表示谦虚，另一方面可以争取时间来做出解答。
雷恩摆手让大家安静下来。
“我同意胡克先生的建议，我们都来做这个论证。在两个月内，不论是谁先提出论证，我都拿出一笔奖金来奖励他。”
哈雷笑着问道：“奖多少呢？”
“一本价值四十先令的书。”
“只有四十先令？”胡克和哈雷都大笑起来。
不用说，用一本价值四十先令的书作为对解答一个天文学上的大难题的奖励实在是太少了，科学的价值是无法用金钱来衡量的。但是，作为一种荣誉的表示，雷恩自己掏腰包，这也是非常可贵的。
就这样，他们约定一齐向这个难题进攻。但是，两个月过去之后，他们都没能得出这个证明。一直等到8月份，哈雷去找胡克，胡克仍然没有论证出来。哈雷想到惟一可能解决这一难题的人就是那个不做声的人。因此，他急急忙忙地来到了剑桥大学，一见到牛顿，就直截了当地提出了他急于想得到答案的问题。
“先生，假定引力随着距离的平方而减小，那么一个行星所遵循的轨道应是什么样的一条曲线？”
“椭圆。”牛顿毫不犹豫地回答。
“那您是怎么知道的呢？”
“因为我已经计算过了。”牛顿回答得非常平静，反倒对哈雷的大惊小怪有些不解。
“能不能给我看一下？”哈雷半信半疑又半惊半喜。
“可以。”牛顿仍然回答得既平静又简单。
他开始在抽屉里找他两年前的计算稿，从这个抽屉找到那个抽屉。哈雷目不转睛地看着他到处乱翻，看到每个抽屉里都乱七八糟地盛满了各种文稿和资料，桌子上是各种书籍和做实验用的仪器，还有一面制作得很精致的用合金做成的反光镜。牛顿的房间总是乱糟糟的，凡是和牛顿交往的朋友都知道，这是牛顿的个人特点。东翻西翻地找了半天，最终也没有找到那份计算稿。他的东西真是太多了，他对这些东西的摆放从来都不用心，常常是做完了就随手一丢。他从不把自己花了大量心血做的研究看得很神圣，而是把它当成一种“消遣”；他追求的不是结果，而是过程本身，尽管他知道没有结果就没有过程，但他仍然不刻意追求它。
看着牛顿那副尴尬样，哈雷劝他不要着急，慢慢地找，并和他说闲话。牛顿最后还是没有找到，只好向这位专程来访者道歉，他怕哈雷失望，对哈雷说：“好吧，我把我手上的工作放下，重新做这个计算，将结果抄好后寄给您。”很守信用，重新查找和整理数据，凭着记忆，昼夜不停地计算。三个月后，哈雷在伦敦果然收到了牛顿给他寄来的计算稿。哈雷急切地阅读着这些几乎没有几个人能够看得懂的公式和计算，越读越兴奋。当他读完计算稿后，心中顿有一种豁然开朗的感觉，郁结在心中多年不解的问题一下子被解开了。牛顿的推理和计算有条不紊，一环紧扣一环，一步紧接一步，这种强大的逻辑力量完全征服了哈雷。哈雷衷心地佩服这位天才，与此同时，他也立即意识到，牛顿的这项重大成果对于揭开宇宙之谜，推进科学发展有着重大的意义，不能让它再埋没下去了，应该立即公布于世。
没有多长时间，哈雷又到剑桥访问了牛顿。谈话中，牛顿拿出一叠手稿给哈雷看，题目是《物体运动论》，说这是他最近的研究成果，准备用来讲课，哈雷边浏览边称赞。手稿对行星运动的轨道问题进行了详细的证明与讨论，并且还把这些证明推广到太阳系里的一切天体。一个新的伟大理论体系的雏形已经出现了。哈雷请求牛顿把这些研究继续下去，并且希望牛顿以后将研究成果寄给皇家学会，以便他们登记备案，确立其优先权。
“牛顿先生，您的这些成果太重要了，您不应该让它埋没，您应该把它公布出去。”
哈雷这种诚恳而又热切的心情感动了牛顿，他答应了这个要求。哈雷即刻向皇家学会报告了这一消息，皇家学会也极端重视，专门派哈雷和佩吉特两人负责“提醒牛顿先生不要忘记自己的诺言”。此后，哈雷经常往返于剑桥和伦敦之间。牛顿按照哈雷的要求，对手稿进行了系统的整理，并对有些问题进行了重新考虑。这些工作的结果是他于1684至1685年间在剑桥做的一系列名为《论天体运动》的演讲稿，并将自己关于运动的命题的一部分内容寄给了皇家学会。1684年底，哈雷把牛顿在剑桥所做演讲的主要内容向皇家学会做了报告，会员们听后都觉得非常新奇并产生了浓厚的兴趣。
于是，皇家学会就请牛顿在可能的情况下把他出版的论文寄一份去。然而，也大约就是这个时候，牛顿在给朋友阿斯顿的信中抱怨说：“这一工作用的时间超出了我的预料，其中大量工作是毫无意义的。”尽管如此，在哈雷的热心敦促下，这一工作仍继续下去。现在牛顿遇到了另外一位知音——他和良师益友巴罗教授一样有着高尚的人品与才学，是杰出的数学家和物理学家，也把别人的事业看成自己的事业，把别人取得的成就看成是自己的成就一样高兴，在别人超过自己的时候乐于承认别人比自己更伟大，只不过不同的是，这是一位具有热心肠的年轻人。