84.神奇的黄金分割是如何发现的
“黄金”象征着贵重，黄金分割有着广泛的应用。毕达哥拉斯学派对五星图怀有特别的敬意，他们把五星图作为学派的章。传说，他们有条“帮规”，凡毕氏学派成员都要佩带五星图的纪念章，人们推测，可能是因为他们掌握了正五边形和五星图的作图方法引以自豪。
毕氏学派在研究五星图的过程中，发现了五星图的一种奥秘：在正五边形中，相邻顶点的两条对角线(也就是五星图的两条边)互相将对方分割成一长一短两部分，它们满足一种和谐的关系式：
全线段：较长的=较长的：较短的，而且较长的一段正好等于正五边形的边长。
如图：AC与BE相交于G，互相将对方分割成一长一短两部分，我们不难看出：
等腰△AEB～等腰△FEA
∴EB∶EA=EA∶EF
又因为EA=EG，EF=GB
∴EB∶EG=EG∶GB
同理可证CA∶CG=CG∶GA
这样，毕氏学派发现了线段的一种“奇妙分割”法，如图，在线段AB上取一点P，把AB分成AP、PB两段，且满足
AB∶AP=AP∶PB
他们采用如下几何方法将线段AB进行这种分割：
以AB为一边作正方形ABCD（如图)，取AD的中点为E，延长DA至F，使EF=EB。作正方形AFGP，则点P即为所求的“奇妙分割”的分点(读者不难自己证明)。
数学史家推测，毕氏学派画五星图就是以这种“奇妙分割”作依据的。
大约在毕达哥拉斯之后150多年，古希腊数学家欧多克斯深入研究了上述“奇妙分割”。欧多克斯是柏拉图的学生，对天文、几何、医学和法律等方面都做出不少贡献。在数学方面，他最大的功劳是，创立了比例论。欧几里得《几何原本》第五卷《比例论》大部分是引用了欧多克斯的成果。欧多克斯的比例论完全排除了毕达哥拉斯的限制，把可公度线段的比与不公度线段的比都包括在内。他从比例论的角度研究毕氏学派的“奇妙分割”，并把这样分割中较短线段与较长线段之比叫做“中外比”。因为点P将AB分成两部分，其中较长部分是全线段与较短部分的比例中项。欧多克斯发现这种线段之间的中外比例关系存在于许多图形中。最有趣的是，五星图中的每一条线段，都跟比它稍长的那条线段形成“中外比”。欧多克斯避免把无理数当作数，他不用数表达比。对于线段长度、角的大小及其他的量和量的比，都避免给予数值。因此，他没有给出“中外比”的数值。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对“奇妙分割”的研究。当时，出现了好几位身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达·芬奇等人。他们把几何学上图形的定量分析用到一般的绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
1525年丢勒制定了一种绘图的比例法则，其间揭示了中外比在绘画中的重要地位。丢勒认为，在所有矩形中，短边与长边满足中外比的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是一个服从中外比的矩形”，这使人们产生一种“和谐”的感觉。帕奇欧里首先把“中外比”称为“神圣比例”。并在1509年出版的《神圣比例》一书中论述了它，中外比被披上了神秘的外衣。后来达·芬奇把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。
黄金分割中的分点叫做“黄金分割点”。“中外比”又叫“黄金比”，从古希腊直到现在都有人认为这种比例在造型艺术中有美学价值。如工艺美术或日用品的长和宽的设计中常用这比例，舞台上的报幕员站在舞台宽度的黄金分割点的位置时最美观、最佳；古代的不少建筑物，其高与宽的比也是黄金比。在中世纪，黄金比被作为美的信条而统治着当时欧洲的建筑和艺术。
自从无理数被确认后，人们有可能给出黄金比的数值。
设AB=l，AP=a，则PB=l-a
∵ABAP=APPB，∴la=al-a
∴a3+al-l2=0
∴a=5-12l(考虑到a＜l)
可见黄金比APAB=PBAP=5-12。人们把这个数5-12叫做“黄金数”。前面我们已经看到黄金数与斐波那契数有关，它还与优选法有关。优选法中普遍常用的方法是0.618法，所谓0.618就是黄金5-12的近似值，因此，0.618法也称为黄金分割法。
现代医学研究还表明，黄金比对人们自我保健有重要作用：人生存的最佳气温约23℃，它恰巧是正常体温(37℃)的0.618倍；吃饭最好只吃六、七成饱；摄入的饮食最好是“六分粗，四分精”；运动与静养的比例关系最好是“四分动，六分静”。
85.拓扑学是如何发现的
哥尼斯堡有一条河，叫勒格尔河。这条河上，共建有七座桥。河有两条支流，一条叫新河，一条叫旧河，它们在城中心汇合。在合流的地方，中间有一个小岛，它是哥尼斯堡的商业中心。
哥尼斯堡的居民经常到河边散步，或去岛上买东西。有人提出了一个问题：一个人能否一次走遍所有的七座桥，每座只通过一次，最后仍回到出发点？
如果对七座桥沿任何可能的路线都走一下的话，共有5040种走法。这5040种走法中是否存在着一条既都走遍又不重复的路线呢？这个问题谁也回答不了。这就是着名的“七桥问题”。
这个问题引起了着名数学家欧拉的兴趣。他对哥尼斯堡的七桥问题，用数学方法进行了研究。1736年欧拉把研究结果送交彼得堡科学院。这份研究报告的开头是这样说的：
“几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过的关于量和量的测量方法那一部分之外，莱布尼兹首先提到了几何学的另一个分支，他称之为‘位置几何学’。几何学的这一部分仅仅是研究图形各个部分相互位置的规则，而不考虑其尺寸大小”。
从欧拉这段话可以看出，他考虑七桥问题的方法是，只考虑图形各个部分相互位置有什么规律，而各个部分的尺寸不去考虑。
欧拉研究的结论是：不存在这样一条路线！他是怎样解决这个问题的呢？按照位置几何学的方法，首先他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、C、D四个点；把每座桥都看成为一条线，这样一来，七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了，这样的几何图形数学上叫做网络。于是，“一个人能否无重复的一次走遍七座桥，最后回到起点？”就变成为“从四个点中某一个点出发，能否一笔把这个网络画出来？”欧拉把问题又进一步深化，他发现一个网络能不能一笔画出来，关键在于这些点的性质。
如果从一点引出来的线是奇数条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出来的线是偶数条，就把这个点叫做偶点。如左图中的M就是奇点，N就是偶点。
欧拉发现，只有一个奇点的网络是不存在的，无论哪一个网络，奇点的总数必定为偶数。对于A、B、C、D四个点来说，每一个点都应该有一条来路，离开该点还要有一条去路。由于不许重复走，所以来路和去路是不同的两条线。如果起点和终点不是同一个点的话，那么，起点是有去路没有回路，终点是有来路而没有去路。因此，除起点和终点是奇点外，其他中间点都应该是偶点。
另外，如果起点和终点是同一个点，这时，网络中所有的点要都是偶点才行。
欧拉分析了以上情况，得出如下规律：
一个网络如果能一笔画出来，那么该网络奇点的个数或者是2或者是0，除此以外都画不出来。
由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，按欧拉的理论是无法一笔画出来的，也就是说一个人无法没有重复地走遍七座桥。
上图中(1)、(2)、(3)都可以一笔画出来，但是(4)中的奇点个数为4，无法一笔画出。
如果图中没有奇点如图(1)和(2)，可以从任何一点着手画起，最后都回到起点，如果图中有两个奇点，如图(3)，必须从一个奇点开始画，到另一个奇点结束。
欧拉对哥尼斯堡七桥的研究，开创了数学上一个新分支——拓扑学的先声。
86.分形几何是如何发现的
生活在北方的同学对雪花是不陌生的，那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能回答上来的同学不一定很多。也许有人会说，雪花是六角形的，这既对，但又不完全对。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。
先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。
从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德布罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很多领域得到了应用。
87.射影几何是如何发现的
射影几何具有悠久的发展历史。古希腊时代的数学家欧几里得和阿波罗尼奥斯就都有一些属于射影几何的发现。到17世纪，法国数学家德扎格和帕斯卡始创射影几何。1639年，德扎格通过对透视的研究，建立了无穷远点和射影空间的概念。1640年，年仅17岁的帕斯卡发现了着名的帕斯卡定理，从此产生了一个优美的数学学科——射影几何，并在19世纪得到很大发展。射影几何主要包含3个基本定理，即帕斯卡定理、德扎格定理和帕普斯定理。
帕斯卡定理：设ABCDEF是⊙O的内接六边形。对边AB和DE交于点X，对边BC和EF交于点，对边CD和AF交于点Z，则X、Y和Z在一条直线上。
德扎格定理：设△ABC和△A′B′C′的对应顶点连线AA′、BB′和CC′交于一点，则三组对应边的交点在同一条直线上。
帕普斯定理：设A、C、E是一条直线上的三个点，B、D、F是另一条直线上的三个点。如果直线AB、CD、EF分别与DE、FA、BC相交，则三个交点L、M、N共线。
88.进位制是如何发现的
人类在认识数字的同时，也进行着对数字记法的探索。中国早在五六千年前就有了数字记法，到3000多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见，这时，自然数计数都采用十进位制。甲骨文中就有从一到十、百、千、万的13个记数单位。
对于任意大于1的整数p，每个自然数都可以惟一地写成a、pn+an1pn-1+……+a1p+a0的形式，其中a0、a1……an-1、an是在0、1、2……P中取值的整数。于是就可以用(anan-1……a1a0)，来表示这个自然数，这种表示自然数的方法称为p进制记数法。当p=2时，就得到二进制记数法；当p=10时，就是十进制记数法。
在二进制中，只有0、1两个记号，遵循逢二进一的规则。机械式计算机的创始人莱布尼茨系统研究了二进位制，其中曾受到中国古代八卦的启发。下表说明了二进制与我们通常所用的十进制的关系：
十进位制12345678910……二进位制11011100101110111100010011010……
89.计算工具如何发现的
俗话讲“巧妇难为无米之炊”。要提高运算速度和精确度，必须借助于相应的计算工具。
小时候学习算术，学生们经常用十指来帮助计算，手指成为最简单易用的计算工具。实际上，用十指计算从人类认识数开始就已经有了。除了用手指帮助计算，传说古代的中国也用在绳子上打结来记数和计算，史称结绳记数。算筹是中国古代用于计算和占卜的重要工具，算筹有竹制、木制和骨制的。利用算筹，古改进后的算盘代中国人最先创立了完善的十进位位值制记数法，这是古代中国在数学上的重要发明之一。算盘并不是中国独有的，日本和俄罗斯都有与中国类似的穿珠算盘。算盘实际上是对算筹的改进，由于汉字一字一音，珠算规则易于编成口诀，这大大加快了运算的速度。时至今日，算盘在很多场合仍然显示出它独有的魅力。计算器实际上是功能比较简单的计算机，它的发展可以追溯到17世纪，但电子计算机到20世纪中叶才出现。近几十年来，以现代计算机为代表的计算工具已经发展到了很高的水平。计算机已远不止是用于简单的计算，它已经能够做很多复杂的事情，并不断渗透到生活的各个方面。
90.数学悖论如何发现的
一般而言，数学给人的印象总是严密和可靠的。但早在2000多年前的古希腊，人们就发现了一些看起来好像正确，但却能导致与直觉和日常经验相矛盾的命题，这些自相矛盾的命题就被称为悖论或反论，即如果承认这个命题，就可推出它的否定，反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。