神炮手用“圆”射击
大家都知道，火炮射击是离不开炮架的，但这里讲的故事就是不用炮架的神炮手是如何通过心算和目测进行射击的。那是１９４４年７月７日，豫北八路军打开了著名的辉县张村据点，这是过去国民党正规军用全副新式装备、重武器屡次没有打开的一个据点，三个两丈多高的小碉堡，围着五丈高，三丈见方，墙厚五尺，上砖下石的大碉堡。六年来，敌人一直相信这是无法攻破的堡垒，然而，胡连长却用了一门没有炮架的迫击炮，打破了敌人的美梦。当时胡奇才连长的炮在攻打大碉堡周围的小碉堡时震坏了平射装置，连炮架也震散了，眼看它不能用了，然而胡连长却把没有炮架的炮筒搁到墙缺口，两边用杠子压住，就轰开了。第一炮从碉堡顶上飞了过去。老胡轻轻说声糟糕，又从炮筒下抽去两个坯，炮更加低了，低得只有二十度。第二炮轰出去，把人的耳朵都震聋了，碉堡上层的砖墙哗啦地倒下去了，里面叫着，“不行啦，不行啦！”紧接着第三炮出去，又是一角墙垮下去。只听碉堡里的楼梯响，伪军都下到第二层了。说来也巧，第四颗炮弹轰出去，钻进顶层，没有炸，倒过来从楼口一直掉下去，刚刚在第二层炸了个大开花。整个碉堡顿时混乱了。“同志们，碉堡打垮了，冲上去！”胡连长兴奋地高呼着。六年来从来没有打开过的碉堡被没有炮架的火炮给摧毁了，望着腾空而起的碉堡，胡奇才双手抚摸着还没用完的最后一发炮弹微笑了。
在这个故事中，大家注意，胡连长在射击时，主要是通过抽去砖坯来调整射击角度的。而现在射击就方便多了，有激光测距机，可测角度和距离，也可通过测距仪来准备射击诸元。请看图。图中ＡＢ是以ＯＡ＝Ｄ作半径的圆上的一段弧；ａｂ是以０ａ＝ｒ作半径的圆上的一段弧。从两个相似的扇形ＡＯＢ和ａＯｂ，可以写出下列比例式：ＡＢ／Ｄ＝ａｂ／ｒ，或ＡＢ＝ａｂ／ｒ×Ｄ。式中ａｂ／ｒ表示视角ＡＯＢ的大小；知道了这个比例值，就可以在Ｄ值已知的情形下算出ＡＢ值，或在ＡＢ值已知的情形下算出Ｄ的值来。炮兵们为了使计算简化，他们不采用把圆周划分成３６０等分的分度法，而把圆周划分成６０００等分，这时每一等分大约相当于半径长度的千分之一。
假定图中圆Ｏ的ａｂ弧是一个分划单位，那么，全圆周的长度２πｒ≈６ｒ，而弧长ａｂ≈６ｒ／６０００＝１／１０００ｒ。这个单位，炮兵术语上叫做一个“密位”。因此ＡＢ≈０００１ｒ／ｒ×ｄ≈０００１Ｄ，也就是说，为了要知道和测角仪中每一“密位”相当的ＡＢ间的距离，只要把距离Ｄ的小数点向左移动三位就成了。
在用口语或电讯下达命令、传达观测结果的时候，这种度数一般要像电话号码的读法读出。１０５“密位”读作“一○五”，写成：“１－０５”；８“密位”读作“○○八”，写成：“０－０８”。
现在，你可以很容易地来解答下面这个题目了。
如从反坦克炮上望去，在０－０５密位角下望到了一辆敌方坦克。试求坦克的距离，假定坦克高２米。
测角仪５密位相当于２米，测距仪１密位相当于２／５＝０４米。由于测角仪每一密位相当的弧长等于距离的千分之一，因此，敌方坦克的距离是弧长的１０００倍，就是：Ｄ＝０４×１０００＝４００米。
假如指挥员或侦察员没有任何测角仪器，那么他可以利用他的手掌，手指或任何手中现在的东西。不过必须把测出的“值”折成“密位”，不能用普通的度数。
下面是几种物体“密位”的近似数值：手掌———１－２０中指、食指或无名指———０－３０圆杆铅笔———０－１２火柴长度———０－７５火柴宽度———０－０３使犯人屡次上当的椭圆１９４３年４月，当美国军队在北非取得全面胜利后，美英法军队已从东西两面对突尼斯的德意法西斯军队形成包围之势，胜利在望了。经盟军初步商定，一旦突尼斯的军事行动结束后，下一步的进攻目标应是意大利的西西里岛。为此盟军指定由副总司令亚历山大负责指挥第１５集团军群夺占西西里岛。该集团军群下辖蒙哥马利指挥的英军第８集团军和巴顿指挥的美军第７集团军，共有１３个师和３个独立旅，总兵力达４７８万人。
西西里岛位于意大利的西南，是地中海的最大岛屿。该岛东北隔墨西拿海峡与意大利本土相对，最狭处仅相距３公里，呈三角形。由于它地处地中海的中部，战略地位十分重要。在这个东西最长３００公里，南北最宽为２００公里的岛上竟设有机场１０个，濒海有水上机场４个。由于此岛的重要战略地位，德国和意大利对该岛实行了重兵防卫，在这个面积仅有２万多平方公里的岛屿上，部署了１３个主战师和１４００多架飞机，总兵力达３６万人。
由于盟军战前实施了有效的欺骗手段，致使德军错误地将撒丁岛和伯罗奔尼撒作为主要的防御方向，而将西西里岛作为次要防御方向，负责南欧指挥重任的德国陆军元帅隆美尔还把他的大本营搬到希腊。当盟军集中主力于１９４３年７月９日夜打响西西里岛登陆战役时，对于德军来说是绝对意外的。盟军的登陆兵和空降兵在西西里岛南部的锡腊库斯至杰拉１８０公里的地段上实施了登陆和空降。
当天，实施空降作战的美空降第８２师和英军空降突击队的部分官兵被德军俘获，德军将他们关押在一座岩洞监狱中，晚上他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论着各自部队的作战情况，讨论着越狱办法和逃跑的方向。但是，美英空降兵没有料到，他们周密的出逃计划竟被德军知晓。在第二天的突击审讯中，有好几个人的情况是德军早已掌握的，这是怎么回事呢？岛屿的夜晚是月清夜静的，但这些被俘的盟军官兵却各怀心思，他们相互之间不再信任，大家面面相觑，相对无言。突然戴尔上尉想出了一个鬼主意，他想试探一下究竟是谁出卖了他们。他清了清嗓子，环顾一下大家，说道：“其实我们此行已经完成任务，让德国佬在西西里坐守空城吧！”戴尔上尉说完做了一个鬼脸，有几个人诡笑起来，接着又是沉默。这晚直到就寝，大家再也没有说话。戴尔上尉暗自庆幸，但等明天一早德国佬来提审。
第二天又是一个晴天，戴尔上尉一夜睡得很好，他早起使劲伸了个懒腰，微笑着向大家道早安，突然铁门咣的一声被撞开，德国佬来提人了。戴尔上尉不动声色，暗中观察德军的动向，没料到德军径直走向戴尔上尉，他们要提审戴尔上尉，大家被这个意外事件弄蒙了，怔怔地看着戴尔上尉走出牢房。
中午，戴尔上尉返回牢房，战友们并未像往常那样迎上来，也没有人询问他被审问的情况，戴尔上尉尴尬地冲大家笑笑，躺下睡去。
８月１７日德军撤离西西里岛时，将关在岩洞里的盟军战俘全部杀害，戴尔上尉也没能幸免。虽然德军迅速调整了作战部署（一方面调集了岛上的兵力进行顽抗，以掩护该岛通往墨西拿海峡东岸的道路；一方面有组织后撤，使战线缩短），致使美英盟军合围德意军队的企图受挫，但他们最终取得了西西里岛登陆战役的胜利。
后来，人们在清理战场时，为戴尔上尉平反昭雪。原来德军关押战俘的监狱，是古希腊西西里岛的统治者开凿的一个岩洞，专门作为监狱。这个岩洞不是随便开凿的，而是请了一位叫刁尼秀斯的官员专门设计的。岩洞监狱采用了椭圆形的结构，这种特殊的结构使得犯人在最里面小声议论的声音，通过反射可清楚地传到洞口看守人的耳朵里。后来人们就把这种设计叫做“刁尼秀斯之耳”。
椭圆很好画。园艺工人修建椭圆形花坛时，先在地上钉两根木桩Ａ和Ｂ。找来一根长短合适的绳子，将绳子的两端分别系在两根木桩上。再找一根短棍把绳子拉成折线，顺着一个方向画，画出来的就是一个椭圆。
从上面的画法可以知道：一个动点到两个定点距离之和保持一定长，那么动点画出来的图形就是椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点。“焦”一词来源于希腊文，原意是“炉子”和“火”。
椭圆有一个重要性质：就是从一个焦点上发出来的声音、光或热，经椭圆反射，可以全部聚集到另一个焦点上。
可以修一座椭圆弧形状的墙，从一个焦点处向椭圆形墙上任何地方踢球，被墙反弹回来的球总是朝着另一个焦点滚去。
刁尼秀斯设计的岩洞监狱，其中一面墙修成椭圆形的，犯人议论的地点恰好在椭圆的一个焦点上，而看守人则在洞口的另一个焦点上。尽管戴尔上尉他们说话声音比较小，距离看守人也比较远，但是声音通过椭圆墙壁的反射，全部聚集到看守人员处，于是德军就清楚地听到了他们的议论。
古希腊人还修建过椭圆形的音乐厅，把演奏台设置在其中的一个焦点处。他们认为这样设计，一个乐队演奏，两个焦点可以同时发出声音，相当于有两个乐队同时演奏，音响效果好。
椭圆的这个重要性质，近年来被广泛应用在科学技术上。比如激光。有一些物质如红宝石、二氧化碳等，在外界强光的刺激下，可以发出一种能量非常集中、方向性非常好的单色光，这就是激光。
激光在工业、通信、测量、医疗、军事等方面有着重要应用。用激光测量地球到月球的距离，在３８４４００千米距离中，误差只有几厘米，还不到一根指头的长度。先进的激光炮，可以摧毁敌人的导弹和飞机。
各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能发出激光。目前，外界光源常选用高压氙气灯。如何把氙灯发出来的光，最大限度地集中到激光材料上去？科学家看中了椭圆。他们用反光性能非常好的材料，做成一个椭圆形柱面的聚光器，然后把棒状激光材料和氙灯，分别放在椭圆的两个焦点处，使氙灯发出来的光，经过椭圆形柱面的反射，能更好地集中在激光材料上，得到更好的激发。刁尼秀斯之耳在新的时代找到更多的用场。
战俘的几何逃生路
囚禁是一种比死亡更可怕的生存。１８１２年的法俄战争中，时年４４岁的法军上尉萨贝安被俄军俘虏囚禁，历经１００年后，以１４４岁高龄死去。这是世界战争史上少有的奇闻。一般情况下，被俘虏者都要想方设法逃跑。二战中盟军的一些士兵在潜入敌人占领的海岛时被俘，德军将他们关押在一个靠海边的一个石洞中。在又黑又潮的石洞中，这些被俘的盟军士兵想方设法摸清地形，准备逃走。他们知道，一旦盟军大部队攻打此岛，敌人就会将他们杀害。经过观察，他们发现这个洞后面有一个直通大海的门，用木板封住。原来这里是古时用来关押黑奴的地方，那些不驯服的黑奴就是通过这扇门被活活海葬的。他们拣来贝壳，将门凿了个小洞，透过小洞可以看清外边有一个通道，两侧一面堆放着武器，另一面是船只。不远处还有一个小岛，暂时未被敌人占领。被俘的盟军士兵要想从这个出口逃跑，必须夺得枪支和船只，跑到远处的那个小岛后，才能逃出虎口，脱离危险。在行动之前，他们考虑了各种途径，为的是能够在最短的时间内到达小岛。其中一个士兵通过数学方法获得的逃跑路线得到大家一致同意。他是这样设计逃跑路线的：
方法一：设此岛为Ａ，未被敌人占领的小岛为Ｂ，先求得Ａ在左边对称点Ａ′，Ａ′点在右边的对称点Ａ″，连接ＢＡ″。实际路线是ＡＡ′Ａ″Ｂ，即先获船只，再夺枪支，然后径直到Ｂ岛。
方法二：由Ａ向右边求对称点Ａ１，然后由Ａ１又在左边求对称点Ａ２，连接ＢＡ２，这样的实际路线是ＡＡ１Ａ２Ｂ，即先夺枪支再获船只，逃到Ｂ岛。
当然这两种办法中还有比较：这就要看ＡＡ′Ａ″Ｂ与ＡＡ１Ａ２Ｂ总路程哪个更短。
海战中的几何学
海军将领哈尔西率领第三舰队从南太平洋北上，参加了攻占菲律宾的战斗，狠狠打击了日军。美军占领菲律宾后，日本人害怕美军占领日本本土诸岛，登陆日本，从大本营调动大量兵力，企图挽回败局。在实施所谓的“捷１号作战计划”过程中，日军舰队对麦克阿瑟率领的舰队进行了突然袭击，击沉美军４艘登陆舰。此举激怒了麦克阿瑟将军。１９４４年１０月２２日，正当日军栗田武雄和小泽治三郎带领的两支主攻舰队准备袭击美军时，遭到美军潜艇的攻击，只听轰的一声巨响，小泽舰队的“摩耶”号重巡洋舰中弹起火。小泽还没来得及下达准备战斗的命令，又是一声巨响，“爱岸”号重巡洋舰也中弹起火，日军已无路可逃。原来美军早就在此地布置了大批潜艇，将日舰团团包围。２４日，美军２５００多架舰载机向走投无路的小泽舰队发起了猛烈进攻，以最快速度接近日舰艇，日军毫无准备，航空母舰上的飞机还没来得及起飞就被美军的炸弹炸毁了。许多日舰中弹起火，叫骂的日本兵一个个被炸弹掀起的巨浪抛到海中。
当时，在美军潜艇接近日舰艇的途中有许多暗礁地带，如果设美军潜艇的位置为Ａ，日军舰艇的位置为Ｂ，Ａ、Ｂ之间有很多暗礁，还有四个灯塔Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ。据确切情报，在ＣＤ为弦的１００°圆周角的范围内有暗礁，在ＥＦ为弦的６０°圆周角的范围内也有一片暗礁。根据航海知识，从Ａ到Ｂ不能直接航行。而美军潜艇却以最快的速度从Ａ到Ｂ，他们是怎样选择路径的呢？
只要保持在航行过程中（比如Ｎ点）与ＣＤ的夹角小于１００°，与ＥＦ的夹角小于６０°即可。
具体航线可以这样选择：以ＣＤ为弦作一个包含１００°圆周角的圆，同样，以ＥＦ为弦作一个包含６０°圆周角的圆。连接两个圆心，在两个圆周之间选一个点Ｍ。以Ａ、Ｍ、Ｂ三点作共圆，即是理想的航线。
当任意选择ＡＭＢ航线中一点Ｎ，可以看到∠ＣＤＮ＜∠ＣＰＤ＝１００°＜∠ＥＮＦ＜∠ＥＱＦ＝６０°，满足题中的安全要求，因此不会触礁。
读者朋友不妨动手做一做，验证一下结论的正确性。
解金色长方形救国家
当时，整个国家的情况非常糟糕，老苏丹王昏庸无能，大小官吏只知道搜刮老百姓的钱财，带兵的将领只会欺压人民，强盗到处横行，敌人又不断地侵扰边境，企图灭亡苏丹王国。民间广泛流传着这样一句话：“真主将要降灾难于这个国家了！”
王子即位了，老百姓希望新国王能够改革政治，惩办贪官，选用人才，振兴国家。可是，却不见哈里发做了什么大事，年轻的国王整天带着侍从们外出打猎。三年一晃过去了，国家情况仍和老苏丹王在位的时候一样，老百姓失望了，而贪官污吏们高兴极了。
有一天，长期不理朝政的国王忽然召集了所有的宫廷大臣，只见年轻的苏丹王面带忧愁地坐在椅子上，时而用手撑着前额，时而发出轻微的叹息声。宰相恭敬地走上前去行礼，小心翼翼地问国王召集大家来有什么吩咐。
国王用冷酷的眼光扫视了大臣们说：“你们可知道，真主要降灾祸于我们了！”大臣们面面相觑，不敢出声。宰相走上前说：
“英明的陛下，真主会保佑我们的，我们的祖先也会保佑我们的，什么灾难这都是刁民的疯话。”
国王说：“不，这不是胡说，前天晚上，我做了一个十分奇怪的梦。我梦见去世了的祖父，慈祥的老人神情严峻地告诉我，真主要降灾难于我们的国家了。这句话，老人清楚地连说了三遍。”宰相想插话，哈里发用手势止住了他，又说：“我原来只以为是一个噩梦，可昨天晚上我又梦见了祖父，他把这句话又连说了三遍。我害怕了，问他有什么办法能祈求真主宽容我们，免遭灾祸？老人说只有一个办法：用金子做成一种长方形，这种长方形的长与宽都是３尺的整数倍，而它的周长数恰等于它的面积数，把所有大小不同的这样的长方形供祭真主，才能消免灾祸。”宰相和大臣们听了嘘了一口气，他们想，原来贪玩的国王要钱，那只要从老百姓那儿再搜刮一些给他就行了。宰相上前说：
“尊敬的陛下，请放心，我们一定把这样的矩形奉给真主。”哈里发于是命令宰相在三天之内把事做好，否则按国法严办。