第７卷到第９卷论述了数论。欧几里得认为“数”是指整数。从第７卷中的定义可以看到：处理整数实质上就是处理几何图形。欧几里得认为：“大数是小数的倍数，当前者可用后者度量时”，而两个整数的积是一个长方形的面积。在第７卷中还有一个有名的欧几里得算法：求两个整数的最大公约数。或者用欧几里得的话说是“测量两个量的最大公约”。在第９卷里，我们发现一个有关下述有名结论的证明：用现代的说法是，素数个数是无穷的。而欧几里得尽可能地避开使用无穷大这一术语，因而他是这样阐述上述定理的：“素数的个数，比任何指定的素数的值还要大。”《几何原理》第９卷只给出了当素数的个数为３时的这一定理的证明，并没有指明对任意给定个数的素数的证明。在这一卷中还给出了构造完全数的方法。完全数是这样的数：它是它的因子的和。例如第一个完全数是６（６的因子是１，２，３，而ｌ＋２＋３＝６）。第二个完全数是２８（２８的因子是１，２，４，７和１４，而１＋２＋４＋７＋１４＝２８）。
第１０卷详细论述了各类不可比的长度。在这里，我们还发现，一般量之间的不可比的思想已精炼成长度间（及面积间）不可公度的概念。给定一条指定为可比的线段，那么，任意与它不可公度的线段称为无理的。该卷对各种不同类型的无理量（无理数）做了详细的论证：从简单的平方根到复合根，如（槡ａ＋槡ｂ）。一个关于用数值表示无理数的方法的论述引起了人们的注意。确实存在着一个基于欧几里得算法的无理数的数值表示方法。虽然它能够有效地表示单个的无理数，但用同样的表示法我们没有表达无理数的和或积的简单方法。人们好奇的是引理１，它是一个著名的定理：存在两个平方数，它们的和是另一个平方数。也就是毕达哥拉斯定理的数论表示形式。但在此没有提到在第一卷末尾所给出的这一结果的证明。也正是在这一卷中，欧几里得着重强调了数值———几何的处理过程，是解决更进一步问题的前奏，如求积问题。还注意到处理无理数都还可以用直尺和圆规作图的方法进行。这里没有关于立方根的讨论。无理数的详细分类，在《几何原本》的最后一节变得很有意义。在那里，无理数出现在与正立方体的关系中。
《几何原本》的最后３卷讨论了立体几何图形的性质，并且把欧多克索斯的穷竭法作为通过反复逼近求面积和体积的严格方法。阿基米德声称，是欧多克索斯首先证明了圆锥体的体积是同底等高圆柱体体积的１／３。第１２卷的大部分想法基于欧多克索斯的工作。第１３卷的末尾，证明了只存在５种柏拉图立体，这些立体可以由三角形、正方形、五边形构造出来，每个立体都内接于球体。这里还详细说明了立体的棱到这一球心的距离。在这一卷中，我们还发现在第１０卷中描述过的无理量。
从古到今《几何原本》都是最有影响的一本教科书。该书多次再版，在再版的过程中不断有新的评注加入。同时，它被翻译、编译成适合各种文化的版本。欧几里得的原始著作已经无从考察。公元９世纪以前的有关资料已所剩无几。但是，这一几何巨作一直流传至今，并使它之前的所有几何著作黯然失色。
在此之后的一段时间里，亚历山大新城一直保持着学术中心的地位。几何巨匠佩尔加的阿波罗尼奥斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ，公元前２６２—前１９０）在此学习和教学。他最著名的著作是关于几何的开创性研究———《圆锥曲线》。圆锥截面是通过从各种角度切割一个圆锥体而得到的截面。这样的截面的截口有圆、椭圆、抛物线和双曲线。阿基米德以及其后的托勒密和丢番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，公元前２８７年）都在亚历山大新城学习过。从公元前４世纪开始亚历山大新城的学术自由逐渐衰退。泰昂的女儿希帕蒂娅（Ｈｙｐａｔｉａ，约３７０—４１５）是数学史中第一位女数学家。她曾一度是新柏拉图学派的领袖。随着基督教权势的增大，这一学派对被他们视为异教的科学及哲学越来越敌视。希帕蒂娅死于当地基督教徒之手，她的死标志着亚历山大学术中心衰落的开始，数学发展的中心从此转向东方的巴格达。
几何学的新时代
自从公元前３世纪欧几里得的《几何原本》一出现，就被公认为是最完美的数学体系。建筑在最基本的假设之上，《几何原本》构建了格外壮观的数学定理架构。欧氏几何是形式公理演绎体系，然而，几何学的这一尝试带来了一个小问题，而历代数学家们则总是盯着这一问题不放，试图做些文章，这就是第五公设。有争议的第五公设是：如果一条直线与已知两条直线相交且与这两条直线在同一侧所围成的角之和小于１８０°，则这已知的两条直线在这一侧相交。简单地说：如果两条直线不平行，这两条直线一定有一个交点。所有人都认为第五公设是正确的，但是人们不理解为什么要把它作为《几何原本》的公设。人们试图去证明它：认为它是一个由其他公理可以证明的定理，而不是公设。很多人都认为自己证明了第五公设，但是，仔细审查这些证明就可以发现，在证明中总是潜藏着新的假设，而这一新的假设不过是第五公设的变形。很难找到另一个更显而易见的公设来代替第五公设。
很多数学家都在继续研究第五公设。最有名的是１１世纪的花剌子密和１３世纪的突斯人奈绥尔丁。两人的研究被翻译成拉丁文并影响了杰罗拉莫·萨凯里（ＧｉｒｏｌａｍｏＳａｃｃｈｅｒｉ，１６６７—１７３３）。在萨凯里去世那一年他出版了题为《免除所有污点的欧几里得几何》的著作。他试图通过与其他可能的公设相矛盾的反证手段来证明第五公设。他画出了现今被称为“萨凯里四边形”的由两组“平行线”组成的四边形，并提出了关于萨凯里四边形内角和的三个不同假设，它们分别是：四边形的内角和小于、等于、大于３６０°。如果他能证明第一个和第三个假设存在逻辑矛盾，那么他就证明了中间的那个假设是唯一能构成自相容几何学的假设，这也就是证明了与其等价的第五公设。具有讽刺意义的是，这将会证明欧几里得把它作为公设是正确的。萨凯里很轻松地证明了第三个假设将导致逻辑矛盾，但是第一个假设没有逻辑矛盾，实际上他使用第一个假设证明了许多定理。最早的非欧几何学已经在萨凯里的眼前了，但是萨凯里拒绝承认它。请记住，他所有这些工作的目的是为了推翻这一假设的正当性，而不是构造一门新几何学。基于他所掌握的那些不符合逻辑的神学条例，他放弃了这一新几何学。后来的数学家们却与他不同，不存在如此大的怀疑。
对第五公设的过于迷恋，已不再只是有关逻辑合理性的问题，它具有更深刻的意义。我们需要重新考虑现实空间本身的性质。欧氏几何学不仅是和谐和坚固的数学体系，而且也是构造空间本身的方法。例如，欧氏几何学认为两点间最短连线从理论上或实际上都是直线。但是在已建立的古典球面几何学中，上述事实不再成立。在一个球面上，两点间最短连线是通过这两点的大圆上的弧线，而且球面上任意三角形内角和大于１８０°。那么这又有什么大惊小怪的呢？这与几何体系的内在性质与外在性质的不同有关。外在性质是从体系之外能够推知的性质，而内在性质是从体系内部可以推知的性质。例如，球面几何学的规则是通过从球面外部观测球面时得到的，就好比手里拿着一个球一样。但是我们怎样才能从纯几何学的角度来断定我们是否生活在一个球面上呢？我们能从纯几何学的角度断定我们是生活在平坦的地球上还是生活在圆球形的地球上吗？换一种方式来看，是否存在内在的性质，它在平面上和球面上是不同的呢？在考虑我们生活的三维空间的真正属性时，这些相对简单的观念是重要的。在这一空间内，我们只能以内在性质作为入门的捷径。