在这样的策略博弈中，所使用的术语是合作与竞争。由于对策论把人看成是完全利己的，因此，后来受到了人们的批判。但是研究表明：现实生活中的人们确实注重他们相关的收益。在零和博弈中，平局意味着双方收益没有变化。但是在像股票市场这样的非零和博弈中，输赢是相对的。玩家更注重的是自己赢得更多，而不是攻击对方。因此，当双方都能在交易中获利时，双方就会进行合作。虽然对策论在它的初期发展得比较缓慢，但现在它是市场经济分析的主要工具。最近，它又被用于全球公共设施拍卖给私人企业的活动中。这使得政府在执照拍卖中获得更多的税收，同时也扩大了市场的发展。整个宏观市场在竞争和合作中发展———这是一个对策论的世界。
物理“场”中的数学现象
从１８世纪中期开始，伴随着数学方法广泛应用于对物理现象特别是物理运动的分析，微积分也在不断地发展。微积分的应用包括了热力学、天体力学、流体力学及对光、电、磁的研究。这些学科都是通过建立描述物理现象的微分方程，以及开发求解这些方程的方法来解决问题的。由于难以求出微分方程的精确解，就把注意力引向近似方法。虽然上述学科所涉及的物理现象看起来是不同的，但它们都或多或少与空间的媒介相关联。特别是从牛顿的《自然哲学的数学原理》开始，人们狂热地争论“作用于一段距离”的真实性。例如，重力是如何越过空间发生作用的；重力和磁力是否是同一种类型力的不同方面，还是完全不同的现象；也许空间充满了被称为“以太”的物质？如果是的话，以太是什么东西，它有什么样的性质等等。为了解释这些疑问，我们将集中精力考察位势理论的历史以及它与电磁学的关系。
莱布尼兹的微积分被推广到多元函数。这样，与平面上的曲线ｙ＝ｆ（ｘ）一样，空间中的曲线ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）也成了研究的对象。于是，人们就有可能引进偏微分方程。在偏微分方程中针对每个变量可以独立地对其余变量求导。运动的粒子相互作用，可以表示为微分方程。从该微分方程的解可以得到该粒子运行的轨道。牛顿关于行星沿着椭圆轨道运行的研究结果，只是通过作出例如太阳和行星都是一个质点这样粗糙的假定，每个行星可以与其他行星相互独立地加以处理而得到。现在，最初反对日心说模型和非圆形轨道的论调以失败告终，而开始建立更加精确和完善的轨道模型，其中一个方法是着眼于动力系统中能量的变化，而位势理论就是表示能量守恒这个物理观念的数学方法。
天体力学要关注的一个重要现象是，行星毕竟不是沿着完全椭圆的轨道运行的，而是在这一轨道上摇摆着行进。事实上，越来越多的精确数据表明，太阳系的所有星球都偏离光滑的轨道。由此人们开发了摄动理论，在该理论下，一个行星轨道不仅与它和太阳间的相互作用有关，而且与它和其他行星之间的相互作用也有关。这就使得使用数学进行分析极其困难，因为人们需要考虑的变量太多了。人们重点探讨了三体问题：把太阳系简化成只有太阳、地球和月亮的体系。在这一体系下，我们得不到精确的解。１７４７年，欧拉开发了一个新方法：行星间的距离可以用三角级数展开式来近似。
这就是欧拉的《无穷小分析引论》所研究的主要问题。莱昂哈德·欧拉（ＬｅｏｎｈａｒｄＥｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）是历史上最多产的数学家。在巴塞尔大学，欧拉得到了约翰·伯努利的特别指导（伯努利家族在几个世代产生了许多优秀的数学家，是一个数学家族）。从１７２７年起，欧拉加入了由叶卡捷琳娜二世刚刚创建的彼得堡科学院。１７３３年，约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利回到家乡巴塞尔，把圣彼得堡科学院教授的职位让给了年轻的欧拉。一年后，欧拉结了婚，后来他成了１３个孩子的父亲，虽然只有５个孩子活到了成人。他后来说，他的一些最重要的发现是抱着孩子及在孩子的喧哗声中得来的。但是他的视力严重衰退。１７４０年，他的一只眼睛已经失明，１７７１年双目失明。１７４１年，他应普鲁士腓特列大帝的邀请来到柏林，并于几年后担任新成立的柏林科学院第一任数学研究所所长。欧拉于１７６６年回到圣彼得堡。尽管当时他的双目已近乎失明，但他的大部分研究是在此之后凭着富有献身精神的助手们的帮助，及他非凡的记忆力完成的。
欧拉的数学成果实际上囊括了所有的数学领域，其中包括制图法、造船术、历法及金融等应用性质非常强的领域。但是他的成名作是《无穷小分析引论》（１７４８年）、《刚体运动理论》
（１７６５年）及在微积分学中的研究成果。他的研究工作为数学分析及分析力学奠定了基础。数学中所用的函数符号ｆ（ｘ）及现在通用的圆周率“π”、自然对数的底“ｅ”，－１的平方根“ｉ”，求和符号“∑”等，都是欧拉首先提出并开始使用的。他认为在对自然现象的建模过程中，几何学、数论和分析学相辅相成共同发展。
使用摄动理论能得到更精确的行星轨道，但同时在理论上也产生了许多麻烦，那就是行星没有理由停留在现有的轨道上。小小的摆动很容易被增幅，并使行星完全离开它的轨道。就好像一个天使还需要让行星维持在它们原有的轨道运行上一样（到了２０世纪，人们发现能够用混沌理论解释太阳系动力学），用来描述行星运动的方程变得越来越多而且越复杂。在法国，人们更喜欢用分析方法而不是用几何方法来研究行星运动，从而产生了更多的难以处理的方程。分析方法以拉格朗日（ＪｏｓｅｐｈＬｏｕｉｓＬａｇｒａｎｇｅ，１７３６—１８１３）为代表。拉格朗日建立了“拉格朗日方程组”。拉格朗日的长达５００页的《分析力学》（１７８８年）一书中没有一个图。１７９９年，他发表了系列著作《天体力学》的第一卷。该卷着重讨论了位势理论和摄动理论。法国科学家的许多成果产生于法兰西革命时期，那时很多数学家都受到了政治动乱的干扰。青年柯西（ＡｕｇｕｓｔｉｎＬｏｕｉｓＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）由于全家暂时离开了巴黎，侥幸逃过了法兰西革命的最坏时期。从巴黎工学院毕业后，柯西在为拿破仑入侵英国而做港口的疏通工作，但是他更希望能集中精力研究数学。经过几番周折，他终于在法国巴黎工学院得到了助理教授的职位。
柯西是一个多产的学者，其中最著名的著作有《无穷小计算讲义》（１８２１年）和《微分学教程》（１８２９年），而他的全集多达２７卷。但是在１９世纪早期的法国的政治环境下，柯西一直没有改变他的天主教信仰，因此他与同事之间的关系一直很紧张。由于为了支持耶稣会而与法国科学院发生了冲突，在１８３０年又拒绝宣誓效忠新君主，他的教授职位被剥夺并且与查理十世同时被流放。返回巴黎后，虽然他是法兰西学院数学教授职位的最佳人选，但仍两次落选。只是当１８４８年路易斯被推翻后，柯西才又重新成为工学院的教授。在１８４０年到１８４７年之间，柯西发表了长达４卷的《数学物理分析》，这一研究奠定了实分析和复分析的基础，而实分析和复分析又是数学物理的基础。
法国人利用截取幂级数来得到近似函数，并希望通过保留更多的项来取得更佳的近似的想法，受到了许多寻求更加可行的方法的人的批判。例如，１８６０年后期，查尔斯·德洛内在他发表的一篇文章中给出了一个占据了一整章的大方程，并给出了近６０种估计它的项的方法。１８３４年，汉弥尔顿向皇家学会提交了一篇论文，在该文中他提出了“汉弥尔顿方程”。汉弥尔顿使用一个特征方程来刻画在一个能量场内任意多个质点的运动。不仅如此，汉弥尔顿自己也解释道：他的表达式（方程）生产了一种解法，该方法不同于拉格朗日的求解方法，而拉格朗日的方法在求解过程中往往行不通。从１９世纪中叶开始，黎曼将位势理论的方法及术语用于几何学的研究中。这个被称为微分几何的新领域把微积分的概念扩展到三维空间。在三维空间中，点、曲线、面这样的几何对象可以用向量描述，并且可以使用函数及作用于函数上的算子来刻画速度、加速度以及能量等动力学概念。例如，对于一元函数ｆ（ｘ），只定义了对变量ｘ的导数，而对三元函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则定义了３个不同的向量算子。这些算子是：梯度算子（记为ｇｒａｄ）、旋度算子（记为ｃｕｒｌ）和散度算子（记为ｄｉｖ）。实际上，在一个动力系统中的每一个变量，都可被认为是这个系统中的“一个维”。黎曼对于高维空间的研究，使微分几何学成为在一个统一框架中刻画物理系统的理想工具。正是使用了微分几何，麦克斯韦表述了他的电磁学理论。
１９世纪中期，产生了许多关于电与磁的实验和理论结果。１８世纪８０年代，查尔斯·库仑通过试验发现两个电荷间的引力与两个电荷的乘积成正比，与两者的距离的平方成反比。科学家们可以将在对重力的研究中得到的一些模型和方法，应用到静电现象中去。１８１２年，泊松利用与上一世纪拉普拉斯的《天体力学》类似方法研究了静电现象。他设想电流是由存在于所有物体中的相反电荷的两种流体形成的，同性电荷相斥，异性电荷相吸。第二年，他推导出了刻画电势和电荷密度间的关系的偏微分方程。该方程被称为泊松方程。１８２０年奥斯特通过带电的电线能使磁针摆动这一现象发现了电磁学。这激发了安培研究电与磁之间的相互关系，对这一研究他采用了“电动力学”这一术语。安培使用数学方法证明了：同静电力一样，电磁力也满足平方反比定律。法拉第电磁感应的发现表明了电与磁之间是紧密相关的。但当时的物理理论还无法对此做出恰当的解释。例如，安培提出的以太中微小的电力涡动是磁力传播的机制这一观点，将会碰到与笛卡儿在研究行星运行的涡动模型时所遇到的类似问题。
通过分析地球和月亮间的相互作用力，天文学家们清楚地认识到：由于两个球体的大小及它们之间的距离，已不能把它们作为质点来考虑，而是应该考虑整个球体间的相互影响。从地球上的一点看，月亮的引力效应与月亮的体积或质量及形状有关。物体在内部和表面的受力关系在数学上被处理为体积分和面积分的关系，这一关系于１８２８年被表述为格林定理。乔治·格林中年开始到剑桥大学学习数学，后来成为该校的研究员。格林定理是关于电磁位势的定理，但也可以用于引力位势。
１８７３年，继法拉第之后，麦克斯韦发表了论文《电和磁》，论文中的主要概念是电场和磁场。麦克斯韦试图避免被卷入关于以太本质和空间的真正本性的争论中，采用自上而下的方法。该理论回避了依赖诸如电荷、电流这样的不易理解的微观概念，而是采取了宏观的途径：他假设了场的存在以及在运动时场与场之间、场与媒介之间存在着相互作用。麦克斯韦认为空间是一个具有弹性的连续体，因为空间是连续的，所以运动能够从一点到另一点传递；又因为空间是有弹性的，所以媒介本身可以存贮动能和势能。他大量地使用了位势理论和微分几何学，并最先分别用汉弥尔顿的四元数符号及笛卡儿的等价形式写出了他的方程。而正是亥维赛给出了我们现在使用的矢量形式的麦克斯韦方程。
麦克斯韦的理论及表示形式并没有马上获得成功。对麦可斯韦的场论，汤普森指责麦克斯韦为“神秘主义者”，这使得人们联想起当牛顿提出重力时所受到的遭遇。这一时期对空间本质的认识比较混乱，而许多物理学家将麦克斯韦方程应用于自己的研究中。１８６１年，麦克斯韦推算出电磁波的速度与光速非常接近，从而促使他把光作为电磁波谱的一部分。１８８８年，赫兹通过实验验证电磁波谱的存在，从而证明了麦克斯韦理论的正确性。在同一时期，迈克耳孙和莫雷的实验证明了如果存在以太，那么当运动穿过它时，不管运动的物质是一个行星还是一束光线，媒介将不受影响。在实验证据面前，对于相隔一段距离的物体间相互作用的早时异议就完全消失了。１９０５年，爱因斯坦对时间和空间的观念重新进行了探讨。
麦克斯韦方程早期被应用于电报和无线电通信。亥维赛将麦克斯韦方程应用于电报学，考察了被别人忽视了的传输线里的自感应效应，这项研究促进了感应线圈的产生。感应线圈被用于横跨大西洋的电缆中，以便对信号进行增幅。１９０２年，马可尼成功地将无线电信号传到了大西洋彼岸。这给数理物理学家们提出了电磁波是如何在沿地球的大气层中传播的这一问题，特别是当接收器与发送器相距很远时，电信工业自开创以来从未停留过前进的步伐。
探秘宇宙海洋中的数学奥妙
所有早期文明都重视绘制地图。不论是为了建筑、征税还是为了制订作战计划，测量师的工作是与应用数学有关的最古老的职业之一。大约公元前２２００年拉格什城的苏美尔统治者古得亚的一座雕像，展示了一位测量员，他手里拿着宁基苏神殿的按比例缩小的设计、图、测量用的尺子以及书写用的工具。这是我们知道的最早的按比例绘制的设计图。人们在巴比伦的黏土板、埃及的纸草书及中国的丝绸上发现了地图。罗马人继承了希腊人的测量传统，当时的有关文献中记载了测量及按比例绘图的规则。
在绘制小区域的地图时，我们可以假设这一区域是平坦的。但当我们试图画更大区域的地图时，地球的曲率就成了重要的要考虑的因素之一。我们不清楚人类是何时发现地球是球形的。有些人认为人类占据了地球的一半。厄拉多塞从公元前２４０年起，担任亚历山大新城的图书馆馆长。他制作了第一张以科学原理为依据的地图，该地图含有经线和纬线，经线和纬线构成了不规则的坐标网格，但是这种绘制地图的方法，在当时好像并没有产生什么影响。而托勒密于公元１５０年发表的《地理学》却成了制图学的标准教材，此书中说到地球是球形的，而且只有一部分地区有人居住。地球的周长为１８００００视距（有人们认为视距大约１６０米），这一长度远没有厄拉多塞的２５００００视距精确。《地理学》的伟大贡献是奠定了把球面投影到平面的基础。花剌子密修改了托勒密的地图，他保留了托勒密关于地中海地区的那一部分，但提高了中亚地区的精确度。
把球形的地球投影到平面上往往要产生一些失真。绘图员最关心的是确定哪些因素使失真最厉害，哪些因素使失真最少。等角投影可以减少角和形状上的失真；等积投影可以保持相对的面积；等距投影可以保持相对距离。正像我们将要看到的那样，陆地地图和海洋图有不同的要求。