棋盘上的麦粒
据说古印度有个国王非常喜爱下棋，而且棋艺高超，很少输给别人。于是骄傲的国王就贴出告示：谁能下棋赢了自己，将给予重赏。有一天，一个术士进宫下赢了国王，国王就问他想得到什么赏赐，术士连忙拜倒回答说：“请您在这张棋盘的第一个格子里放一粒麦子，在第二个格子里放２粒麦子，在第三个格子里放４粒麦子，第四个格子放８粒……依此类推，每一格里放进比前一格多一倍的麦粒。尊敬的陛下，请您就把棋上６４个格子内应放的麦粒赏赐给我吧！”国王一听乐得差点笑出声来，心说这人真傻，竟只要求这么几粒麦子，所以马上就命令手下拿一小口袋麦粒，照术士说的方式数麦粒给他，还没有到２０格，一袋麦粒已经空了；一袋又一袋的麦粒扛出来，但是每一格都在成倍增加，国王终于明白，就是把整个王国的麦粒全赏给术士，也还远远不够。真的需要那么多的麦粒吗？计算一下就知道了。麦粒总数为：
１＋２＋４＋８＋……＋２６３＝１８６４４６７４４０７３７０９５５１６１５粒。
这究竟是多少麦粒呢？按每千粒２００克计算，每吨大约就是５００万粒。棋盘上全部麦粒加在一起共有３６８９３４８８１４７４２吨，如果建一个高１０米，宽４米的仓库来装这些麦粒，那么这个仓库的长度就是地球到太阳距离的两倍多，如果一列火车能装运１０００吨小麦，就需要３６８９３４８８１５列火车才能运完。一粒麦粒两粒麦粒虽然很少，但是如果成倍增长，那数字很快会变得很惊人，如果那国王多懂一点数学知识，就不会被术士钻空子了。
百鸡中的数学
古时候有一个县官老爷让仆人拿着１００文钱到张老汉那儿买１００只鸡，还要刚好花光那１００文钱，不能多也不能少。当时鸡的价钱是这样的，大公鸡５文钱一只，母鸡３文钱一只，小鸡则花１文钱就可以买到３只。张老汉左思右想，也想不出怎么搭配才能满足１００文钱１００只鸡的要求，因此愁闷不已。他的儿子说道：“父亲，不必发愁，我有办法。”他让父亲带去４只公鸡，１８只母鸡和７８只小鸡，张老汉一看，正好值１００文钱。县官见到张老汉送来了１００只鸡，非常惊讶，知道张老汉必是受人指点，于是又取出１００文钱给张老汉，让他再拿１００只鸡来，但不许重复，张老汉的儿子这次让父亲送去８只公鸡，１１只母鸡，８１只小鸡，又符合了县官的要求。县官大吃一惊，就问张老汉是受谁指点，张老汉据实回答，县官听说张老汉有这么一个聪明孩子，非常欣赏，就对张老汉说：“我再给你１００文钱，要是你儿子还能送１００只鸡来并且与前两次不重复，我就举荐他去读书。”张老汉回家一说，他儿子就不慌不忙地开口了：“父亲，您给县老爷送１２只公鸡，４只母鸡，８４只小鸡去就可以了。”县官后来也没有食言，果然把张老汉的儿子推荐去深造。
这是一个不定方程问题，古人不会列不定方程组，那么，张老汉的儿子究竟用什么方法计算出这个问题的呢？原来，他发现了一个秘密，４只公鸡值２０文钱，３只小鸡值１文钱，加在一起就是７只鸡值２１文钱，而７只母鸡也恰好值２１文钱。只要少买７只母鸡，就可以买４只公鸡和３只小鸡，这样鸡数不变，钱也不变，答案却变了，这就是能够给出３个答案的原因。“百鸡问题”原载于《张邱建算经》，而在西方系统研究不定方程的是古希腊数学家丢番图，因此西方数学史把不定方程称为丢番图方程。
鸡兔同笼问题
《孙子算经》中有一道很有意思的数学题目：“今有雉（就是鸡）兔同笼，上有３５头，下有９４足，问雉兔各多少？”意思就是说在同一个笼子里关了鸡和兔共３５只，而这些鸡与兔的脚共有９４只，根据这个条件，要求出鸡的数目与兔的数目。如果没有学过解方程组，运用智慧还是能推算出来的。先假设笼子里３５只全是兔子，一只兔子四只脚，那么笼子里就应该有３５×４＝１４０只脚，比实际的９４只多出了４６只脚。每只鸡的脚要比兔子少两只，如果笼子里有一只鸡，脚就会减少两只，现在脚应该少４６只，所以笼子里就有４６÷２＝２３只鸡，剩下的就是１２只兔子。这种假设的方法在许多问题中都会用到，在数学中也称方程思想，当然也可以列出方程组求解。民间也流传着类似的数学谜语：３８只鸡和狗，１００条腿往前走，问有几只鸡几条狗？不妨试一试。
装错信封
有一天伯努里在圣彼得堡碰到欧拉，向他提出一个问题：
“某人写了若干封信，也写了每封信的信封，等到往信封里装信的时候，他把所有的信都装错了信封，这样‘装错信封’的方法有多少种？”欧拉答应回去考虑后再回答他。这是组合数学中“错排问题”，后来欧拉给出一个计算公式。现在来看看它的解法。
设有四封信，标上１、２、３、４四个号，按自然顺序设置信封。先用信封１、２错装成２、１，只有１种方法，记为：Ｄ２＝１；因为信封１不可能装错，所以：Ｄ１＝０。
再用封信１、２、３错装成３、１、２和２、３、１，有２种方法，记为：Ｄ３＝２；这两种装运可以这样得到：先把１、２、３的１、２错装成２、１，再把２、１、３中的３与前面的２互换位置就得到３、１、２，和１互换位置就得出２、３、１。
再看四封信全部装错的种数Ｄ４。
先把最后一封信４和前面第一封信１装错，剩下的两封信２、３互相装错Ｄ２＝１；依次把４和２装错。剩下１、３互相装错，又一个Ｄ２＝１；把４和３装错，剩下１、２互相装错，共有（４－１）×Ｄ２＝３×１＝３种方法。（如下）４、３、２、１３、４、１、２２、１、４、３
再把前三封信装错有Ｄ３＝２种方法，用４和第一种方法３、１、２的每一封信互相换装得：
３、１、２、４→４、１、２、３
３、１、２、４→３、４、２、１
３、１、２、４→３、１、４、２
（４－１）＝３种方法。
用４和第２种方法２、３、１的每一封信换装又得：
２、３、１、４→４、３、１、２
２、３、１、４→２、４、１、３
２、３、１、４→２、３、４、１
（４－１）＝３种方法。
共（４－１）·Ｄ３＝３×２＝６种方法。所以四封信全部装错共有：
（４－１）Ｄ２＋（４－１）Ｄ３＝３＋６＝９种方法。
这样推下去，可以得出一个递推公式：ｎ封信全部装错信封的方法有：
Ｄｎ＝（ｎ－１）（Ｄｎ－１＋Ｄｎ－２）种。（Ｄ１＝０，Ｄ２＝１。）从中可以得到一个重要启示：从具体到抽象，从个别到一般是发现规律的普遍方法。
难拿的箱子
美国物理学家纽科姆曾提出一个悖论：“难拿的箱子。”有一天，一个宇宙人乘飞碟来到了地球上的一个小村子里。宇宙人说，他能非常准确地预言每一个村民在两种选择中会选择哪一个。于是许多村民前来验证他的说法。宇宙人用两个箱子来检验前来的村民。其中箱子甲总是透明的，里面装着１００个金光闪闪的金币，而箱子乙则看不到里面装的东西，可能空着，什么也没装，但也有可能装着比１００个多得多的金币。宇宙人告诉每个试验者，有两种方法可以选择：一种是拿走所有的箱子，但是当宇宙人预计受试者这样做时，他会将箱子乙变空；另一种选择是只拿箱子乙，如果宇宙人预测到应试者会这样做时，他会将箱子乙中变满１０００个金币。宇宙人说完就走了。
一个小男孩决定只拿箱子乙，他的理由是，他已看到宇宙人预测的几次都没出错，所以他决定只拿箱子乙，宇宙人当然也不会预测错，因此他可以得到１０００个金币。一个小女孩则决定拿两个箱子，她认为宇宙人已经完成了自己的预言，并且走了，因此箱子不会再变。所以她拿两个箱子当然比一个箱子划算。那么这两种看法到底哪一个正确呢？至今人们仍在寻求答案。
地图四色引发的思考
１８５２年英国人弗南西斯·格思里在为地图着色时，发现了一个有趣的现象：每幅地图只用四种颜色着色，就可以使有共同边界的国家都被着上不同的颜色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？格思里和弟弟为证明这一问题用去了大堆的稿纸而没有结果；他们向数学家德·摩尔根请教，摩尔根也没有找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿对这一问题进行长达１０年的论证，直到去世也没有能解决问题。１８７２年英国数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了全世界数学界广泛关注的问题。许多一流数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
这个问题直到电子计算机的出现，才为解决这个数学难题提供了有力的工具。１９７６年美国的阿佩尔和哈肯发表了借助电子计算机做出的肯定四色猜想的证明，费机时１２００小时，作了１００亿个逻辑判断。他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳以示庆贺。
“四色问题”的被证明不仅解决了一个历时１００多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。“四色问题”在有效地编制航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
趣话军训排队
１９３４年秋天，当时日寇压境，政局混乱，北京各大专学校都设有军事训练一课，教官由军事委员会北平会委派。男生一律戎装，制服分冬夏两套。冬天为藏青色粗毛呢中山装，学生帽；夏天，浅棕色卡叽布，上身西式开领，系黑领带，裤子下半一排纽扣束腿，一如猎装。经常在大门外网球场上操练。每逢持枪上肩，喊“一、二、三、四！”边喊边走，精神上颇有威武之感。所学项目，不外乎立正、稍息、左右转弯、齐步、跑步之类。教官都是黄埔军人装扮，着后跟带刺的马靴，腰佩短剑，尉官军衔。他们平日和同学嘻嘻哈哈，在女同学面前更是分外温和。而一旦出现在操场上，居然一派军人气概。
１９３５年，还在德胜门外黄寺大操场上，集合全北京的大专军训学生举行阅兵典礼。军乐声中，分列行进，很有点备战的气氛。
１９３７年暑假，大专学生集训于西苑兵营。领了武器，剃了光头，穿上灰色军衣，阵容、装备、课目、要求俨然是正式军旅了。时隔不久，卢沟桥一声炮响，学生们都各奔前程了。
在学生的军训中，排队也很有讲究，有很多道道。有八个中学生一男一女相间地排成一排。题目要求予以重排：将四个“士兵”排在一头，而将四位“红十字会护士”排在另一头，但仍要像原来一样，八个人排成一排。这项任务必须在四步之内完成，所谓一步，就是将相邻的一对学生一起挪动到其他位置。
为方便起见，在解题时，可用一分硬币代表男学生，一角硬币代表女学生。
然后，一次挪动一对相邻的硬币，设法在四次之内把所有的一分硬币集中到一头，而把一角硬币集中到另一头。要记住：只能挪动相邻的一对硬币，而且不准颠倒它们的顺序。譬如说，你可以将Ｄ和Ｅ（字母标志在他们的帽子上）一起挪到队伍的左端，但不准把Ｅ放在Ｄ的左边。
答：把Ｂ和Ｃ移到队伍的右边，同打鼓的女学生站在一起；然后用Ｅ和Ｆ填补空当；再用Ｈ和Ｂ填补空当；最后再用Ａ和Ｅ填满空当。
用数学沙漠脱险
穿越沙漠水是第一需要，精神状态也非常重要。尤其是大部队行军穿越沙漠更是如此。有一则“亚历山大泼水过沙漠”的故事，讲的就是这个道理。
公元前３２５年，马其顿国王亚历山大率军从印度西归。行至伽德罗西亚沙漠时，烈日当空，气候非常炎热干燥。部队走了几天都没有找到水源，携带的饮水已经用完，干渴使全军将士异常疲惫和虚弱，这不仅影响着行军速度，还严重地威胁着每一个人的生命。
这时，派去找水的小分队在一条很浅的干河床上找到了一个小得可怜的水坑，他们费了很大劲才从里面淘出一点点水。他们把水装在头盔里，飞快地向亚历山大跑去，好像是为他呈送了多么了不起的礼物。亚历山大当着全军的面郑重地接过了这顶头盔，并向弄水的人表示感谢，随后默默地低下头把这点水泼在沙地上。全军将士起初一愣，随即为之一惊，然后突然爆发出一阵热烈的欢呼声，仿佛每个人都喝到了亚历山大泼出的那点水。由于全军上下精神振奋，行军速度大大加快，终于走出了伽德罗西亚沙漠。可见，在穿越沙漠中精神状态如何也是极其重要的。
如果是飞行员跳伞落入沙漠里，则首先要解决遮阳的问题，可选用跳伞携带的遮阳伞，也可用降落伞搭设简易帐篷，此时应将帐篷内的热沙挖去，人坐在帐篷内休息，既可防日晒也可防风沙。白天炎热时不要行动，防止体力过度消耗而虚脱。等到晚上或早晨清凉时再进行必要的活动或行走。
在沙漠中要学会找水源，一般在半月形的沙丘背面或干涸的河道易挖到水；生长甘草的地方，地下水在４～５米深处。
沙漠中可食用的植物有肉苁蓉、沙枣、沙米等，可食用的动物有黄羊、刺猬、鸟类等。
过沙漠时，有了水也不能大意，也要计划使用。解放战争时期，我军的两名侦察员在取得了重要情报后，大部队已经老早出发了。他们为了将情报及时送交部队首长，必须穿越沙漠抄近路迎头赶上。
近路是一片荒无人烟的茫茫大沙漠。据当地群众说，穿过沙漠需要１０天时间，但是根据沙漠的气候特点和人体负荷情况，每人最多只能带８斤食品和８斤水，而每人每天至少要消耗１斤食品和１斤水。这样，最后２天便会因无法得到食品和水的补充而葬身沙漠。
尽管当地可以找到民工，但是民工每人也只能带８斤食品和８斤水。各自所带的粮食和水连自己都不够消耗的。怎么办呢？急得两个侦察员抓耳挠腮。
两人苦苦思索着解决办法。
“有了，可以这么办！”忽然一个队员想出了妙法。两人一合计确实可行。
于是两个人便顺利地通过了沙漠，圆满地完成了任务。他们想了什么办法呢？
原来，他们雇用了一个民工，两天后，请民工回去，并给他２斤食品和２斤水供回去的路上用。民工余下的４斤食品和４斤水，两个队员平分，加上他们各自剩余的食品和水，每人仍是８斤食品和８斤水，而此时余下的路程也只需８天了。可见，这两个战士数学一定学得很好，而且用到了节骨眼上。
更让人不解的是，在大沙漠中女军人更能安然无恙？在海湾战争中，在气温常常高达４０℃以上的阿拉伯大沙漠中，进驻了一批美国女兵。据一家美军医院透露，过去几个月里，该院已收治１８００多名来自海湾的美军患者。但奇怪的是，他们全部是男性。在同样的恶劣气候条件下，女军人从事着繁重的无线电通信、飞行勤务、战地救护和战场执勤等工作，却安然无恙，适应能力明显强于男性。这种现象引起一些专家的注意，正在从生理、心理等方面分析研究，寻找答案。也许当女性的某些潜在功能被揭示出来，人们将重新认识女性对战争的特殊作用。
急中生智巧过桥
在罗马帝国的恺撒—庞培之争中，恺撒最后建立了自己的独裁统治，但他也曾经受过失败的严峻考验。