书城自然科学必解的数学密码
29540600000057

第57章 和人捉迷藏的质数

一个大于1的整数,如果除了它本身和1以外,不能被其他正整数所整除,这个整数就叫做质数。质数也叫素数,如2、3、5、7、11等都是质数。

如何从正整数中把质数挑出来呢?自然数中有多少质数?人们还不清楚,因为它的规律很难寻找。它像一个顽皮的孩子一样,东躲西藏,和数学捉迷藏。

古希腊数学家、亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼提出了一种寻找质数的方法:先写出1到任意一个你所希望达到的数为止的全部自然数。然后把从4开始的所有偶数画掉;再把能被3整除的数(3除外)画掉;接着把能被5整除的数(5除外)画掉……这样一直画下去,最后剩下的数,除1以外全部都是质数。如找1-30之间的质数:

1234 56 78 9 10

1112 1314 15 16 1718 1920

21 22 2324 25 26 27 28 2930

后人把这种寻找质数的方法叫埃拉托塞尼筛法。它可以像从沙子里筛石头那样,把质数选出来,质数表就是根据这个筛选原则编制出来的。

数学家并不满足用筛法去寻找质数,因为用筛法求质数带有一定的盲目性,你不能预先知道要“筛”出什么质数来。数学家渴望找到的是质数的规律,以便更好的掌握质数。

从质数表中可以看到质数分布的大致情况:

1到1000之间有168个质数;

1000到2000之间有135个质数;

2000到3000之间有127个质数;

3000到4000之间有120个质数;

4000到5000之间有119个质数;

随着自然数的变大,质数的分布越来越稀疏。

质数把自己打扮一番,混在自然数里,使人很难从外表看出它有什么特征。比如101、401、601、701都是质数,但是301和901却不是质数。又比如,11是质数,但111、11111以及由11个1、13个1、17个1排列成的数都不是质数,而由19个1、23个1、317个1排列成的数却都是质数。

有人做过这样的验算:

12 1 41=43,

22 2 41=47,

32 3 41=53,

……

392 39 41=1601.

从43到1601连续39个这样得到的数都是质数,但是再往下算就不再是质数了。

402 40 41=1681,

1681是一个合数。

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费马,对质数做过长期的研究。他曾提出过一个猜想:当n是非负数时,形如f(n)=22n 1的数一定是质数。后来,人们把22n 1形式的数叫“费马数”。

费马提出这个猜想当然不是无根据的。他验算了5个费马数:

f(0)=220 1=2 1=3

f(1)=221 1=4 1=5

f(2)=222 1=16 1=17

f(3)=223 1=256 1=257

f(4)=224 1=65536 1=65537

验算的结果个个都是质数。费马没有再往下验算。为什么没往下算呢?有人猜测再往下算,数字太大了,不好算。但是,就是在第六个费马数上出了问题!费马死后67年,也就是1732年,25岁有瑞士数学家欧拉证明了第六个费数数不再是质数,而是合数。

f(5)=225 1=232 1=4294967297=641×6700417

更有趣的是,从第六个费马数开始,数学家再也没有找到哪个费马数是质数,全都是合数。现在人们找到的最大的费马数是f(1945)=221945 1,其位数多大1010584位,这可是个超级天文数字。当然尽管它非常之大,但也不是质数。哈哈,质数和费马开了个大玩笑。

在寻找质数方面做出重大贡献的,还有17世纪法国数学家、天主教的神父梅森。梅森于1644年发表了《物理数学随感》,其中提出了著名的“梅森数”。梅森数的形式为2p-1,梅森整理出11个p值使得2p-1成为质数。这个11个p值是2、3、5、7、13、17、19、31、67、127和257.你仔细观察这11个数不难发现,它们都是质数。不久,人们证明了:如果梅森数是质数,那么p一定是质数。但是要注意,这个结论的逆命题并不正确,即p是质数,2p-1不一定是质数。比如211-1=2047=23×89,它是一个合数。

梅森虽然提出了11个p值可以使梅森成为质数,但是,他对11个p值并没有全部进行验算,其中的一个主要原因是数字太大,难以分解。当p=2、3,5,7,17,19时,相应的梅森数为3、7、31、127、8191、13107、524287.由于这些数比数比较小,人们已经验算出它们都是质数。

1772年,65岁又目失明的数学家欧拉,用高超的心算本领证明了p=31的梅森数是质数:231=2147483647.

还剩下p=67、127、257三个相应的梅森数,它们究竟是不是质数,长时期无人去论证。梅森去世250年后,1903年在纽约举行的数学学术会议上,数学家科勒教授做了一次十分精彩的学术报告。他登上讲台却一言不发,拿起粉笔在黑板上迅速写出:

267-1=147573952589676412927

=193707721×761838257287

然后就走回自己的座位。开始时会场里鸦雀无声,没有过多久全场响起了经久不息的掌声。参加会议的人纷纷向科勒教授祝贺,祝贺他证明了第九个梅森数不是质数,而是合数!

1914年,第十个梅森数被证明是质数;

1952年,借助电子计算机的帮助证明了第十一个梅森数不是质数。

以后,数学家利用速度不断提高的电子计算机来寻找更大的梅森质数。1996年9月4日,美国威斯康星州克雷研究所的科学家。利用大型电子计算机找到了第三十三个梅森质数,这也是人类迄今为止所认识的最大的质数,它有378632位:21257787-1,同时发现了新的完全数:(21257787-1)×21257786.

数学家尽管可以找到很大的质数,但是质数分布的确切规律仍然是一个谜。古老的质数,它还在和数学家捉迷藏呢!