数学家总是幻想解释自然。但是，他们的渴望经常超出他们的能力。数学家普遍性的错误是，首先从一些普遍的原则中得出一系列数学形式，然后将自然塞入由这些形式确定的模型中。比如，古希腊人认为直线和圆是最完美的形式。当文艺复兴时期的数学家尼考罗·方塔纳（绰号塔尔塔格里亚，即“结巴”）说明炮弹的飞行线时，他将炮弹初出大炮口时的飞行线画成直线，然后成为弧线，落到目标上时是为垂直降落的线。同样，约翰纳斯·开普勒试图寻找出不仅能解释行星在宇宙间运行的方式，而且精心找出行星中的6颗星，为其中运行线路固定的5颗星画出运行图，并试图解释为什么它们之间相隔的距离如此接近。
这些理论没有一个能够支持很久。塔尔格里亚的直线和曲线被抛物线所取代。直到今日，我们还没有令人信服的理论说明行星之间的距离问题，尽管维迪姆伯格的提丢斯发现的经验定则（但是一般将功劳归功于约翰·波得），用修改过的几何级数为行星描绘出了模型。开普勒用他的行星运行轨道是椭圆形的发现取得了尽人皆知的惊人成果。但是，令人震惊的成功属于艾萨克·牛顿，他的《自然哲学的数学原理》（1687年）宣布他发现了“世界的体系”，他确实做到了这一点。人们认为，牛顿之所以会取得成功是因为他用的是物理学家而不是数学家的思维方式进行思考的。他的研究不是从自然应该使用何种数学的先入之见开始的，而是在对自然的实际运行规律的观察中得出数学技巧。因此，他避免了普遍的错误，创立了自然数学模型的范例，他的成就是如此令人信服，以至于在3个世纪中几乎没有受到任何挑战。
牛顿用数学方程式描述了——用现在的术语讲就是作成模型——物理宇宙的行为，这就是人们所知道的微分方程，这些方程式描述了当前状态和未来很短时间内的状态的差异。现在人们使用了更令人难忘、更生动的术语：动力系统。动力系统完全根据当前状态描述不远的将来。所以，动力系统是根据现在的行为预测很近的未来的行为。通过连续地多次重复这个过程，我们可以在原则上随意预测系统在未来的状态。在非常重要的意义上说，动力系统是决定论的：如果将动力系统精确地用于同样的状态两次，那么，从此，动力系统就会在这两种情况下准确无误地以同样的方式继续运行。
根据牛顿的范例，任何物体或粒子的系统都是决定论的。在原则上，这个范例应用于整个宇宙。后来的数学模型决定论哲学的阐述者彼埃尔·西蒙拉普拉斯（1749～1827）说：一个智力在任何特定的时刻都知晓使自然充满勃勃生机的所有力量和构成自然的存在物的相互位置，如果这个智力大到足以对自然的数据进行分析的程度，这个智力就能将宇宙间的最大的物体和最轻的原子的运动压缩为一个方程式：因为这样的智力不能确定不存在之物，因此，未来就像过去一样将呈现在这个智力的面前。
这是希区亥克指南式的宇宙观点：超级计算机“深邃思想”正在作出对生命的大问题、宇宙和所有的事物的完满回答。这就是时钟机构宇宙的范例，一旦嵌齿轮开始运动，就再也不会偏离初始方向，虽然计算机出现过错误，但是，它帮助人类认识了我们周围的世界。它的工作确实涉及到生命许多方面的问题，如，猎豹尾巴上的斑点和条纹的图案、昆虫和鱼的数量的增长和减少、脱氧核糖核酸分子的复杂折叠形式。计算机发现了许多宇宙结构的秘密，从戈弗雷的肯基流，一个发现于土星北极的巨大的、非常神秘的风的形式过程——这是一个近乎完美的六角形——到星系的旋转，直至发生大爆炸的时刻。
拉普拉斯认为数学模型能解释我们宇宙所有的现象。但是，科学有强调自己的成功和掩盖失败的习惯。数以千计的教科书都解释了世界决定论观点的胜利，但是非常少的教科书讲到科学的缺陷。这个尴尬的状况在航空航天局发射的“旅行者号”航天飞机拍摄的一张照片上得到了彻底解决。照片上最引人注意的是红点，它在木星旋转的风暴中十分稳定，而这种旋涡其直径达到地球的两倍。人类对于这个红点的认识大概至少在300年中没有什么变化，在《皇家学会哲学学报》上有这样的记录：“……具有独创精神的（罗伯特）胡克博士自从向他的一个朋友说了他的研究计划后，他就使用十分精确的、直径为12英尺的望远镜在几个月的时间内进行了观察，观察结果得出后几天的一个晚上（1664年5月9日）大约9点钟，他宣布，他发现了木星带中最大的一条上的红点……”这个红点是稳定和决定论的具体体现。但是，在“旅行者号”于1979年进行了它重要的探险旅行之前，有几股旋涡尾随着红点的现象一直没有被人类发现。这是激烈旋转中的盘旋，就像鲸游过去后形成的尾流旋涡。这些旋涡是不规则的、无固定形式的、短暂的、不可预测的，完全不同于红点所产生的旋涡的特点。
红点的运动和稳定性是流体力学数学原理的结果。这是在牛顿和拉普拉斯的范例中确定不移地存在的决定论方程式。但是，为什么红点稳定的和确定的结构，会伴随有激烈变化的旋涡状的无规则变化的长尾？同一个说明红点的有序的决定论的方程式，能否说明伴随其旋涡的无序？这种现象是怎样发生的呢？
这种现象和一般湍流的第一理论就是这种现象没有发生。正如所有的真实世界的数学模型一样，流体力学的定理包括流体结构的近似物。比如，这种近似物是由无限分离的物质组成的，而不是由分离的原子组成的。当出现湍流时，物质广泛分离，近似物变得无效。湍流定理是不同的另一种定理。
保持这个理论不遭受挑战是很容易的。流体力学的过程是复杂和难以处理的。当它们能用一些数学公式解答时，它们必定是用一种美妙的方式进行活动的。湍流很显然是很难处理的，因此，当流速湍急时，你很难解决这个物理过程的问题。
但是，现在我们有了新的工具——电脑。电脑证明了控制红点有序流动的定理同样也确实能控制湍流。这与湍流的第二理论是一致的，第二理论是俄国物理学家列夫·郎道（1908～1968）的功劳。他的理论认为，明显的不规则是整个秩序中的很小部分，这些不规则非常复杂，以至于我们无法了解其全部。这个理论基本上是正确的，尽管在微小的过程中表现为复杂的程序——许多独特的周期运动的混合，就像种类繁多的各种规格的旋涡——则是错误的。当前的理论是新的数学结构，别名是混沌，混沌是研究这种现象的科学。
（1）动物寓言最好
如果我们用数学家的观点思考整个问题，我们就会取得进展。如果过于集中地将注意力放在涡流上，而这是明显的决定论系统的一个不规则的行为，我们可能会因为解决这种特殊现象的技术困难而不知所措。我们应该用“基础科学”的方法，研究简单的，但是重要的普遍性的问题，不考虑它们的特殊应用，也不考虑它们在某些有限的世界观点中是否有用。但是，一旦问题开始出现，我们就应该记住恢复这些更为严格的标准。
中世纪的学者喜欢收集有关他们能够找到的所有的生物的故事，他们将这种故事称为动物寓言。数学家们也喜欢编造动物寓言，但是，他们的数学著作中的动物都是可能在特定的情况下出现的事物。数学动物寓言被称为分类原理。这种哲学是，在你能够编造动物寓言之前，你完全不了解一个问题，而且，即使如此，你也许仍然不了解这个问题，因为对于问题的列表上的某些问题你仍然得不到解答。从这个观点上看，关键的问题是：动力系统能做什么事情？古典数学将教科书上用数以千计的试题讲解的分类数学压缩为一般种类的行为的短目录。
①动力系统可以存在于恒稳定状态，没有任何变化。恰当的例子是岩石，岩石在很长时间内仍作为岩石存在，其稳定存在的形成使得每个路过的人都会对其伟大的对称和其始终不变的恒稳定的尽善尽美作出评论。然而，事实上也许不是这样：当这个岩石发生变化的时候，我们就会注意到。因此从某种意义上说，我们确实抓住了其基本稳定的本质。
②下一个最为复杂的行为是周期性。一个系统如果不断重复同样的行为，这个系统就具备了周期性：“又是圣诞节，有趣，自从上次圣诞节后只是又过了一年。”月相和季节转换等天文周期——在很大程度上是近似的——是周期性的。许多生物周期，如呼吸、睡觉和心跳等也是同样的。
③在古典数学中出现的第三种运动叫做半周期性。月亮的运动和地球运动的本身是周期的；地球围绕太阳转也是周期的。那么月亮——地球——太阳结合为一体的系统也是周期的，按这些月和年的数量精确地重复。但是，如果这些数字之间不存在任何关系——在这种情况下，两个相互独立的周期不能比较——那么，这种运动就是半周期的或准周期的。这是权威们承认的运动的基本形式。由于任意选择的周期是普遍的不可比的，因此，月亮——地球——太阳结合为一体的系统也设想为是半周期的。
长达数个世纪的经常错综复杂、很少简单轻松的数学分析的结果是，当一个说明物理系统的方程式被解开时，其答案为稳定、周期的和半周期的这样几种形式，只有极少数的特殊情况除外。从这个观点来看宇宙的功能，我们就会得出这样的结果，宇宙是一个巨大的具有相互重叠周期的系统。古典动力学的动物寓言中只有三只野兽。
在这个得到普遍承认的证据前面，引起了人们询问这个已领悟到的智慧的特别态度。结果，纯粹的数学家回答说：还有其他的运动能够发生吗？纯粹的数学有两个特点（还经常发怒）。它提出非常普通的问题，同时要求在逻辑上给予无懈可击的回答。在这时，回答是出人意料的：确实存在其他种运动。其证据似乎是强有力的：事实上，它就是难以逾越的障碍。未提出的问题是：当方程式无法被解开时，解式是什么样子？当然，没有任何人知道……因为他们还没找到解式！
（2）维尔特拉方程式相同
当你要解开一个方程式时，你如何才能寻找到解式？很明显，你必须从其他一些方面解决整个问题。数学家们发现，即使你根本就写不出一个方程式，但是，具体设置一个解式则是可能的。这种思想大约在1900年伟大的法国数学家亨利·普安卡雷（1854～1912）所进行的天文学研究中得到印证，他的发现成为混沌的第一批发现之一。尽管普安卡雷在获得发现之后就没有取得应该取得的成果，但是他为研究动力系统提出了一种有效的新方法。这种方法建立在一种新的几何学的基础上，他把这种方法称为定点分析（analysissitus），但是我们现在将其称作拓扑学：连续过程的解析几何。
普安卡雷没有将注意力死盯在解式的公式上，而是设想了一个多维的空间，这个空间中的坐标就是系统的变量。空间的每个点代表了一整个坐标，也就是确定所有变量的值的数字。系统的每个可能状态都与相的空间的每个点相一致。
按照力学原理，随着时间的推移，时间发生变化。具有代表意义的点移动，在相的空间上形成曲线，动力过程的解式由曲线来表示。将这些曲线集中在一起就会得出综合的情况。这个在一个几何图形上显示的相图不仅能显示出系统的情况，而且能做所有能够做的事情。人们经常不需要为解式找出公式，而经常可以在相图上就能进行确定，得到整体量的变化，因为通过研究相图的几何学就能解决力学上的问题。
几乎我们所有的对于动力系统的理解都是通过这种几何学方法进行的。比如，意大利数学家推托·维尔特拉（1860～1940）为地中海的以捕食其他鱼为生的鱼和食物鱼的数量设计了一个简单的模型。他试图用这个模型对生物学家乌姆伯托·德·安考纳好奇的观察作出解释；在第一次世界大战期间，当捕鱼量下降时，捕获物中以捕其他鱼为生的鱼的比例更大。维尔特拉发现了这种现象的原因：数量的变化是具有波动周期的，如果数量平均的话，在一定程度上，就对以捕其他鱼为生的鱼有利。人类究竟能不能预测天气呢？不久前，在美国国家科学院的专家会议上，气象专家们一致认为，由于建立了超级计算机系统、卫星遥感系统和多普勒雷达系统，进行准确的10天以内较大范围的天气预报是可能的，对台风、旋风、雷暴等自然灾害进行预测也是可能的。可是，由于模拟模型的误差随着时间延长呈指数式增长，10天以上更长时间的预报还存在相当大的困难，因为人类至今尚未科学而权威地解释：是什么力量驱动着气候？到底是什么力量驱动着气候呢？
看来，这个领域也有待我们继续探索，继续努力。