不重复地过大桥
科尼斯堡(Konigsberg，现在是俄罗斯的加里宁格勒)是哲学家康德毕生居住的城市，因此名声远播。传说康德喜欢每天在同一时间散步，所以，人们都用他的散步来判断时间。然而许多人并不知道的是，对于数学研究来说，这座城市也具有非常特殊的意义。
横贯科尼斯堡的普莱格河将城市分成了A、B、C、D4个地区（如图50），有7座桥梁连接着这些地区，从而成就了一个非常有趣的问题。
这个问题就是，能否在不重复的情况下，经过所有大桥。而事实上，这是不可能的事情。
一笔挥就
这个问题与在写字或画画时不停笔一气呵成且不重复，也即一笔挥就是否可能相类似。当经过一个点连接的直线数量呈奇数时，该点就被称为“奇数点”。一笔挥就成为可能的条件是没有奇数点或有两个奇数点。
由于问题中的4个点A、B、C、D都是奇数点，所以想要做到“一笔挥就”是不可能的事情。
欧拉回路
如图51左图所示，如果没有奇数点，无论从哪一点开始都可经过所有直线回到起点，我们称这样的线路为“欧拉回路”。另外，如图51右图所示，如果有两个奇数点，则从一个奇数点开始经过所有直线之后会最终到达另一个奇数点。
“欧拉回路”这个名字取自首次证明在科尼斯堡大桥上不可能实现“一笔挥就”的瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年）之名。
“一笔挥就”成为可能的科尼斯堡大桥
如图52所示，事实上在19世纪末期科尼斯堡建立了连接A和C的第8座大桥，这就使“一笔挥就”真正成为可能。
“一笔挥就”在现实生活中也有广泛的应用。
比如说驾驶清扫车，只有不重复地经过所有道路才能提高效率。所以利用“一笔挥就”原理制定相关清扫计划，则不用重复经过同一条道路即可完成所有清扫任务，经济高效。
汉密尔顿回路
此外，还有与“欧拉回路”相类似的“汉密尔顿回路”。不过，与欧拉回路的不同在于，它是一次经过所有的“点”而不是所有的“线”。
如图53所示，假设推销员要去a、b、c、d、e、f6个地方推销产品，
则无须经过连接这些点的所有道路。比如说，按a-b-c-d-e-f顺序推销的话，尽管所有点都一个没落地到过一次，但却并没有经过所有连接点与点的线。
汉密尔顿回路与推销员的工作密不可分，所以也叫“推销员问题”。汉密尔顿回路是1857年英国数学家汉密尔顿在介绍下面这个问题时提出来的。
“把正十二面体在平面上展开，各顶点均标记上著名城市的名字，能否将这些城市都访问一次后再回到起点呢？”
图54看似有些复杂，但因为可以一次性通过所有顶点，所以属于汉密尔顿回路。
图54展开正十二面体的汉密尔顿回路。
图论
欧拉回路与汉密尔顿回路是研究由点和线构成图形的图论领域的重要课题。
图论作为现代数学较为发达的一门学科被广泛应用于道路交通、通信工程、经营管理等许多领域，如今图论还衍生出网络理论这种新生事物。网络理论可分析互联网网页的超链接关系、9·11恐怖袭击事件幕后人物关系、生态界的食物链关系、传播早期基督教的使徒保罗的传道关系等各种复杂的关系。
比如说，地球上的人平均经过6个阶段即可相互认识的“六度分隔”理论；如果让13 000多位好莱坞明星出演相同电影，只需经3名演员即可与这些明星取得联系的设想等都是以图论为基础的网络理论的研究成果。
厄多斯数
出生于匈牙利的保罗·厄多斯(Pall Erdos，1913—1996)是一位一生通过不断的研究发表了1 400多篇论文的数学大师。厄多斯因善于同其他学者进行共同研究发表论文，所以就有了表现他与共同著作人关系的“厄多斯数”(Erdos Number)。
和厄多斯一起直接拟定论文的人的厄多斯数是1，目前厄多斯数为1的学者有509人；与厄多斯共同拟定并撰写论文的人的厄多斯数是2，据了解，厄多斯数为2的学者有6 984人。另外，爱因斯坦的厄多斯数是2，海森堡的厄多斯数是4。
以从1914年至2003年间获得诺贝尔奖的科学家为对象进行的调查结果显示，42位物理学奖获奖者，14位化学奖获奖者，13位经济学奖获奖者，3位医学奖获奖者，他们的厄多斯数从2到8不等。在这些获奖科学中，有很多与数学家厄多斯有着直接或间接的关系，从中我们足已领略厄多斯的巨大影响力。与此同时，这一结果也在告诉人们数学与其他学科有着密不可分的联系。