5.1圆锥投影
5.1.1圆锥投影的基本概念
1.圆锥投影的定义
圆锥投影的概念可用图5-1来说明：设想将一个圆锥套在地球椭球上而把地球椭球上的经纬线网投影到圆锥面上，然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面，就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球相切时称为切圆锥投影，圆锥面和地球相割时称为割圆锥投影。
2.圆锥投影的分类
1)按圆锥面与地球相对位置的不同分类
按圆锥面与地球相对位置的不同，可分为正轴、横轴、斜轴圆锥投影，见图5-2，但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。
2)按标准纬线分类
按标准纬线可分为切圆锥投影和割圆锥投影。
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360。
在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。
在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。
在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。
3)按变形性质分为类
按变形性质分为等角、等职和等距圆锥投影三种。构成圆锥投影需确定纬线的半径籽和经线间的夹角啄，籽是纬度的函数，用公式表示为籽(渍)。啄是经差的函数，用公式表示为啄=，对于不同的圆锥投影是不同的。但对于某一具体的圆锥投影，它的值是相同的。当=1时(圆锥顶角为180。)，为方位投影；=0时(圆锥体的顶角小到0。)，为圆柱投影。方位投影和圆柱投影都可看成是圆锥投影的特例。
3.基本公式
在制图实践中，广泛采用正轴圆锥投影。对于斜轴、横轴圆锥投影，由于计算时需经过坐标换算，且投影后的经纬形状均为复杂曲线，所以较少应用。因此本文只研究正轴圆锥投影。
下面研究正轴圆锥投影的一般公式。圆锥投影中纬线投影后为同心圆圆弧，经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比，见图5-3。
f——取决于投影的性质(等角、等积或等距离投影)，它仅随纬度的变化而变化；——地球椭球面上两条经线的夹角；啄——两条经线夹角在平面上的投影；——小于1的常数。
在正轴圆锥投影中，经纬线投影后正交，故经纬线方向就是主方向。因此经纬线长度比m，n也就是极值长度比a，b，m，n中数值大的为a，数值小的为b。考虑到籽的数值由圆心起算，而地球椭球纬度由赤道起算，两者方向相反，故在m式子前面加上负号。
由式(5-1)可知，正圆锥投影的各种变形均只是纬度渍的函数，与经差无关。等变形线的形状是与纬线取得一致的同心圆弧，所以，正圆锥投影适合制作沿纬线延伸地区的地图。
5.1.2正轴等角圆锥投影
1.基本概念和公式
在等角圆锥投影中，微分圆的表象保持为圆形，也就是同一点上各方向的长度比均相等，或者说保持角度没有变形。本投影亦称为兰勃脱(Lambert)正形圆锥投影。
根据等角条件m=n(a=b)或棕=0，代入式(5-1)，可得到等角圆锥投影的一般公式：
在上式中有两个常数，即，K尚需进一步加以确定。为此我们研究，K确定的几种方法。
1)单标准纬线等角圆锥投影这种情况下通常制定制图区域内中间的一条纬线上无长度变形。这条无变形的纬线称为.
2.正轴等角圆锥投影的应用
现行百万分之一地图投影采用双标准纬线等角圆锥投影。百万分之一地图具有一定的国际性，在同一时期内各国编制出版的百万分之一地图，采用相同的规格，即地图投影、分幅编号、图式规范等基本上一致，可促使该比例尺地图得到较广泛的国际应用和交往。就采用的投影而言，该比例尺地图在国际上目前主要采用两种投影，即改良多圆锥投影和等角圆锥投影。我国在相应的时期内编制出版的百万分之一地图也采用了这两种投影。
1962年联合国于联邦德国波恩举行的世界百万分之一国际地图技术会议通过的制图规范，建议用等角圆锥投影替代改良多圆锥投影作为百万分之一地形图的数学基础，以使世界百万分之一地形图与世界百万分之一航空图在数学基础上能更好地协调一致。目前，许多国家出版的百万分之一地图已改用等角圆锥投影。
自1978年以来，我国决定采用等角圆锥投影作为1.100万地形图的数学基础，其分幅与国际百万分之一地图分幅完全相同。从赤道起算，纬差每4。一幅作为一个投影带(高纬度地区除外)，等角圆锥投影常数由边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件求得。该投影为等角割圆锥投影，投影变形很小，在每个投影带内，长度变形最大值为依0.3译，面积变形最大值为依0.6译。每个投影带的两条标准纬线近似位于边纬线内40忆处，即5.1.3正轴等面积圆锥投影
在等面积圆锥投影中，制图区域的面积大小保持不变，也就是面积比等于。
因为在正轴圆锥投影中沿经纬线长度比就是极值长度比，故。
根据此条件可以推导出正轴等面积圆锥投影的一般公式如下：
5.1.5圆锥投影变形分析及其应用
从圆锥投影的坐标及变形计算一般公式(5-1)可以看出，正轴圆锥投影的变形只与纬度有关，而与经差无关，因此同一条纬线上的变形是相等的，也就是说，圆锥投影的等变形线与纬线一致。
在标准纬线相同的情况下，采用不同性质(等角、等面积和等距离)的投影，其变形是不同的，沿纬线长度比(n)的相差程度较小，而沿经线长度比(m)的相差程度较大。
圆锥投影在标准纬线上没有变形，离开标准纬线越远则变形越大，一般还有自标准纬线向北增长快、向南增长慢的规律。
(1)等角圆锥投影变形的特点。角度没有变形，沿经、纬线长度变形是-致的，面积比为长度比的平方。
(2)等面积圆锥投影变形的特点。投影保持了制图区域面积投影后不变，即面积变形为零，但角度变形较大，沿经线长度比与沿纬线长度比互为倒数。
(3)等距离圆锥投影的变形特点。变形大小介于等角投影与等面积投影之间，除沿经线长度比保持为1以外，沿纬线长度比与面积比相-致。
不难设想，在等角投影与等面积圆锥投影之间，根据变形的特点，可以设计很多新的投影，称为任意圆锥投影。等距离圆锥投影是属于任意圆锥投影的一种，实际工作中应用较广。
根据圆锥投影的变形特征可以得出结论：圆锥投影最适宜于作为中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影。
圆锥投影在编制各种比例尺地图中均得到了广泛应用，这是有-系列原因的。首先是地球上广大陆地位于中纬地区；其次是这种投影经纬线形状简单，经线为辐射直线，纬线为同心圆圆弧，编图过程中比较方便，特别在使用地图和进行图上量算时比较方便，通过一定的方法，容易改正变形。
5.2圆柱投影
5.2.1正轴圆柱投影的一般公式
在正常位置的圆柱投影中，纬线表象为平行直线，经线表象也是平行直线，且与纬线正交。从几何意义上看，圆柱投影是圆锥投影的一个特殊情况，设想圆锥顶点延伸到无穷远时，即成为一个圆柱面。显然在圆柱面展开成平面以后，纬圈成了平行直线，经线交角等于0。，经线也是平行直线并且与纬线正交。图5-7为正轴圆柱投影示意图。
根据经纬线表象特征，不难推导出正轴圆柱投影的一般公式：
面与地球相割时小于赤道半径a，为割纬圈的纬圈半径rk。
通常采用投影区域的中央经线0作为x轴，赤道或投影区域最低纬线为y轴。
5.2.2圆柱投影变形分析及其应用
由研究圆柱投影长度比的公式(指正轴投影)可知，圆柱投影的变形，像圆锥投影一样，也是仅随纬度而变化的。在同纬线上各点的变形相同而与经度无关。因此，在圆柱投影中，等变形线与纬线相合，成为平行直线(见图5-8)。
圆柱投影中变形变化的特征是以赤道为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相同。
因标准纬线不同可分成切(切于赤道)圆柱及割(割于南北同名纬线)圆柱投影。
在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自赤道向两侧随着纬度的增加而增大。
在割圆柱投影中，在两条标准纬线(依渍k)上没有变形，自标准纬线向内(向赤道)及向外(向两极)增大。
圆柱投影中经线表象为平行直线，这种情况与低纬度处经线的近似平行相一致。因此，圆柱投影一般较适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。
5.3高斯-克吕格投影
5.3.1高斯-克吕格投影的条件和公式
高斯-克吕格(Gauss-Kr俟ger)投影是等角横切椭圆柱投影。从几何意义上来看，就是假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某一子午线相切(此子午线称中央子午线或中央经线)，椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道上，如图5-9所示，再按高斯-克吕格投影所规定的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭圆柱面上，并将此圆柱面展为平面，即得本投影。
这个投影可由下述三个条件确定。
(1)中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。
(2)投影具有等角性质。
(3)中央经线投影后保持长度不变。
根据以上三个投影条件可得高斯-克吕格投影的直角坐标公式：
5.3.2高斯-克吕格投影的变形分析及应用
由长度比公式，可得到高斯-克吕格投影的变形规律。
(1)当=0时，=1，即中央经线上没有任何变形，满足中央经线投影后保持长度不变的条件。
(2)均以偶次方出现，且各项均为正号，所以在本投影中，除中央经线上长度比为1以外，其他任何点上长度比均大于1。
(3)在同一条纬线上，离中央经线愈远，则变形愈大，最大值位于投影带的边缘。
(4)在同一条经线上，纬度愈低，变形愈大，最大值位于赤道上。
(5)本投影属于等角性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。
(6)长度比的等变形线平行于中央轴子午线。
5.3.3高斯投影分带
因高斯投影的最大变形在赤道上，并随经差的增大而增大，故限制投影的精度范围就能将变形大小控制在所需要的范围内，以满足地图所需精度的要求，因此确定对该投影采取分带单独进行投影。根据0.138%的长度变形所产生的误差小于1.2.5万比例尺地形图的绘图误差，决定我国1.2.5万至1.50万地形图采用6。分带投影，考虑到1.1万和更大比例尺地形图对制图精度有更高的要求，需要进一步限制投影带的精度范围，故采用3。分带投影。分带后，各带分别投影，各自建立坐标网。
1.6。分带法
6。分带投影是从零子午线起，由西向东，每6。为一带，全球共分为60带，用阿拉伯数字1、2、…、60标记，凡是6。的整数倍的经线皆为分带子午线，见图5-10。每带的中央经线度数L0和代号n用下式求出：
2.3。分带法
从东经1。30忆起算，每3。为一个投影带，将全球分为120带，用阿拉伯数字1、2、…、120标记。见图5-10。这样分带的目的在于使6。带的中央经线全部为3。带的中央经线，即3。带中有半数的中央经线同6。带的中央经线重合，以便在由3。带转换为6。带时，不需任何计算，而直接转用。
分带投影的优越性，除了控制变形，提高精度外，还可以减轻坐标值的计算工作量，提高工作效率。鉴于高斯投影的带与带之间的同一性、每个带内上下、左右的对称性，全球60个带或120个带，只需要计算各自1/4的各带各经纬线交点的坐标值，通过坐标值变负和冠以相应的带号，就可以得到全球每个投影带的经纬网坐标值。但分带投影亦带来邻带互不联系，邻带间相邻图幅不便拼接的缺陷。
5.3.4坐标网
为了制作和使用地图的方便，通常在地图上都绘有经纬线网和方里网。
1.经纬线网
经纬线网指由经线和纬线所构成的坐标网，它指示物体在地面上的地理位置，又称地理坐标网。它在绘制地图时不仅起到控制作用，确定地球表面上各点和整个地形的实际位置，而且还是计算和分析投影变形所必需的，也是确定比例尺进行量测所不可缺少的。
现行图式规定，1.5000、1.1万、1.2.5万、1.5万和1.10万地形图图幅内不绘制经纬线网(绘有方里网)；1.25万和1.50万地形图，应在图幅内绘制经纬线网(见表5-3)。
5.3.5坐标规定
高斯投影平面直角网是由高斯投影每一个投影带构成的一个单独坐标系。投影带的中央经线投影后的直线为X轴(纵轴)，赤道投影后的直线为Y轴(横轴)，它们的交点为原点。
我国位于北半球，全部x值都是正值，在每个投影带中则有一半的y值为负。为了使计算中避免横坐标y值出现负值，规定每带的中央经线西移500km。由于高斯投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以，各带的坐标完全相同。为了指出投影带是哪一带，规定要在横坐标(通用值)之前加上带号。因此，计算一个带号的坐标值，制成表格，就可供查取各投影带的坐标时使用(有关地形图图廓点坐标值可从《高斯-克吕格坐标表》中查取)。
例如，在6。投影带第20带内有A、B两点，按投影公式计算得到的横坐标分别为：
5.3.6通用横轴墨卡托投影
通用横轴墨卡托投影(UniversalTransverseMercatorProjection)取前面三个英文字母大写而称UTM投影。通用横轴墨卡托投影与高斯投影同属于分带横轴等角椭圆柱投影，差别仅在于高斯投影是切投影，而通用横轴墨卡托投影是割投影，即椭圆柱割于对称于中央经线的两个等高圈上，从而改变了在低纬度的变形。在这两条标准纬线等高圈上长度比为1，而中央经线上的长度比为0.9996。因此只要将高斯坐标的自然值及长度比乘以0.9996即可得到通用横轴墨卡托投影时相应的坐标和长度比，而子午线收敛角完全相同。通用横轴墨卡托投影是目前世界上应用十分广泛的一种投影。美国、日本、加拿大、泰国、阿富汗、巴西、法国、瑞士等约80个国家和地区用它作为地形图的数学基础。
5.4墨卡托投影
5.4.1墨卡托投影的定义和公式