正当我国清代中后期数学发展步履缓慢的时候，西欧爆发了一系列资产阶级民主革命，它促进了自然科学与生产技术的飞跃发展，新兴的资产阶级对教育提出了新的要求。
一、17—18世纪的数学课程
1．数学发展迅速，名家辈出
(1)解析几何与微积分的诞生。17世纪40年代，法国数学家费尔马(Femmt，1601—1665年)。与笛卡儿(Desearter，1596-1650年)创建了解析几何学，在代数与几何两大学科之间架设了桥梁，为深入研究函数的形态提供了工具。
费尔马生于法国南部网卢斯附近的波蒙，父亲是皮革商人。费尔马受过良好的家庭教育，他在大学攻读法律，毕业后当过律师。他曾是图卢斯地方议会议员、社会活动家，他清正廉明，恪守公职。他在业余时间博览群书，博识广闻，精通希腊语、拉丁语，从30岁开始迷恋上数学，直至去世。他虽然不以数学为职业，但他把所有业余时间都用在数学上。他在数学的四大分支(微积分、解析几何、概率论、数论)中，都作出了开创性的贡献。1629年，费尔马撰写，《论平面和立体的轨迹》一书，阐述了他在解析几何的原理。在书中，他提出并使用了坐标的概念。美国数学家贝尔(E．Bell)称他为业余数学之王。
1637年，费尔马提出了重要的猜想“方程xn+yn=zn，当n≥3，n∈N时，没有整数解”，并写出了n=4时证明的大意。该猜想被称为费尔马大定理。为了证明这个定理，其他数学家分别作出努力，证明了定理的一些特例成立。例如，欧拉证明了n=3，n=4时该定理成立；1823年，法国数学家勒让德证明n=5时该定理成立；1849年，德国数学家库默尔提出了全新的理想数概念，证明n=37，n=59，n=67时，该定理成立。根据库默尔的理论，n<100时，该定理都成立。为了攻克这个定理，数学家们奋斗了三百余年。1993年，英国剑桥大学博士、美国普林斯顿大学教授、英国牛津大学兼职教授Wiles Andrew证明了这个著名定理，从而获得了1995-1996年度的沃尔夫奖。
笛卡儿是哲学家、自然科学家、音乐家和数学家。与他那辉煌的数学成就相比，他在其他方面的成就黯然失色。19世纪，英国著名的哲学家、经济学家、科学家穆勒(1806—1873年)说：“笛卡儿的坐标几何远远超过他哲学上的任何成就。”
笛卡儿生于文艺复兴末期，母亲早逝，由于他从小体弱多病，父亲随他所愿学习，从不加限制。他8岁到欧洲著名的教会学校——拉佛莱舍公学学习，校长特许他早上时间自由支配，不必随同学一道早起。自由思考的学术氛围鼓励了他好学多问的性格。
笛卡儿16岁上大学，20岁获博士学位，在欧洲各国扩展视野。1616年，他大学毕业，同年参军。荷兰王子为了使他有更多时间思考，并不让他参战。1619年11月10日，他做了三个奇怪的梦。他对别人说，他的梦像一把打开自然宝库的钥匙，预示了坐标思想的诞生。于是，人们便把这一天称为解析几何的诞生日。
《几何学》是笛卡儿公开发表的唯一数学著作，这本书论述的不仅是几何自身的内容。全书共分三卷：第一卷阐述仅用直线和圆的作图问题；第二卷阐述曲线的性质，展示了坐标思想；第三卷是探究方程的根的性质的代数问题。
此外，笛卡儿在给朋友的信中，还说明了他的闪光的数学思想，例如有关摆线的面积、对数螺线的极坐标方程等。1639年，他已经认识到欧拉在1750年发表的定理，即凸多面体的顶点数-面数+棱数=2。
17世纪下半叶，英国著名数学家牛顿(Newton，1642—1727年)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz，1646—1716年)创立了微积分学，这是数学发展史上的重大事件，标志着由常量数学转向变量数学。
牛顿生于英格兰的林肯郡，出生前两个月父亲就去世了。两岁时，母亲改嫁，幼年时的牛顿便由外祖母抚养。他12岁到格兰瑟姆镇中学上学，少年牛顿爱搞机械小制作，在制作的过程中感悟到需要学好数学。
牛顿19岁考上剑桥大学三一学院，靠勤工俭学维持学业。在大学里，牛顿认真学习了欧几里得的《几何原本》、开普的《光学》、瓦里士的《无穷小分析》等数学名著。1665—1666年，英国鼠疫流行，学校停课，牛顿两次回家避灾，此时他的学术思想十分活跃，他的三大成就都是在这段时间孕育形成的。这三大成就是：流数术(即微积分)、万有引力定律和光学分析。23岁的牛顿在此时已奠定了科学研究的基础。
牛顿在代数方面的成就，体现在他写成的《广义算术》一书，总结了符号代数的成果，发现了二项式定理，该定理被称为牛顿二项式公式。他对平面曲线的研究也有许多杰出的成果，提出了曲率中心、密切圆的概念，给出了计算曲率的方法。
牛顿有两句自我评价的名言令后人深思：
“我不知道世上的人怎么看我；不过我觉得，我只像一个在海边玩耍的孩子，一会儿捡起一块比较光滑的卵石，一会儿找到个美丽些的贝壳，而在我的面前，真理的大海还没有发现。”
“我之所以比笛卡儿看得远一些，是因为我站在巨人的肩膀上。”
莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授的家庭。他15岁在莱比锡大学学习法律，17岁在耶拿大学学习了短时间的数学，20岁转入阿尔特道夫大学，发表了他第一篇题为《论组合艺术》的数学论文。1672年他作为大使出访法国巴黎，为期四年，同时开始研究伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等科学前辈的思想，这对他的科学生涯产生了重要意义。1673年，莱布尼兹在伦敦停留，被选为英国皇家学会会员。
他的主要数学成就是：①独立地创立了微积分学说，主要是从研究曲线的切线和面积方面引入，他在表达形式上和所引用的符号方面比牛顿高一筹，而牛顿在结合运动学以及微积分的应用方面又比他更为出色。②给出了三阶行列式的展开式，这是西方研究行列式的最初起源。③1679年发表了《几何特性》一书，表述了位置几何学的想法，在给数学家惠更斯的信中提出了组合拓扑的思想。④1679年发表了《论二进制级数》的论文，提出了二进制的思想；认为中国《易经》的八卦图的排列与二进制原理相吻合；从而为计算、理论及控制论首开先河。
牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分的学说，这项伟大的成就成为数学发展的第二个高峰。牛顿和莱布尼兹有关微积分的优先权的争论使双方都十分苦恼，英国和欧洲大陆的数学交流因此而中断了近一个世纪。然而，这两位学者从来没有怀疑过对方的科学才能。在一个宴会上，当普鲁士王问到对牛顿的评价时，莱布尼兹回答说：“综观有史以来的全部数学，牛顿所做的工作多于一半。”
(2)分析学的继续发展。牛顿、莱布尼兹只是建立了微积分学的摹本原理和基本框架，这个学说的丰富与完善是由十八九世纪一批优秀的数学家完成的。对微积分学的发展和完善作出重要贡献的数学家分别有：捷克数学家波尔查诺(1781-1848年)用类似现代的方法给出了连续函数的定义，在数学史上首次指出了连续性与可微性是不同的概念；法国数学家柯西(Cauchy，1789—1857年)建立了以极限论为基础的现代微积分体系；德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstmss，1815—1897年)建立了极限理论中的ε-δ方法，提出了一致收敛的概念；康托(Canter，1845—1918年)用基本序列定义实数；戴特金(Dedekind，1831—1916年)用分割方法定义了无理数。由于上述数学家的杰出工作，为微积分学建立了严密的理论基础。
与此同时，数学的其他方面取得重大发展，产生了许多新的研究领域。
(3)几何学的继续发展。法国数学家筒沙格(Desargues，1591—1661年)提出无穷远元素概念，与他的学生笛卡儿一起，奠定了射影几何的基础；法国数学家蒙日(Monge，1746—1818年)发表了《分析在几何上的应用》，这是微分几何的第一本专著；瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年)建立了曲面理论；德国数学家高斯(Gauss，1777—1855年)引进了曲线与曲面的参数表达式；德国数学家黎曼(Riemann。1826—1866年)提出了流形理论。微分几何的建立和发展使得有可能用分析方法研究几何学。此外，对欧几里得几何第九公设的研究导致非欧几何的建立。德国数学家高斯、匈牙利数学家波耶(Bolyai，1802—1860年)、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Lobachevski，1793—1856年)分别对非欧几何的建立作出了重要贡献。
(4)代数学的继续发展。数学家们对于高次方程用根式求解的问题进行了深入的研究，特别是挪威杰出的青年数学家阿贝尔(802—1829年)证明了重要定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解；法国杰出的青年数学家伽罗华(1811-1832年)在对代数方程的根式可解性的研究中，引入了置换群的概念，成为群论的开创者；1853年，英国数学家哈密顿(1805—1865年)发表了《四元数讲义》，揭示了数的概念有不同维数，开创了用公理方法研究数系的新思路。柯西继承了法国数学家拉格朗日(1736-1813年)和拉普拉斯(1749—1827年)的工作，建立了行列式的系统理论；英国数学家西尔维斯特(1814-1897年)对于用方程的系数行列式研究方程的解做了许多出色的研究，首先提出了矩阵这一术语，在这基础上，英国数学家凯莱(1821—1895年)于1858年在他的论著《矩阵论的研究报告》中系统地阐述了矩阵理论，成为矩阵理论的创始人。
阿贝尔生于挪威首都奥斯陆附近的芬多村，其父是一个牧师、议员。幼年时，父亲给他良好的家庭教育。1817年，他进入中学学习，数学教师激发了他学好数学的强烈愿望。1820年他父亲去世，从此家境恶化。1821年，阿贝尔进入利斯蒂安尼亚大学，专心研究高于四次的一般代数方程的代数解法问题。1824年写出了题为《一般五次以上的代数方程不可能有根式表达式的解》的论文，初次显露了他的数学才华。他毕业后赴巴黎和柏林留学，1826年迁居巴黎，1827年回到挪威，1829年患肺结核病逝世，年仅27岁。他对代数学的发展作出了划时代意义的贡献。世界著名的《纯数学与应用数学》杂志头三卷就发表了他的23篇论文。他的关于五次方程的著名论文，解决了三百多年来悬而未决的问题，开辟了近世代数方程论的道路。他还考虑了一些特殊的能用根式解决的方程，其中的一类被称为“阿贝尔方程”。在这一工作中，他实际上引入了域(field)这一重要的近世代数概念。
他一生贫病交加，却留下了许多创造性的贡献。除了方程论外，他还是椭圆函数论的创始人之一。但是这些工作在他生前均未受到重视，他在大学毕业后长期找不到工作。1829年，柏林大学终于认识到阿贝尔的才华，决定任命他为教授。但当聘书寄达时，阿贝尔因肺结核病不治在两天前已经去世。
以挪威著名数学家阿贝尔命名的数学大奖“阿贝尔奖”设立于2002年，该奖仿效诺贝尔奖，每年颁发一次，奖金为87．5万美元，是目前国际数学奖中金额最高的奖项，与诺贝尔奖100万美元左右的奖金额差不多。
挪威政府创立该奖的目的固然是为了纪念挪威人引以为自豪的伟大数学家阿贝尔，同时也为了弥补科学领域的最高荣誉——诺贝尔奖中没有数学奖的遗憾。在“阿贝尔奖”创立之前，国际数学最著名的奖项当属以已故加拿大数学家菲尔兹命名的“菲尔兹奖”，但该奖奖金少得可怜，不到诺贝尔奖的百分之一，而且限制获奖者在40岁以下。对菲尔兹奖的一个补充是以色列的“沃尔夫奖”，它虽然没有年龄限制，但存在某些非数学的因素。对菲尔兹奖的另一个补充是瑞典颁发的“克拉福德奖”，它是为非诺贝尔奖的专业而设，包括数学、地球物理等，但每个学科每六七年才轮到一次，影响力有限。
与以上奖金相比，阿贝尔奖虽然设立时问较短，但是由于奖金数额巨大，很快在世界上获得承认，目前已经被公认为数学界的诺贝尔奖。2006年3月23日，挪威科学院院长宣布本年度的阿贝尔奖颁发给瑞典数学家伦纳特·卡勒松，以奖励他在调和分析及动力系统方面的贡献。
伽罗华生于法国巴黎附近的一个小村镇，1829中学毕业后，考上了著名的巴黎高等师范学校，第二年因参加反对波旁王朝的“七月革命”而被学习开除。他从小对数学极感兴趣。上中学时，他看到五次方程代数解法所存在的问题，决心攻克这个难关。1828年，17岁的伽罗华写出了五次方程代数解法的论文，但是，由于权威的压制，论文一直未能发表。1832年，伽罗华在他的政敌利用爱情纠葛而挑起的一场决斗中身亡，死时不到21岁。