一、阿基米德的生平、成就和思想
阿基米德(Archimedes，公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的数学力学家，生于西西里岛的叙拉古地区，是欧几里得的门生，是人类历史上最了不起的科学家之一。美国科学史家E．T．贝尔(Bell)在《数学人物》一书中写道：“任何一张开列有史以来3位最伟大的数学家的名单上，必定写有阿基米德的名字，另两位通常是牛顿和高斯，不过以他们的宏伟业绩和所处时代背景来比较，或拿他们影响当代和后代的深邃和久远来比较，还应首推阿基米德。”
大作家伏尔泰(Voltaire)评述说：“阿基米德头脑里的想象力，比荷马头脑里的要多。”
阿基米德的父亲是古希腊的数学天文学家，是叙拉古王的亲戚。阿基米德从少年起就在其父的辅导之下钻研《原本》，后又成为亚历山大学派的领袖人物。
1965年，西西里岛上修建旅馆，挖地基时发现了阿基米德的坟墓，这是考古史上一次重大的世界级宝贵文物的出土事件，阿基米德的墓碑上刻着一个球及其外切圆柱，这是他的名著《论球与圆柱》的标志性图示。
阿基米德在《圆的度量》一书中用“穷竭法”证明了圆的面积是该圆周长与半径乘积的一半。他的证明用的是反证法，用圆的外切与内接正方形逐次边数加倍(即等分圆周的点逐次加密)的办法“穷竭”而使内接或外切正多边形的周长逼近圆周的办法，证明出圆面积=12圆周长×半径(=πr2)。
在《圆的度量》一书中，阿基米德继续用正多边形“穷竭”逼近圆周的思想求得31071<π<317。
他用了外切与内接正96边形求得π的这个上下界，创始了割圆求π的方法，是数学史上首次给出的π的误差估计。
阿基米德在所著《抛物线图形求积法》中用“穷竭法”思想求得抛物线与一直线相交围成的面积是同底等高三角形面积的43，即图30中抛物线弓形BmAnC的面积是△ABC面积的43，其中BmAnc与△ABC同高AD。
阿基米德在《论球与圆柱》一书中，用“穷竭”思想得出下面重要成果：
1°球面面积是其大圆面积的4倍。
2°球的体积是外切圆柱体积的23。
3°球面面积是外切圆柱表面积的23。
在《方法论》一书中阿基米德得出：
4°牟合方盖的体积是其外切立方体的23。
2°，3°，4°合称“阿基米德23定理”。
阿基米德著作当中，技巧之精彩，论证之严格，令人叫绝。美国数学史家M．克莱因评价说：“阿基米德的严格性比牛顿与莱布尼兹著作中的高明得多。”
阿基米德作为数学力学家，他贯用数学与力学相结合的办法来解决数学难题和力学难题。他说：“力学便于我们发现结论，而几何则能帮助我们对结论作出证明。一旦这种方法确定之后，有些人，或者是我们的同代人，或者是我们的后人，将会利用这种思想方法发现且证明我尚未想到的定理。”
例如他用杠杆力矩原理和分割、求和、取极限的思想求得了球的体积公式。他的分割、求和、取极限的思想实质上是定积分的雏形。
阿基米德在《论螺线》中定义了著名的阿基米德螺线，他应用这种螺线三等分任意角。
阿基米德的著作很丰富，其中著名的有：
①圆的度量
②抛物线图形求积法
③论螺线
④论球与圆柱
⑤论劈锥面与旋转椭球
⑥方法(处理力学问题的方法)
⑦引理书
⑧论平面图形的平衡与重心
⑨浮体论
⑩砂粒计数
⑩牛群问题
研究希腊数学的权威希斯(Heath)在《希腊数学》中写道：
“阿基米德这些著作无一例外地都能视为数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝蔓和对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象如此之深，使读者油然而生敬畏之情。”
阿基米德被尊称为“数学之神”。
1631年，《圆的度量》一书由意大利罗雅谷译成中文传入中国，译名为《圆书》，这是中国学子首次学到的阿基米德著作。
1962年，前苏联出版《阿基米德全集》。
阿基米德一反古希腊重理论轻应用的陋习，他的许多著作都具有应用价值，例如他利用螺线原理发明了一种农用吸水机，见图31，这种吸水机直到现在埃及等地还在用。
他利用力学原理发现了以下结论，且用几何给出了证明：
1°两上质心不同的量相减，剩余量的质心可以通过如下方法求得：连接整体量和减速量质心的线段，且向整体量方向延长，使延长的线段之长与两质心间距离之比等于减量与剩余量质量之比，延长线的端点即剩余量的质心。
2°如果一组量的质心在同一直线上，那么由这组量全体组成的量的质心也在该直线上。
3°任一线段的质心在该线段的中点。
4°三角形的质心是从角顶到对边中点所作直线的交点。
5°平行四边形的质心是对角线交点。
6°圆的质心是圆心。
7°圆柱的质心是轴的中点。
8°圆锥的质心是划分轴的一点，该点使轴上靠近顶点阔那部分是靠近底的那部分的3倍。
阿基米德的许多趣闻轶事已是家喻户晓，例如他曾宣称：
“给我一个支点和杠杆，我就可以挪动地球。”
从理论上讲，这是说得通的，只是所需的杠杆太长，当然也找不到那个支点。
阿基米德设计了滑轮组，叙拉古王亲手用阿基米德滑轮组移动了一艘巨型三桅货船。
皇冠掺假案已是脍炙人口的科学史佳话，说的是国王希罗令工匠制作了一顶金冠，国王怀疑里面掺了银子，请阿基米德判断是否真的掺了假。阿基米德久思不得其解。一日，阿基米德去洗澡，浴盆中的水被他的身体排出盆外，顿时他一阵变轻的感觉，从中感悟到浮力的存在，他当即欣喜若狂，赤身冲出浴室，沿街高呼：“我找到答案了。”他推断物体在水中减轻的重量恰等于该物体排开水的重量。这就是流体力学中著名的阿基米德浮力定律。
在第二次布匿战争中，罗马军队入侵叙拉古，当夜阿基米德正在沙盘旁研究几何，敌兵闯入，阿基米德全神贯注他的图形，不知大难临头，还向那个目不识丁的士兵说：“请您小心，不要弄乱我的图。”可恨那兵卒手起刀落，一位闻名世界的大数学家的天才头颅跌落在血泊之中，给人类科学事业造成了不可弥补的损失！
二、阿基米德巧解三等分角和化圆为方
公元前5世纪，古希腊智人学派(也称诡辩学派)提出用圆规与无刻度直尺作下面三大作图问题：
1°三等分任意角(三等分角)。
2°作一立方体，使其体积是已知立方体体积的2倍(倍立方)。
3°作一正方形，使其面积等于已知圆的面积。
对这三个貌似初等的从平面几何提出的问题(化圆为方)，古希腊许多有名的数学家都曾冲击过它们，可都不得正果。阿基米德作为古希腊的数学大师，自然也不甘心在他眼前有解决不了的问题，可惜只用圆规与无刻度直尺，他也未解决这三个问题。事实上，这三个问题决非初等数学可以解决的，它的结论是，只用圆规和无刻度直尺是作不出以上三大作图题的，这个不可能性的证明要用到19世纪发展起来的近世数学的高深理论。
阿基米德不愧为大师的称号，他用自己的办法巧妙地解决了三等分角和化圆为方的问题，为此，他引用了他发明的阿基米德螺线。
所谓阿基米德螺线，是指一射线绕其端点在平面上匀角速转动，从此射线之端点出发一动点(犹如一只蚂蚁)沿此射线相对于此射线匀速运动在平面上的轨迹。
设∠AOB是任给的角，射线原位置为OA方向，l为阿基米德螺线，它与射线(OB交于P点，P1与P2为线段OP的三等分点，分别以OP1与OP2为半径，以O为圆心做圆，两圆与∠AOB内部的阿基米德螺线之交点分别为Q1与Q2，则射线OQ1与OQ2把∠AOB三等分，见图32。
由阿基米德螺线的定义，阿基米德螺线的极坐标方程为ρ=αθ。
式中ρ是动点距射线端点的距离，即向径；θ是动点的向径与射线初始位置的夹角。用极坐标的术语来说，(ρ，θ)是动点的极坐标，θ叫做极角(以弧度为单位，也可以角度为单位)。
阿基米德用阿基米德螺线解决了化圆为方的问题。
以α为半径作圆，见图33，则当OP⊥OA时，AB=14圆周长，又这时OP=αθ=AB(这时θ=π2)，则4OP是圆周长，圆面积为S=4OP·α2=(2α)·OP。今作以边长为x的正方形，使其与此圆等积，即x2=S=2α·OP。
可见所求正方形边长为2α与OP的比例中项。
对于三等分角，阿基米德还给出一种更易于学会的方法。
设∠AOB是已知角，以O为圆心作一圆⊙O。设A与B两点在⊙O上，过B点作直线BCD，交圆于C，交AO延长线于D，见图34。若能使CD=OA，则∠ADB=13∠AOB。事实上，连OC，则∠1=2∠2，又∠1=12(∠2+∠3)，2∠2=12(∠2+∠3)，故得∠3=3∠2，即∠ADB=13∠AOB。阿基米德在无刻度直尺上刻了一段0"A"=OA，若取O"是直尺的端点，则只需在直尺上加上一个刻度点A"，再调整(挪动)直尺方位，使得尺子的边缘过B点，同时使CD=O"A"，即可得∠2。
正如古希腊历史学家普鲁塔克所说：“在几何学当中，最难最深刻的定理被阿基米德用最简单最直观最巧妙的方法证明出来，这种功夫应归功于他的天赋聪慧，这种功夫应归功于他的顽强精神，谁有了这种顽强的精神，最难的事也会变得容易做到。”