希尔伯特(Hilbert，1862-1943年)生于东普鲁士的一个法官家庭，其母是知识女性，对数学、哲学与天文学都有不浅的修养，是希尔伯特的启蒙者。希尔伯特中学毕业时得到的评语是：“该生对数学有强烈的爱好，他不仅能掌握课堂教学的内容，且能灵活地运用。”1880年希尔伯特考入柯尼斯堡大学数学系，还去海德堡大学旁听。在林德曼的指导下，希尔伯特于1885年获博士学位。1893年任柯尼斯堡大学教授，1895年任哥廷根大学教授一直到1930年。
1899年，希尔伯特的名著《几何基础》出版，书中给出了五组21条公理，是现代公理化方法的样本。希尔伯特是现代公理方法的奠基人。公理化方法起始于欧几里得，被高斯、罗巴切夫斯基等数学家发展，而集大成于希尔伯特。希尔伯特提出公理组建的三条原则：
(1)相容性，即公理系统必须无矛盾。
(2)独立性，即在公理系统中一条公理不能由其他公理逻辑地推导出来。
(3)完备性，即公理系统中建立的一切定理皆是由该公理系统推导出来的。
希尔伯特的“21条”如下：
第一组：结合公理
(1)对于任两点A，B，存在过A，B两点的直线。
(2)对于任意不同的两点A，B，至多存在一条过A，B的直线。
(3)每条直线上至少两点；至少存在三个点，不在同一直线上。
(4)对于任意不在一条直线上的三个点A，B，C，存在过A，B，C每个点的平面；对于任意平面，总存在属于它的一个点。
(5)对于任意不在一条直线上的三个点A，B，C，至多存在一个平面过A，B，C三点。
(6)如果直线a上的两个点A，B在平面α上，则直线a上每个点皆在平面α上。
(7)如果两个平面α与β有公共点A，则它们至少还有一个公共点。
(8)至少存在四个点，不在一个平面上。
第二组：顺序公理
(9)如果点B在点A与点C之间，那么A，B，C是一条直线上不同的点，且B也在C与A之间。
(10)对于任意两点A与C，在直线AC上至少存在着一个点B，使C在A与B之间。
(11)直线上任意三个点中，至多有一个点在其他两点之间。
(12)(帕波斯公设)设A，B，C是不在一直线上的三点，a是平面ABC上一直线，它不通过A，B，C中任何一点，若这时直线a通过线段AB的一个点，那么它必须通过线段AC的一个点或者通过线段BC的一个点。
第三组：合同公理
(13)如果A，B是直线a上两点，且A"是同一条或另一条直线a"上的点，则在a"上A"点的一侧可以找出点B"，使得AB合同于A"B"，即AB等于A"B"，记成AB≡A"B"。
(14)如果线段A"B"与A"B"都合同于线段AB，则A"B"合同于A"B"。
(15)AB与BC是直线a上两个线段，没有公共内点，A"B"与B"C"是同一条或另一条直线a"上两个线段，也没有公共内点，若AB≡A"B"，BC≡B"C"，则AB≡A"C"。
(16)在平面α上给定∠(h，k)(h与k是从同一点O出发的两射线)，在平面α"上给定直线a"，而且在平面a"上给了关于直线a"的确定的一侧；h"是直线a"上从O"点出发的射线，在这种情形下，平面α"上存在一条而且仅有一条射线k"，它有下述性质：∠(h，k)合同于∠(h"，k")，换言之，等于∠(h"，k")，且这时∠(h"，k")内部的点皆在平面α"上关于直线a"的给定一侧，记这时两角的合同关系为∠(h，k)≡∠(h"，k")；每个角都与自己合同，即∠(h，k)=∠(h，k)。
(17)若对于△ABC与△A"B"C"，有合同关系
AB≡A"B"，AC≡A"C"，∠BAC≡∠B"A"C"
则△ABC≡△A"B"C"
第四组：平行公理
(18)(欧几里得公理)设a是任一条直线，A是它外边一点，这时，在直线a与A点确定的平面上，过点A而不与直线a相交的直线至多有一条。
(19)(罗巴切夫斯基公理)设a是任一条直线，A是它外边一点，这时，在直线a与A点确定的平面上，过点A而不与直线直线a相交的直线至少存在两条。
第五组：连续公理
(20)(阿基米德公理)设AB与CD是两个任意线段，那么在直线AB上存在着有限个点A1，A2，…，An，这些线段AA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都合同于线段CD，且B点在A与An之间。
(21)(康托尔公理)若直线a上给出闭线段的无穷序列
A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn，…
其中每一条之后的线段An+1Bn+1都属于前一线段AnBn，且不存在这样的线段，它属于已给序列的所有线段，那么存在一个而且只存在一个点属于序列的所有线段。
1925年，希尔伯特在《论无穷》中信心十足地说：“每个明确的数学问题，必能被正确地解决，因为数学中没有不可知。”1930年，希尔伯特在《数学基础》中又明确表态：“我力图用建立数学基础的办法达到一个有意义的目标，这种方法可以恰当地称为可证论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决，换言之，即把每个数学命题都变成一个可以具体表达的和严格推导的公式，经过这样改造的数学所推导出来的结果就无懈可击，同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。我相信能用证明论达到这一目标。”希尔伯特是数学形式主义的代表人物。
其实早在1922年，希尔伯特就出台了数学史上著名的“Hilbert纲领”，该纲领中充满了上述的对数学科学的乐观主义思想，其基本点是：
(1)把古典数学的内容公理化，再使其形式化，使其内容成为用形式符号与符号序列组成的系统，该系统记成TF，TF称为形式理论。
(2)用有穷的方法证明TF中无矛盾。
(3)TF中不会含一种论断A，使得A与┐A(非A)可以同时推出。
此纲领抛出之后，不少优秀的数学家为实现它做了极大的努力，他们部分地得到了成果。只可惜1930年著名逻辑学家、数学家哥德尔公布了一项正确的研究成果，指出数论形式系统的不完全性，其结果与希尔伯特纲领所预期的正好相反，形式主义的希尔伯特纲领不可行。
希尔伯特十分强调“问题”的重要性，他说：“只要一门科学分支能提出大量问题，它就充满着生命力，而问题缺乏预示着这门学科的衰亡或中止。”根据到19世纪为止数学发展的整体状况，1900年，希尔伯特在巴黎第二次世界数学家大会上提出23个重要的数学问题，这23个问题通称“Hilbert问题”。20世纪的众多著名数学家纷纷对这些问题进行深入研究，力图占领这23个数学阵地上的制高点。有些已被攻克，有些则尚未拿下，这23个问题有力地推动了20世纪数学的发展。
“Hilbert问题”如下：
(1)连续统假设。
1963年科恩(Cohen)证明了连续统假设的真伪不可能在集合论公理系统中判明。
(2)算术公理的相容性。
至今未解决。
(3)两等底等高的四面体等积。
1900年由希尔伯特及其学生德恩(Dehn)解决。
(4)直线段作为两点间最短距离问题。
有进展，但未完全解决。
(5)拓扑群成为李群的条件。
1952年由美国数学家格利森等人解决。
(6)物理学的公理化。
在量子力学等部门，公理化已取得很大成功。
(7)某些数的无理性与超越性。
1934年，盖尔范德和施奈德证明了对任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β≠0，αβ是超越数，1966年，贝克等又推广了这一结论。
(8)素数问题。
黎曼猜想未解决；哥德巴赫猜想陈景润证明了(1，2)，尚未解决(1，1)问题。
(9)任意数域中一般互反律之证明。
1921年日本高木贞治，1927年奥地利阿廷给出证明。
(10)丢番图方程可解性的判定。
1968年，英国贝克对两个未知数的丢番图方程证明了可以在有限步之内判定其有无非平凡整数解。1970年，苏联马蒂亚谢维奇对一般情形证明不能在有限步之内判其是否有非平凡整数解。
(11)一般代数数域的二次型论。
1929年至1951年，德国哈塞和西格尔等人得到一些重要结果。
(12)阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理数。
未解决。
(13)不可能用两个变数的函数解一般七次方程。
连续函数情形1957年由苏联阿诺尔德否定；对于解析函数尚未解决。
(14)证明某类完全函数系的有限性。
1958年由日本永田雅宜否定。
(15)舒伯特计数演算的严格基础。
尚待解决。
(16)代数曲线和曲面的拓扑。
此题中后半部分中的问题，在二次微分自治系统中，极限环最多者的极限环个数是多少？1979年，中国的史松龄、陈兰荪和王明淑举出二次微分系统有4个极限环的实例。但(16)题尚未彻底解决。
(17)正定形式的平分表示。
1926年由奥地利阿廷解决。
(18)由全等多面体构造空间。
尚未彻底解决。
(19)正则变分问题的解是否一定解析。
1904年苏联伯恩斯坦只证明了一个变元的解析非线性椭圆方程解是解析的，后来又推广到多变元和椭圆组的情形。
(20)一般边值问题。
偏微分方程的边值问题正在发展中。
(21)具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
1905年由希尔伯特等人解决。
(22)解析关系单值化。
1907年，一个变数情形已由德国克贝(Koebe)解决。
(23)发展变分学的方法。
希尔伯特等对此已有重要贡献。
美国著名数学家柯朗(Courant，1888-1972年)说：“希尔伯特是他那个时代真正伟大的数学家之一。他的工作和他从事科学事业的那种感人的品质，一直深深地影响着数学科学的发展，今天依然如此。作为一个数学思想家，他眼光深邃，精力充沛，富于创造。他多才多艺，兴趣广泛。这一切使他成为许多数学领域的开拓者，他确是一位出类拔萃的人物，深深地埋头于他的工作，把他的一切献给了数学。他又是最好的老师和学术带头人，待人豁达开朗，诲人不倦。有一股不达目的绝不罢休的劲头。”
希尔伯特在代数不变量、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、数学基础、广义相对论和量子力学等领域，皆有非平凡的贡献，但他十分强调数学的统一法，他说：“数学科学是一门不可分割的有机体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。数学理论越是向前发展，它的结构就会变得越加协调一致，并且这门科学中一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。”
柯朗评价希尔伯特时说：“希尔伯特以他感人的榜样向我们证明，在应用数学与纯粹数学之间不存在鸿沟，数学与科学总体之间，能够建立起果实累累的结合体。”
“希尔伯特不仅是20世纪数学界的领军人物，而且是一位优秀的数学教师，他与高斯不喜欢教书有天壤之别。希尔伯特讲课简练自然，师生关系十分亲密。他并不特别看重学生的天赋，他强调‘天才就是勤奋’。在学生的心目中，希尔伯特不是远在云端的神，而是一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走入数学的深河。”他指导了69位博士生，其中包括外尔、柯朗、施密特、布鲁门、萨尔等后来发展成大数学家的博士。受到希尔伯特教诲的数学家还有埃本·诺特、冯·诺依曼、高木贞治、卡拉西奥多里、策墨罗等等。希尔伯特的学生们继承老师的科学精神，又带出更多的数学精英，形成数学人才的希尔伯特雪球效应。希尔伯特在数学界的影响，是数学史上罕见的现象。
希尔伯特的政治人格也是十分高尚的，他一贯反对狭隘的“爱国主义”和“民族主义”，主张科学无国界。第一次世界大战期间，德国政府发布了狂热的沙文主义的《告文化界声明》，几乎所有的德国著名科学家都签名拥护，只有希尔伯特和爱因斯坦拒绝签字。1917年，希尔伯特不顾很多人的反对和政府的威胁，为敌国(法国)的数学家达布(Darboux)的逝世发表纪念文章。
第二次世界大战期间，希特勒纳粹党宣称凡是认为科学没有种族性的任何想法，其本身就包含着毁灭德国科学的胚种并疯狂迫害犹太人。哥廷根的大量科学家接到“最后通牒”，被迫逃离(大多数亡命美国)，希尔伯特对此提出了抗议。
希尔伯特的座右铭是：
我们必须知道，
我们必将知道。
希尔伯特的进取精神和乐观精神，即使时至今日，仍然是数学家们的精神支柱。