柯尔莫哥洛夫(1903-1987年)，贵族出身，是科学史上罕见的天才少年，在他的文章《我是怎样成为数学家的》中记载，柯尔莫哥洛夫6岁时就写出：
1=12
1+3＝22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
他童年时即提出并解决了下面的问题：要缝上一个四孔扣子，如果只用线缝合两个孔，有多少种固定扣子的方式？
1922年，他只是莫斯科大学物理数学系三年级的学生，就构造了一个几乎处处发散的傅里叶级数而名扬世界。1925年师从大数学家鲁金，与鲁金一起从事概率论研究。1934年获苏联首批博士学位。1931年任莫斯科大学教授。1933年任莫斯科大学数学力学研究所所长。1939年任苏联科学院院士。
1980年，由于柯尔莫哥洛夫在调和分析、概率论、遍历理论和动力系统等领域的杰出成就，而获世界数学界最高的终身荣誉奖——沃尔夫奖。此前他在国内已得过十几项国家级大奖，是十个国家的科学院院士，是鲁金学派中一大批举世闻名的数学大师中最伟大的代表人物。柯尔莫哥洛夫发表论文488篇，几乎遍及数学的一切领域，是20世纪最有影响的少数几位数学家之一。在概率论公理化方面，柯尔莫哥洛夫是奠基人之一。早在1899年，法国科学家贝特朗(Bertrand)提出了古典概率的“贝特朗悖论”：
在半径为r的圆O中随机地选取弦，求选得的弦长超过圆内接正三角形边长的概率。
(1)画圆的切线及过切点A的等边三角形，见图50。∠1，∠2，∠3中所夹的弦各占以A为端点的全体弦的13，而∠2中含的弦即为超过圆内接正三角形边长的弦，所以所求概率为13。
(2)在圆O中画以r2为半径的同心圆，见图51。弦的中心落在小圆内时，其弦长超过⊙O的内接正三角形△ABC的边长，而小圆面积是⊙O面积的14，故所求概率为14。
(3)作圆O的直径EF，把圆周六等分，E与F是两个分点，见图52。E，E1，E2，F，F1，F2是六个分点，连接弦E1 F2与E2F1，与直径垂直的弦的一半落在平行线E1F2与E2F1，之间，所以所求的概率为12。
贝特朗悖论使古典概率陷入严重的危机之中！
为了克服古典概率的局限性，柯尔莫哥洛夫从20世纪20年代起用测度论的途径来改造概率论。1933年，出版了柯尔莫哥洛夫德文版的经典名著《概率论基础》。作为有雄厚函数论实力的鲁金学派的杰出代表，柯尔莫哥洛夫终于把概率论建立在测度论的基础上，创建了公理化概率论。此前，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论中的解析方法》，开创了马尔科夫过程(无后效随机过程)的研究。
1939年，柯尔莫哥洛夫把概率论用于生物学研究，用统计的方法与理论证明了基因遗传的孟德尔定律成立。值得钦佩的是，柯尔莫哥洛夫的这一成果是在苏联已严肃宣布“孟德尔律”是“唯心主义的反动学说”的社会背景之下，冒着杀头之罪做的这项重要的研究工作，且取得全世界公认的成就的。
1949年，柯尔莫哥洛夫与格涅坚科合作出版《独立随机变量和极限分布》一书，成为概率论中极限论的经典著作。
20世纪50年代，柯尔莫哥洛夫与他的学生阿诺尔德以及美国数学家莫泽(Moser)合作，研究了微扰之下哈密顿(Hamilton)系统的动力系统问题，建立了20世纪最重要的理论成果KAM定理。
1956年，柯尔莫哥洛夫对希尔伯特第13问题进行了深入研究，得出重要结果。并为人工神经网络设计奠定了基础。
20世纪60年代，柯尔莫哥洛夫开创了“演算信息论”与“演算概率论”两个新分支。给出二进制数列是否为随机数列的判别法。
柯尔莫哥洛夫对数学概念的发现极富敏感性，苏联著名数学家亚历山大罗夫说：“数学天才有敏捷型与稳健迟缓型两种，柯尔莫哥洛夫属于前一种，而希尔伯特则属于后一种。”
柯尔莫哥洛夫的工作特点是，关心各个领域，从中发现基本问题，首先建立若干基本原理，接下去让他的学生们进行细节研究，逐渐吸收大量人员参加，他是他的学生领导的许多学派的奠基人。
柯尔莫哥洛夫从20世纪30年代起就做全苏中学生奥林匹克数学竞赛的总教练，他对这种竞赛有正确的指导思想。他强调指出，数学奥赛的意义在于发现数学天才，继而对他们进行深造，把他们培养成数学家，而不像体育上的奥林匹克运动会那样，目标仅仅是拿金牌。应当对参加数学奥林匹克竞赛的学生进行全面的数学教育，让他们对数学概念具有深刻一些的领会，而不是仅仅训练他们的做题术。
柯尔莫哥洛夫一生获得各式各样的大奖，例如，关于随机过程1941年的国家级一等奖，1965年关于经典力学获“列宁奖”，1951年获切比雪夫奖，1986年获罗巴切夫斯基奖，1963年获“苏维埃劳动英雄”称号，1983年获“十月革命勋章”，1940年获“红旗勋章”，1944年-1975年获7枚“列宁勋章”，1963年获“金星奖章”等等。柯尔莫哥洛夫淡泊名利，他的兴趣只在数学科学上，对这些奖章等从不放在心上。任何人也没听到过他夸耀过自己的头衔或成就。对于奖金他更是无动于衷，例如他对数额可观的沃尔夫奖的奖金干脆放弃，以前得的各种奖金也悉数捐给了学校图书馆。像柯尔莫哥洛夫这样才气横溢、成就巨大，而且为人与政治品质极高的数学家，正是知识分子做人做学问的楷模。