一、宋元四大数学家之一
杨辉是浙江杭州人，生活于13世纪下半叶，生平不详。在数学史上与秦九韶以及元代的李冶、朱世杰合称宋元四大数学家。
现存的杨辉著作有以下5种：
①详解九章算法，1261年成书。
②日用算法，1262年成书。
③乘除变通本末，1274年成书。
④田亩比类乘除捷法，1275年成书。
⑤续古摘奇算法，1275年成书。
杨辉是我国历史上著名的数学教育家，他写书教课深入浅出，生动有趣，图文并茂，他是中国南方最受欢迎的老师，他是数学史上有名的“巧人”。
二、神农幻方的构作
杨辉对我国国宝级数学遗产“洛书”进行了研究，定义了“纵横图”的概念，“纵横图”也称为幻方，即从1到n2连续n2个自然数，排成n×n的方阵，使得每行之和、每列之和和每条对角线之和相等，都等于1+2+3+…+n2n=n(1+n2)2。
杨辉鬼斧神工，制作出3阶到10阶的幻方。
传说当年大禹治水成功之后，洛河上浮出一只巨大的神龟，背上驮着如图10的一张图，这张图称为“洛书”。上苍把“洛书”献给大禹，作为对他治水有功造福百姓的奖赏，同时也是蓄意考查大禹的智慧究竟有多大。大禹几经研究，始终看不透这张“洛书”的天机。
杨辉把“洛书”破译成方阵(图11)，识破了洛书的数学意义：洛书上九组点子代表从1到9的9个数字，改写成(图11)方阵，发现各行之和、各列之和和两条对角线之和皆15。杨辉把(图11)方阵称为“神农幻方”。而且杨辉对神农幻方的构作作了如下的说明：在图12中把1，2，3；4，5，6；7，8，9分三组斜着抄入方格中，杨辉称此为“九子斜排”；把顶上的1下降三个格，下方的9上提三个格，杨辉称此为“上下对易，戴九履一”；再把图12中右端的3向左平移三个格，左端的7向右平移三个格，杨辉称此为“左右相更，左三右七”。于是制成图11的3×3神农幻方。
杨辉用这种方式又构造了(2k+1)×(2k+1)阶幻方。
图13是5×5幻方的构造过程，图14是7×7的幻方的构造过程，更高阶的奇阶幻方依次类推。
杨辉构作的10阶幻方如图15，他当时称此为“百子图”。
三、杨辉的面积割补法
杨辉的名著《续古摘奇算法》中有定理如下：
“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦。弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同。”
刘徽的这条定理是说：过矩形对角线上任一点分别作两组对边的平行线，在此对角线两侧的两个矩形等积。
在图16中，设D为矩形ABCD的对角线册上任一点，直线RPS∥AB，TPQ∥BC，则矩形PQAR的面积等于矩形PSCT的面积。
事实上，△ABD=△BDC(指它们的面积等)
△PRD=△PTD
△PQB=△PSB
而
矩形PQAR=△ABD-△PRD-△PQB
矩形PSCT=△BDC-△PTD-△PSB
所以
矩形PSCT=矩形PQAR
四、杨辉三角
杨辉于1261年画了如下一张图17。
图17可以下向延展成无穷层，他画了一个等腰三角形的数字垛，第一层一个数，第二层两个，…，第n
层n个数，两腰上的数都是1，其余各数由上层邻近的两数求和得到。这种构造方法轻松有趣。值得注意的是，杨辉搞的这个“三角”阵，不仅仅是为了美观有趣，而且事实上，它含有深刻的数学内容，突出的有以下两条。
①杨辉三角的第n+1行是(a+6)n展开式的系数序列1，c1n，c2n，…，Cn-1n，cnn
(a+b)n=1an+c1nan-1b2+C2nan-2b2+…
+Cn-1nabn-1+Cnnbn
②杨辉三角的n+1行是(u(x)v(x))(n)(n阶导数)的系数序列：
(u(x)v(x))(n)=1u(n)(x)v(x)+C1nu(n-1)(x)v(1)(x)
+…+Cn-1nu(1)(x)v(n-1)(x)
+Cnnu(x)v(n)(x)
1654年，法国大数学家帕斯卡发明了一种“帕斯卡三角”，实质上那就是“杨辉三角”，不过已经比杨辉晚了400年左右。
五、级数求和公式与堆垛
杨辉曾解下面堆垛问题：有一四棱台堆垛，上底面后k2个果子组成，下底由(k+n-1)×(k+n-1)个果子组成，共n层，求果子总数。
此题就是求级数之和：
Sn=k2+(k+1)2+(k+2)2+…+(k+n-1)2=？
杨辉得出
Sn=n3［k2+(k+n-1)2+k(k+n-1)+n-12］(10)
公式(10)可以用数学归纳法予以证明。
当n=1时，只一层，S1=k2，而式(10)右端恰为k2，归纳法起步成功。假设对于n=m已成立公式(10)，往证n=m+l时，式(10)仍成立。
事实上，由Sn之定义及归纳法假设得
Sm+1=Sm+k+m)2
=m3［k2+(k+m-1)2+
k(k+m-1)+m-12］+(k+m)2
此Sm+1是否与
m+13［k2+(k+m)2+k(k+m)+m2］
相等呢？
m3［k2+(k+m-1)2+k(k+m-1)+m-12］+
(k+m)2-m+13［k2+(k+m)2+k(k+m)+m2］
=k2(m3-m+13)+m3［(k+m-1)2-(k+m)2］+m3［k(k+m-1)-k(k+m)］+m3(m-12-m2)+(k+m)2-13(k+m)2-13k(k+m)-16m
=-k23-m3(2k+2m-1)-mk3-m6+k2+m2+2km-23k2-23km-23m2-13km-m6
=0
证毕。
杨辉还得出公式
12+22+…+n2=n3(n+1)(n+12)
l+3+6+10+…+n(n+1)2=16(n+1)(n+2)
杨辉是古今中外天才数学家之一。