图灵当过一段私人辅导，可是发现这项工作费时太多，因为他正集中精力写关于“高斯误差函数”的论文。该论文使他在不满23岁时就当选为王家学院的研究员。为此他的母校放半天假以示庆祝。
第二年，也就是1936年，图灵为了获得史密斯奖提交了关于“高斯误差函数”的论文。这篇论文再一次获得成功，赢得了史密斯奖，母校又放了半天假以示庆祝。使人惊奇的是，他早就认为自己一定能赢得这笔奖金，甚至在数月前就已经谈到打算用这笔钱买只小帆船。
图灵有一些他自己的巧妙办法。他常常靠观察星星的位置来对时钟。从一个固定位置去观察，每隔相同的（已知的）一段时间，就有某颗星星被附近的建筑物挡住。他发现这种办法十分实用。
的确，他总能找到一种完全是自己发明的办法来摆脱困境。有一次玩网球，为了去掉球场硬地面上的几洼积水，他借了对手的发卡，用它挖了几个小洞，成功地将水排干。还有一次，他们谁也没有戴表，图灵就临时做了一个日晷来看时间。
1937年，他的论文《论可计算数及其在判定问题中的应用》发表了，同年还发表了该文的一篇短小的订正。事实表明，“可计算数”是图灵在数学上最著名的贡献。关于这一点，《泰晤士报》在他的讣告（1954年6月16日）上写道：“这一使图灵在数理逻辑中获得永久地位的发现，是他在刚毕业后不久做出的。与当时希尔伯特及他所代表的哥廷根学派的流行观点正相反，他证明了存在着这样一类数学问题：它们不可能通过固定的和有限的过程得到解决。他的证明中的关键步骤是阐明一个‘可以由一台自动机完成的过程’。尽管别的作者在大致相同的时间也发表过不可解性的其他证明，但‘图灵机’仍然是这些本质上等价的理论中最生动、同时在许多方面也是最令人信服的阐述。他当时对于‘通用’（universal）计算机的描述纯粹出于理论上的目的，但是图灵对各种实际实验的强烈爱好使他甚至在当时就对沿着这些思路实际制造一台计算机的可能性深感兴趣。”纽曼教授在《皇家学会会员传记》（1955年11月）中曾这样提到“可计算数”：“现在很难认识到当时把纸带及在纸带上的穿孔模式这类话题引进数学基础的讨论中是一种多么大胆的革新。”
下面是罗宾·甘迪博士所做的另外一些有关的评论，这些评论曾经在《自然》杂志上发表：
“在头几年的研究中，图灵曾致力于几个专题，其中包括数论和量子力学，同时他还开始制造一台计算黎曼Z函数的机器，为此，他自己动手切削齿轮。对计算的兴趣导致他直接去考虑哪些种类的计算过程能够用一台机器来完成。
“他描述了一种‘通用’机，当向它提供适当的指令时，它可以模仿任何其它机器的行为；这样他就能对‘可计算性’做出一种精确的定义，并证明存在一些在该种意义上其解答是不可计算的数学问题。
“这篇包含这些结果的论文，是运用图灵方法的典型。从首要原理出发，运用具体描述，建立起一个一般性的抽象结论。”
在假期里，当图灵想谈论自己的工作和准备静下心研究数学基础的计划时，他就去做长时间的散步或整日外出。吉尔福德一带的某几处地方都会使他的朋友联想到“变量”、“常数”及“-1的平方根之类”的讨论。
他还千方百计让他的母亲至少能理解有关“可计算数”的论文的思路，有时还用手杖敲打地面来阐明他的观点。图灵总是把他出版著作的单行本送给自己的母亲。
尽管母亲数学水平不高，他们还是一起搞出了一篇“可计算数”的法文摘要，准备发表在法国科学院通报上。经纽曼教授加以审阅并提出修改意见后，一位法国专家又对它做了审核。
大约在1937年，图灵计划写一篇《论利特尔伍德的一个定理》的论文，他抱着这个目的请教了皇家学会会员利特尔伍德博士。这位博士虽然对它感兴趣，但认为会出现难以克服的困难。然而图灵并没有被吓倒，而是在某个时期实施了自己的这个计划，但没有发表论文，以免会牵涉到对别人的专门研究范围的侵犯。这篇论文被评价为是一篇具有独到价值的著作。
丰富多彩的研究生院生活
法灵顿市场是图灵喜欢游逛的地方。他就是在那儿弄到了一架古老的六分仪，这架六分仪成了图灵1936年9月23日漂洋过海去纽约时的装备之一。
通过自己的测量，他在给母亲的家信中十分精确地标明了写信时的经纬度。
到达普林斯顿研究生院一星期之后，他在家信中写道：“这里的数学系真是不负众望，有一大批出类拔萃的数学家——冯·诺依曼、韦尔、柯朗、哈代、爱因斯坦、莱夫谢茨，另外还有许许多多相比之下不那么重要的人物。
但遗憾的是，今年却不像去年有那么多搞逻辑的人。”他的第二封信流露出了自己的某种失望：“有一天晚上丘奇请我出去吃饭。虽然那些来客都是大学里来的人，但我发觉谈话令人颇为失望。据我记忆所及，除了自己所来自的不同的国家之外他们什么也没有谈论。对旅行及各地风土人情的描述使我腻烦透顶。”另一方面，研究生们，其中有不少是搞数学的，却无顾虑地大谈本行，在这方面与剑桥真是大相径庭。
在普林斯顿的第一学期，图灵根据丘奇的建议讲了一次关于“可计算数”
的课。由于来听的人不多，使他甚为扫兴。他推断，除非一个人已经出了名，否则他的课就不会引起人们的注意。图灵在普林斯顿还准备了群论方面的两篇东西。结果，一家荷兰期刊《数学论集》于1937年3月收到其中一篇题为“一个群的扩充”的论文，并在1938年将它发表出来；另一篇论文“对李群的有限逼近”于1937年4月送到《数学年鉴》，1937年9月修订后于1938年1月发表。
课余，图灵喜欢朗诵剧本。他还是一个大学剧本朗诵会的会员，这个团体大多在星期日晚上聚会。想必他在这方面干得满不错，因为在王家学院他也一度是个相当排他的剧本朗诵会或俱乐部的会员。
图灵很快就开始为研究生院打曲棍球，他发觉曲棍球“非常好玩”，可是他后来过多地陷入了安排比赛的事务，已超出了自己所希望的程度。
图灵来到普林斯顿不到6个月，研究生院的院长艾森哈特先生和夫人就开始极力劝他在普林斯顿再呆一个学年。按图灵家信里的话来说：“艾林哈特夫人提出了一些社交性的或半道义半社会学的理由来说明为什么在这里再度过第二学年是件好事。院长另外还暗示：只要我提出请求就能得到普罗克特资金（一年2000美元）。”图灵对是否接受这个建议十分犹豫，部分原因是他的大多数朋友要离开普林斯顿了，另一部分原因是他不知道自己离开王家学院两年别人会如何看待此事。尽管他本人认为“可计算数”在普林斯顿并不很受欢迎，但艾森哈特院长似乎不抱同感，因为图灵在研究生院的第一学年即将结束时，艾森哈特院长在给他母亲的信中写道：“他能到这里同我们在一起使我们感到特别高兴，这不仅是由于他个人的优秀品质，而且还因为他在数学方面给我们留下的深刻印象。”
图灵在英格兰度过1937年暑假之后，以一名“简·伊莱特·普罗克特访问学者”的身份回到普林斯顿。回到研究生院以后，他开始搞博士论文，题目是“序数基础上的逻辑系统”。
1938年5月，图灵获得了博士学位。这篇论文的完成时间比原计划晚，部分原因是他按照丘奇教授的一些建议把论文加以扩充，比原来设想的长了不少，部分原因是图灵倒霉地遇到个蹩脚的打字员，他真希望能得到剑桥佩特小姐那样的合作。
在“序数基础上的逻辑系统”这篇论文的一个脚注中，他对丘奇教授所提出的宝贵意见和给予的重要帮助表示衷心的感谢。1939年，该文发表在《伦敦数学学会汇编》第45卷第二部分上。按照1954年11月出版的《剑桥王家学院院委会年度报告》里图灵传略的说法，“一些行家认为，他在普林斯顿写的这篇关于序数逻辑的博士学位论文和他在去世前不久写的关于字问题的著名论文，与那篇更有名的论可计算数的文章相比，无论在能力上还是在思想独创性上，都可以说是并驾齐驱，不相上下。”
父亲曾劝图灵在美国找个工作。图灵自己虽然不十分热心，但也做了一些试探性的询问，不过，他最终还是拒绝了担任冯·诺依曼的助手的提议。
于是，他在1938年夏天回到英格兰，恢复了王家学院研究员的职位，专心从事研究和学院的日常学术工作。
这正是图灵那时最喜欢的生活方式。间或他还到吉尔得福德度假。图灵在家里时，从他的书房里常常传出他扯着嗓子唱赞美诗的声音，显然这表示他的研究进展得很顺利。在剑桥时图灵又重新忙于搞他的论文“Z函数的一种计算方法”。伦敦数学学会在1939年3月7日收到该文，但直到四年之后才在论文集上发表。
在这段时期里，图灵还研究了另外两项课题。他同纽曼教授合写了一篇论文，题目是“丘奇类型论中的一个形式定理”，1942年发表于《符号逻辑杂志》。他的另一篇论文“在丘奇系统里用点作为括号”也于同年在这家杂志上发表。1939年的那个学期，图灵开了一门课，尽管他早就料到随着时间的推移，来听讲的人会有所减少，但他仍认为课程进行得相当不错。除此之外，他在王家学院的这段时期是平静的。
图灵的特点
图灵是个肩宽体壮身体高大的人，方正的下巴显出很有决心的样子，有着一头不大服帖的褐色头发。深陷而清澈的蓝眼睛是他最突出的特征。短而微翘的鼻子和线条俏皮的嘴巴使他显得像个年轻人，有时竟像个孩子，甚至在他近40岁时，还常常被误认为是个大学生。由于这种误解偶尔还有人想把他当作大学生来“处罚”。
图灵平时穿着随便，不修边幅。头发总是过长，在前额上耷拉着一绺，他不时地把头猛地往后一扬，好把这缕头发甩到后面。有时好不容易把头发梳齐，可是没过五分钟他就会用手指抓头发，结果头发又重新翘起来。图灵在最后几年里，又稍有进步，别人抱怨他的衣着时，他还常常振振有词地加以反驳。或许，真正成问题的与其说是这些衣服，倒不如说是他穿这些衣服的方法。图灵的外表简直一点也显示不出他在学术上的重要地位，而他在扩大自己影响方面又几乎没做任何努力。
图灵全神贯注于思考时，有些心不在焉、神情恍惚，因而有时显得不爱交际，这多少也有点儿因为他没有“谈闲天”的天赋，除非其中夹杂着趣味和幽默。有一次，家里来了几位很难应酬的客人，也找不出什么可谈的话题。
在他们离去之后，图灵嚷道：“妈妈！我真不知道你是怎么弄的！这两个小时你一直是那么吃力地应酬着他们。”
虽然图灵常常有点儿心不在焉，但给许多人留下的印象却是他具有活泼可爱的个性。的确，“活泼、可爱、谦虚”，是图灵的朋友们写到他时常用的形容词。
然而，图灵的思绪并非总是缭绕于云端，他很关心他周围的人，尽管除了研究员的薪水之外并无其他收入，他还是在第二次世界大战前承担了一个15岁奥地利难民除学费外的全部费用。图灵自命为这个孩子的监护人，为他支付了穿着、度假及其他全部额外开销，后来还为他提供了上曼彻斯特大学的全部费用。这个孩子成了一名归化的英国侨民，并改名为罗伯特·安费尔德。由于在生活中得到了种种便利条件，同时他也最充分地利用了这些有利条件，他对图灵感激不尽。
皇家学会会员杰费里·杰斐逊爵士谈了他对图灵的鲜明印象：“在我看来，他如此不谙人情世故，那么孩子气，在一般接人待物上那样异乎寻常、与众不同……如此心不在焉。他的天才闪闪发光，因为他从来没有完全成人。
我想，他是科学上雪莱那样一类的人物。”虽然图灵在很大程度上忽视众人所遵从的常规，但矛盾的是，他又死死抱住一些常规不放。例如，他强烈反对别人用“博士”来称呼他，因为他的博士学位是在美国获得的，所以，按照他的看法，在美国之外用这个头衔来称呼他是不恰当的。一些年轻朋友知道他有这个忌讳，常喜欢故意用这个头衔来和他开玩笑。
图灵非常羞怯，有几次这种羞怯使他显得极为笨拙。羞怯使他结交朋友时迟迟不能采取主动，但坚冰一旦打破，他就有能力获得人们的好感，并能声称自己拥有一个广泛的朋友圈子。正如1954年11月《王家学院年度报告》所证实的那样：“虽然后来一些年他不在剑桥工作，但他仍不时地重访本院。
在这里，他辩论时的机敏和足智多谋，他的谦逊和幽默的天赋使他深受许许多多朋友的喜爱。”
在外交部