不幸的童年
1854年4月29日，昂利·彭加勒出生在法国南锡。他的祖父在拿破仑军队中供职，隶属于圣康坦部队医院。1817年，祖父在鲁昂定居，并结婚成家，后有两个儿子。大儿子莱昂·彭加勒生于1828年，他是一位第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授，他因精湛的医术和高尚的医德博得了人们的尊敬和爱戴。二儿子安托万·彭加勒，曾升迁为国家道路桥梁部的检察官。
从彭加勒家族成员的显赫名单上，人们也许会想，昂利·彭加勒可能会显示出某些行政管理才能。可是出乎预料的是，他除在童年时代和妹妹以及其他小朋友作政治游戏时做过高官外，从未表现出这方面的能耐。在这些政治游戏中，他总是秉公办事、合理待人，他的每一个伙伴都能从他的“衙门”
获取应得的报偿。俗话说，三岁看大，七岁看老。昂利·彭加勒后来没有像雷蒙那样成为一个显赫一时的政治家，但却是一位诚实、正直、严肃的科学家。
昂利·彭加勒的童年是不幸的。在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调。他的两手后来虽说都能写字书画，但他的字、画都不好看。乍看起来，他也没有什么超人的天才，这可由一件趣闻佐证。当他后来被公认是他所处时代的第一流数学家时，他接受了比尔试验（比尔是法国心理学家），结果他被断定是一个笨人。由于在他的孩提时代，母亲把全部心血倾注到子女的教育上，所以他的智力发展很快，很早就学会了讲话。不过开始还不大顺利，他思考得很快，而迟迟找不到要说的恰当的词语和方法。
当彭加勒5岁的时候，白喉病把他折磨了整整9个月，从此留下了喉头麻痹症。这次疾病使得他长时期身体虚弱、缺乏自信。他无法和小伙伴们作粗野的游戏了，只好另找欢乐。
彭加勒的主要娱乐就是读书，在这个广阔的天地里，他的天资通过锻炼逐渐显露出来。当他6、7岁时，他们家的一位好朋友初级检查员安泽兰经常给他介绍有关基础知识方面的书，也每每提问题让他思考，从而激发了他强烈的求知欲。大约从7、8岁时起，他对博物学发生了兴趣。《大洪水前的地球》一书给他留下了深刻的印象。他读书速度之快令人难以置信，而且过目不忘，往往能说出哪页哪行讲了些什么。他在自己的一生中都保持着这种视觉记忆能力。他的时间记忆以不可思议地准确回忆往事，能力也非常强。
大多数的数学家通常都通过眼睛来看记忆公式和定理，彭加勒视力极差，他上课时看不到老师在黑板上写的东西，也不好记笔记，全凭耳朵听，这大大增进了他的听觉记忆能力。到后来，他在头脑中能够完成复杂的数学运算，他能够迅速地写出一篇论文而无须大改。人们对此觉得不可理解。在他看来，这只是自然而然的。这种“内在的眼睛”大大有益于他的工作，因为抽象的数学研究正需要丰富的想象和敏锐的直觉。
由于幼年的残疾，所以他的手指不大听使唤，从而妨碍了实验技巧的训练。尽管他后来教过实验物理课程，也掌握了一些实验技能，但总的说来比较逊色，这也是他后来主要从事理论研究的原因。有人说，假使他在实验科学方面和在理论科学方面的兴趣一样强烈的话，他也许会成为与牛顿相媲美的人。
彭加勒特别喜爱动物。他第一次玩来福枪时，无意中射死了一双小鸟。他为此深感内疚，此后再也不愿摸枪支了。9岁时，他写了一篇出色的论文，是一篇“小杰作”。法文老师认为，彭加勒的作文在形式和内容方面都有独创性。这篇作文第一次表明彭加勒将来会成为一个有出息、有成就的人。
彭加勒在初等学校的时候，学业成绩是优秀的，但是他并没有一天到晚趴在桌子上死啃书本，像其他孩子一样，他也乐于游戏和玩耍，他喜欢跳舞，还自编自演过一个诗剧。功课对他来说像呼吸一样容易，他把许多时间用来娱乐和帮母亲干活。从小时候起，彭加勒就具有心不在焉的性格：他每每忘记吃饭，几乎从未记清他是否吃过早餐。这种性格直到成年也未改，比如离开旅馆时，他有时便稀里糊涂地把房间的台布、床单之类的小物件卷进自己的行李中了。
彭加勒15岁左右，奇妙的数学紧紧地扣住了彭加勒的心弦。一开始，他就显示出终生的怪僻，当他不停地来回踱步时，那正是在聚精会神地思考数学问题，只有彻底想好了，他才把结果记在纸上。他工作时，各种外界干扰对他来说毫无影响。
其实，彭加勒这种工作专注的特点是从小就养成的。法国社会心理学家勒邦，谈到这一点时说：“彭加勒对数学有高度的直觉，在南锡大学附校，他的同学就为此感到震惊。从在附校第一年起，彭加勒就有他的工作方法，他强使自己坐在学习桌旁，无论是嘈杂声还是谈话都不会扰乱他的思考。
要使思想集中于一个问题，他不需要其他帮助，只要逻辑思维充满他的头脑就行了。”
1870年，普法战争爆发了，当时彭加勒才16岁。他年幼体弱，没有服兵役，可是也经受了风险。德国侵略者占领了他的家乡南锡，他在战地巡回医院协助父亲工作。后来，他和妹妹随母亲到阿兰瑟的外婆家去，他童年时代最幸福的日子就是在那里度过的。他还清楚地记得，在阿兰瑟的公园里，他曾和妹妹年龄相仿的表兄弟、表姐妹一块儿玩耍，同他们一起跳舞、游戏、猜字谜，他总是扮演活跃的喜剧角色，逗得他们笑得前仰后合。可是现在的阿兰瑟距圣普里瓦战场不远，母子三人忍饥挨饿，在滴水成冰的天气里越过一个个沦为焦土的村镇。到达目的地，映入他们眼帘的只是一片残垣颓壁，侵略者的铁蹄蹂躏了美好的家园，敌人的兽行促使彭加勒终生成为一位热情的爱国主义者。
但他从来没有把敌国的数学和敌国军队的野蛮行径混同起来。正像他的老师埃尔米特（一位法国数学家），没有反对高斯（一位德国数学家）一样，彭加勒也从未敌视过库默（一位德国数学家）。可是，彭加勒的堂弟雷蒙却迥然不同，每当他提起德国人时，总是伴随着憎恨的尖叫声。在战争期间，为了听懂德国兵的交谈和阅读德文报纸，彭加勒通过自学掌握了德语。
彭加勒在17岁的时候，按照法国通常的习惯，即1871年，进入专业训练前接受了首次学位（文学和理学学士）考试。在考数学时，他由于迟到而心神不安，连证明收敛几何级数求和公式的简单试题都作错了。由于平常成绩优秀，他还是在数学不及格的情况下通过了学位考试。主考人说：“彭加勒是一个例外，若是其他任何学生，无论如何也不会被录取”。
彭加勒进入福雷斯学校学习，在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学奖金。这使他的同学惊讶不已。他们以为彭加勒是一个吊儿郎当的人，便闹了个恶作剧，哄骗他代表四年级学生参加数学竞赛，解一个十分难对付的数学题。彭加勒似乎没有怎么思考就直接写出了答案，然后扬长而去，那些戏弄者垂头丧气地还在纳闷：“他究竟是怎样做出来的？”在彭加勒的整个一生中，其他人经常询问同样的问题。的确，当一个数学难题摆在他面前时，他的答案就像刚刚离弦的箭一样飞来。
1871年底，彭加勒进入巴黎综合工科学校深造。据说，在入学考试时，一位主考人得知彭加勒是“数学巨怪”，故意把考试推迟了三刻钟，想用一个经过精心推敲的试题难倒他。结果，彭加勒回答得很出色，得到了最高分数。他尽管在数学上名列前茅，但体育成绩很不好，绘画得了零分。按当时的规定，零分意味着淘汰。主考人熟知他的情况，还是破例录取了他，使他有机会深造。
彭加勒于1875年从巴黎综合工科学校毕业，其时21岁。他接着到矿业学校学习，打算做一名工程师。他满怀信心地攻读工程技术课程，一有闲空，就劲头十足地钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒。1878年，他向巴黎科学院提交了这个课题的“异乎寻常”的论文，为此于第二年的8月1日，他有幸得到了数学博士学位。
天才数学家
1789年的法国大革命推翻了成为社会发展桎梏的封建制度和专制政权，促进了科学的发展，使法国在18世纪末和19世纪初取代英国，一跃而成为世界科学的中心。在这里，只须提一下拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、傅里叶、柯西等著名数学家的名字就可想而知法国科学的盛况了。可是，由于启蒙主义在德国的活跃和以普鲁士为中心的各诸侯国的统一，德国在世界舞台上崭露头角，后来居上，在19世纪后半期夺得了科学的主导权。尽管如此，由于彭加勒等人的继往开来，仍使法国有能力自立于世界科学之林。彭加勒被认为是19世纪最后1／4和20世纪初期的数学主宰，并且是对数学和它的应用具有全面知识、雄观大局的最后一位大师。要知道，当时的许多数学分支都变成了封闭的体系，它们各有其特殊的术语和专门的研究方法，要同时跨越几个领域实在不易，要作个通才，更是难上加难。可是彭加勒就是这样的通才，人们公认他是堪与高斯相媲美的大数学家。
彭加勒的首次成功是在微分方程理论方面。这项工作完成于1876年11月，论文题目是《关于微分方程所定义的函数性质》，其时他只有22岁。1878年，他又完成了同一课题的又一篇论文《自变量的任意个数的偏导数方程的积分》，它涉及到更加困难、更加普遍的问题。这篇博士论文又一次显示了彭加勒卓越的数学才能。论文评审人认为，论文是异乎寻常的，它包含着足以向几篇好论文提供材料的结果，完全值得接受。对于常微分方程的研究促使彭加勒从事超越函数新关系，自守函数的探讨，自守函数是椭圆函数的推广。彭加勒把自己发现的一类自守函数命名为富克斯函数，但富克斯却没有考虑过，为此克莱因就优先权问题向彭加勒提出抗议。彭加勒的回答是把自己紧接着发现的一类自守函数命名为克莱因函数，因为这类函数正像有人所默默地注视到的，克莱因从来也未想到过。
1884年，彭加勒在《数学学报》前五卷发表了关于自守函数的五篇重要论文，这一划时代的发现使不到30岁的彭加勒闻名于世。从此，他一生事业的魔杖被抓住了。阿拉丁的神灯（阿拉丁是阿拉伯神话《天方夜谭》中寻获神灯与魔指环的青年，阿拉丁的神灯即如意神灯，此灯可使持有者百事如意）被擦亮了。可是，当这组论文的第一篇发表后，克罗内克却警告编辑说，这篇不成熟的和隐晦的论文会把期刊扼杀掉。
自守函数的研究和微分工程定性理论的研究一样，促使彭加勒重视拓扑学。1887年，33岁的彭加勒被选入巴黎科学院，像这样年轻的新人进入科学院实属罕见。大多数数学家在签署意见时认为，彭加勒的工作成就超过了通常的赞扬，这必然使我们想起雅可比描述阿贝尔的情况，他解决了在他之前未曾设想过的问题。事实上必须承认，由于椭圆函数的成功，我们正目睹数学领域里的一次革命，这次革命在每一个方面都可以和半个世纪前出现的革命相比较。
在数学哲学和数学创造的心理学方面，彭加勒也进行了有意义的探索，发表了富有启发性的看法。彭加勒巨大的权威性，他的文体的优美，以及他打破传统的思想，使他的著作超出范围有限的数学界。有的传记作家估计他的作品有五十万读者，创造了数学界的空前记录，开了一代数学大师的先河。
天文学的剑客
在19世纪，法国在理论物理学和其他学科方面失去了霸主地位，但在理论天文学方面仍然领先一步。彭加勒是这一光荣传统的继承人，他站在他的同胞克莱劳、拉普拉斯、勒维烈这些天文学巨人的肩膀上，当然会看得更远一些。他的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状（1885年）；太阳系的稳定性，即n体问题（1889年）；太阳系的起源（1911年）。
彭加勒对第一个问题的兴趣是被威廉·汤姆逊，即开耳芬勋爵和泰特的《论自然哲学》一书中的一节激起的。此外，他在讲授流体力学时也对标准教材中关于旋转流体的处理感到不满。
彭加勒在1885年发表的长篇论文中讨论了由雅可比椭球派生出来的、涌动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。
彭加勒认为，这种体系演化的下一个阶段可能是一大一小彼此绕着旋转的两个天体的平衡状态，该假设肯定不能用于太阳系，某些双星必然会呈现出这样的过渡形式。后来，俄国数学家李亚普诺夫和英国天文学家金斯分别在1905年和1915年证明：梨形是不稳定的。当然，现在有些人不再相信，彭加勒的梨形能在宇宙演化中起任何作用。但是，至今仍然有人研究，流质经过旋转不稳定后发生的分裂可能导致形成双星体系，甚至有人认为地球也是梨形，因而彭加勒处理问题的一般方法也许可能再度得势。
彭加勒在天文学上的最大成功表现在对“n体问题”的处理上，这是瑞典国王奥斯卡三世在1887年提出的悬赏问题。设n个质点以任意方式分布在空间中，所有质点的质量、初始运动和相互距离在给定的时刻假定都是已知的。如果它们之间按照牛顿万有引力定律相吸引，那么在任何时刻，它们的位置和运动速度怎样呢？对于数学天文学来说，一群星系中的每个恒星都可以视为这样的质点，于是n体问题就相当于今后天空的情况将是什么样子，假使我们有足够的观察资料描述目前天空的普遍结构的话。显然，这个天文学问题不仅具有数学特色，而且具有物理学特色。
关于“两体问题”（n＝2），已被牛顿圆满地解决了。著名的“三体问题”（n＝3）后来受到人们的注意，因为地球、月亮和太阳就是三体问题的典型例子。自欧拉以来，人们把它视为整个数学领域最困难的问题之一。从数学上讲，该问题归结为九个联立微分方程组（每个都是线性二阶的）。拉格朗日成功地把这个问题加以简化，可是其解即使存在，也不能用有限个项来表示，而是一个无穷级数。如果级数在形式上满足方程组，并且对于变数的某些值收敛，那么解将存在。彭加勒在他1889年的论文中提出了一种新的强有力的技巧，其中包括渐近展开和积分不变性，并且对微分方程在接近奇点附近的积分曲线行为作出了根本性的发现。