6.“盈不足术”
如果有人出这样一道题：4个人合买一件12元的礼物。问每人应出多少钱？你会毫不费力地回答：每人应出3元。从代数的角度来看，这只不过是解方程4x＝12而已，非常简单。但令人惊奇的是，象px－q＝0这种简单的一次方程问题，在古代却要大费周折，用相当麻烦的办法来解决。
在中世纪的欧洲，为了解px－q＝0这种类型的问题，有时要用到所谓“双设法”，即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是：设a1和a2是x值的两个猜测数，b1和b2是误差，这时有：
a1p－q＝b1，(1)
a2p－q＝b2，(2)
(1)－(2)得p(a1－a2)＝b1－b2，p＝b1－b2a1－a2。
(1)×a2－(2)×a1，得－q(a2－a1)＝a2b1－a1b2，
即，q＝a2b1－a1b2a1－a2。
因此，x＝qp＝a2b1－a1b2b1－b2，
于是就求出了x的值。在代数学的符号系统发展起来之前，“双设法”是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法，并得到广泛的应用。十三世纪着名的意大利数学家斐波那契，最早介绍了这种方法，并把它叫做“阿尔-契丹耶（elchataym）”，这显然是阿拉伯语的音译。因为在11～13世纪，这种方法就引起了阿拉伯数学家的重视，并称之为“契丹算法”。另一方面，我们知道当时阿拉伯人所说的“契丹”，实际上就指的是中国。“契丹算法”就是“中国算法”。由此看来，“双设法”追本溯源应该来自中国，来自中国古代的“盈不足术”。正是我国早已有之的“盈不足术”很可能经由阿拉伯传入欧洲，在欧洲数学发展中起了重要的作用。
“盈不足”又称“盈朒（róu），是我国古代解决“盈亏类”问题的一种算术方法，“盈”就是“多”，“不足”就是“少”。我国古代数学名着《九章算术》里有一章就叫做“盈不足”，其中第一个问题是：“今有共买物，人出8，盈3；人出7，不足4。问人数、物价各几何？”这道题的题意是：现在有几个人合起来买东西。如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元。问人数和物价各是多少？《九章算术》给出了这个问题的一般解法，我们用现在的代数式来表示：设每人出a1，盈（或不足）b1；每人出a2，盈（或不足）b2。其中，在盈的情况下，b1，b2＞0，不足时，b1，b2＜0。于是，人数p或物价q可由下列公式计算出来：
p＝b1－b2a1－a2q＝a2b1－a1b2a1－a2。
在上述问题中，由这两个公式可得人数p＝7（人），物价q＝53（元）。
“盈不足术”是中国古代数学的一项杰出成就。用“盈不足”算法，不仅能解决盈亏类问题，而且还能解决一些较复杂的问题。例如，设好地一亩产粮300斤，次地七亩产粮500斤；现在有一顷地共产粮1万斤；问好地和次地各有多少亩？这道题虽然没有给出“盈”和“不足”的数值，但可以假定有好地20亩，次地80亩，于是，可算出这种情况应多产粮171427斤。如果假定有好地10亩，次地90亩，则应少产粮57137。因此，根据上述公式即可算出好的有12亩半，次地有87亩半。
当然，应用我们学到的一次方程或二次方程等代数知识，很容易解决日常遇到的算术难题，不必多此一举地再用“盈不足术”了。但在高等数学范围内，有时还要用盈不足术推求高次数字方程或函数实根的近似值。
7.牛顿问题
牛顿是17世纪英国最着名的数学家。他不仅勇于探索高深的数学理论，也很重视数学的普及教育，曾专门为中学生编写过一套数学课本。牛顿认为：“学习科学时，题目比规则还有用些。”所以在书中编排了许多复杂而又有趣的数学题，用来锻炼学生的数学思维能力。下面这个题目就是书中一道着名的习题。
“有3块草地，面积分别是313顷、10顷和24顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地可以供12头牛吃4个星期，第二块草地可以供21头牛吃9个星期，那么，第三块草地恰好可以供多少牛吃18个星期？”
这个题目的确复杂而又有趣。因为在几个月的时间里，被牛吃过的草地还会长出新的青草来，而这青草的生长量，又因时间的长短、面积的大小而各不相同！
牛顿潜心研究过这个题目，发现好几种不同的解法。他认为，下面这种比例解法最为有趣。
首先，假设草地上的青草被牛吃过以后不再生长。因为“313顷草地可以供12头牛吃4个星期”，按照这个比例，10顷草地就可以供8头牛吃18个星期，或者说可以供16头牛吃9个星期。
由于实际上青草被牛吃过以后还会生长，所以题中说：“10顷草地可以供四头牛吃9个星期。”把这两个结论比较一下就会发现，同样是10顷草地，同样是9个星期，却可以多养活21－16＝5头牛。
这5头牛的差额表明，在9个星期的后5周里，10顷草地上新生的青草可供5头牛吃9个星期。也就是说，可以供2.5头牛吃18个星期。
那么，在18个星期的后14周里，10顷草地上新生的青草可供多少头牛吃18个星期呢？5∶14＝2.5∶？，不难算出答案是7头牛。
接下来综合考虑18个星期的各种情况。
前面已经算出，假定青草不生长时，10顷草地可以供8头牛吃18个星期；考虑青草生长时，10顷草地上新生的青草可以供7头牛吃18个星期。因此，10顷草地实际可以供8＋7＝15头牛吃18个星期。按照这个比例，就不难算出24顷草地可以供多少头牛吃18个星期了。
10∶24＝15∶？
显然。“？”处应填36，36就是整个题目的答案。
8.欧拉问题
大数学家欧拉也很重视数学的普及教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识，为学生编写数学课本。尤其感人的是，1770年，年迈的欧拉双目都已失明了，仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本着作出版后，很快就被译成几种外国文字流传开来，直到20世纪，有些学校仍然用它作基本教材。
为了搞好数学普及教育，欧拉潜心研究了许多初等数学问题，还编了不少有趣的数学题。也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一，这些题目流传特别广。例如，在各个国家的数学课外书籍里，都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。
“两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样，赚得钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就能赚15枚铜币。’第二个农妇回答说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就只能赚623枚铜币。’问两个农妇各带了多少只鸡蛋？”
历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前3世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题：
“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你驮的货物给我1口袋，我驮的货物就比你重1倍；而我若给你1口袋，咱俩才刚一般多。’问驴和骡各驮了几口袋货物？”
12世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道相似的习题：
“某人对一个朋友说：‘如果你给我100枚铜币，我将比你富有2倍。’朋友回答说：‘你只要给我10枚铜币，我就比你富有6倍。’问两人各有多少铜币？”
但是，“欧拉问题”却编出了新意，由于两种“如果”出的答数无倍数关系可言，使得题中蕴含的等量关系更加行踪难觅，解题途径与上述两题也不相同。
下面是欧拉提供的一种解法。
假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以，第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。
如果在出售之前，两个农妇已将所带的鸡蛋互换，那么，第一个农妇带有的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格，都将是第二个农妇的m倍。也就是说，她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。
于是有m2＝15∶623。
舍去负值后得m＝3／2，即两人所带鸡蛋数目之比为3∶2。这样，由鸡蛋总数是100，就不难算出题目的答案了。
想出这种巧妙的解法是很不容易，连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。
9.怎样渡河才好
暴风雨过去了，一支巡回医疗队来到河边，哪知木桥已被洪水冲断，怎么样办呢？正在焦急的时候，忽然看见一条小船向这边驶来。
“啊，太好啦！村里两个少先队员来接我们啦！”大家高兴极了。
可是，这条船实在太小，它只能承载两个孩子或者一个大人。
“怎样才能全部渡到对岸去呢？”大家都在沉思着。
聪明机智的少先队员，很快想出了渡河方案，巧妙地把大家全部渡到对岸，是怎样一个方案呢？
首先，两个少先队员把船划到对岸。
接着，他们之中一个留在对岸，另一个划回来。
这个少先队员上岸，一个医疗队员划过去。医疗队员上岸，留在对岸的少先队员划回来。
这时，一个医疗队员已到对岸，而两个少先队员却都回到这边来。整个过程这样重复下去，直到每一个医疗队员全都渡过河去为止。
这里渡河的程序是何等重要，先怎样，后怎样，再怎样，必须按一定的次序。
10.六人集会问题
问题很简单，任何六人的集会中，总有三个人彼此相识或三个人彼此不相识。但问题的解决不很简单。
我们把六个人看作是平面上的六个点A，B，C，D，E，F(为清晰起见，假定六点中无三点共线)，相识的二者之间用实线连接，不相识的二者之间用虚线连接，于是问题便转化为，一定能连得一个实边三角形或一个虚边三角形。
我们以A为基点进行全面分析，A与其它点之间的连线共有六种情况，即五条实线；四实一虚；三实二虚；二实三虚；一实四虚；五条虚线。不难看出前三种情形的解决便导致了后三种情形的解决，B、C、D三点若全部用虚线连结则问题得证。先出现一条实线比如BD，则ABD为实边三角形，同样问题得证。
上面的问题做一个古老的数字游戏，我们是把它转化为“图论问题”来解决的，并得到了一个重要的“图论定理”：用实线或虚线连结六点中的各两点之后，则至少有一个实线作成的三角形或一个虚线作成的三角形。解决问题中所采用的形式转化和全面分析等，都是富有启发性的。
11.怎样计算222
怎样计算222呢？
是把它作为（22）2呢？还是把它作为2（22）呢？
不妨算算看。
（22）2＝42＝16，
2（22）＝24＝16。
两种计算结果是相同的。
是不是两种方法都可以呢？
且慢作结论。再换一个类似的题目试试。
计算计算233看。
如果是这样算：（23）3＝83＝512
如果是这样算：
2（33）＝227＝134217728
两种方法的答案相差很大。
哪一种对呢？是后面一种做法对。
因此，把222作为42＝16的计算方法是错误的，虽然答案16是不错的。
我们可以知道，凡是指数里面是一个又有指数的幂时，应该先进行指数里面的运算，也不必另加括号。也就是说，遇到这种情况，计算时由上而下，先算出上面的指数。
根据这一原则，算算2222看。
12.怎样巧算圆木堆垛
在货栈或仓库里，物品的码放都是很有次序的，这样不仅整齐美观，取用方便，而且也易于统计。
有一堆长短粗细相同的圆木堆放在露天仓库里，按以下规律排列：最下边一层是10根，以后每一层比下一层少一根，最上边一层是1根，这堆圆木一共有多少根？
有的同学说，圆木堆垛的横截面是一个三角形，底层是10根，高是10层，列式为：10×10÷2=50(根)，这堆圆木共50根。
也有同学说，圆木堆垛的横截面是一个梯形，下底层是10根，上底层是1根，高是10层，列式为：(10+1)×10÷2=55(根)，这堆圆木共55根。
这两个答案哪个对呢？让我们来分析一下。
假如你在这堆圆木旁边，再并排地放上同样的一堆，只是上下倒置，每一层的根数，恰好是底层与顶层根数的和，底层是10根，顶层是1根，每一层的根数是10+1=11(根)，一共是10层，11×10=110(根)，这110根是两堆圆木的总根数，原来的这堆圆木的根数就是这两堆圆木总根数的一半，110÷2=55(根)。由此说明，认为“这堆圆木共50根”的答案是错误的。错误的根本原因在于，不应该把圆木堆垛的横截面看成为三角形，虽然它的上底很短，数值很小，是“1”，但它毕竟不是“0”，只有当梯形的上底逐渐缩短，数值成为“0”时，梯形就转化成三角形了。
一般的计算公式是：
(底层根数+顶层根数)×层数2
如果有一堆钢管堆放在地上，第一层是8根，底层是20根，每层仍是依次减少一根，要求这堆钢管总数是多少根？也可以用这个公式来计算：
(底层根数+顶层根数)×层数2=总根数
=(20+8)×132=182(根)，这堆钢管总数是182根。
“巧算圆木堆垛”的方法还可以推广到其它圆柱形物体的计算上去，如铅笔厂计算铅笔的支数、水泥管厂计算水泥管数等。除此以外，你能不能用这种巧算的方法去计算：101+102+103……+198+199+200的和呢？把101看作顶层的数，200看作底层的数，100个数是层数，列式为：
(101+200)×1002=15050。其实，这道题还可以这样算：150.5×100=15050，你猜猜，这又是怎么想的呢？