126.混乱中的数学现象
一家药店收到运来的某种药品十瓶。每瓶装药丸1000粒。药剂师怀特先生刚把药瓶送上架子，一封电报接踵而来。怀特先生把电报念给药店经理布莱克小姐听。
怀特先生：“特急！所有药瓶须检查后方能出售。由于失误，其中有一瓶药丸每粒超重10毫克。请即退回分量有误的那瓶药。怀特先生很气恼。
怀特先生：“倒霉极了，我只好从每瓶中取出一粒来秤一下。真是胡闹。
怀特先生刚要动手，布莱克小姐拦住了他。布莱克小姐：“等一下，没必要秤十次，只需秤一次就够了。这怎么可能呢？
布莱克小姐的妙主意是从第一瓶中取出1粒，从第二瓶中取出2粒，第三瓶中取出3粒，以此类推，直至从第十瓶中取出10粒。把这55粒药丸放在秤上，记下总重量。如果重5510毫克，也就是超过规格10毫克，她当即明白其中只有一粒是超重的，并且是从第一瓶中取出的。
如果总重量超过规格20毫克，则其中有2粒超重，并且是从第二瓶中取出的，以此类推进行判断。所以布莱克小姐只要秤一次，不是吗？
六个月后，药店又收到此种药品十瓶。一封加急电报又接踵而至，指出发生了一个更糟糕的错误。
这一次，对超重药丸的瓶数无可奉告。怀特先生气恼极了。怀特先生：“布莱克小姐，怎么办？我们上次的方法不中用了。布莱克小姐没有立即回答，她在思索这个问题。
布莱克小姐：“不错。但如果把那个方法改变一下，我们仍然只需秤一次就能把分量有误的药品识别出来。这回布莱克小姐又有什么好主意？
在第一个秤药丸问题中，我们知道只有一瓶药丸超重。从每瓶中取出不同数目的药丸，最简单的方式就是采用计数序列，我们就可使一组数字和一组药瓶成为一一对应的关系。
为了解决第二个问题，我们必须用一个数字序列把每瓶药单独标上某个数字，且此序列中的每一个子集必须有一个单独的和。有没有这样的序列？有的，最简单的就是下列二重序列：1，2，4，8，16……这些数字是2的连续次幂，这一序列为二进制记数法奠定了基础。
在这个问题中，解法是把药瓶排成一行，从第一瓶中取出1粒，从第二瓶中取出2粒，从第三瓶中取出4粒，以此类推。取出的药丸放在秤上秤一下。假设总重量超重270毫克，由于每粒分量有误的药丸超重10毫克，所以我们把270除以10，得到27，即为超重药丸的粒数。把27化成二进制数：11011。在11011中自右至左，第一，二，四，五位上的“1”表示其权值分别为1，2，8，16。因此分量有误的药瓶是第一，二，四，五瓶。
在由2的幂组成的集合中，每个正整数是单一的不同组合中的元素之和。鉴于这一事实，二进制记数法极为有用。在计算机科学和大量应用数学领域中，二进制记数法是必不可少的。在趣味数学方面，同样也有难以计数的应用。
这里有一个简单的扑克魔术，可叫你的朋友莫名其妙。这个戏法也许看上去与药瓶问题毫无关系，但他们的依据是相同的，都是二进制原理。
请别人把一副牌洗过，然后放进你的口袋，再请人说出一个1至15以内的数字。然后你把手插进你的口袋里，一伸手就取出一组牌，其数值相加正好等于他所说的数字。
此秘密简单的很。在耍魔术之前，预先取出A，2，4，8各一张放入口袋。这副牌缺少区区四张，不大可能为人察觉。洗过的牌放入口袋后，暗中将其排置于原先已经放在口袋中的四张牌的后面。请别人说出一个数字，你用心算将此数表示成2的幂的和。如果是10，那你就应想到：8+2=10，随即伸手入袋，取出2和8的牌示众。
卜算卡片的依据也是二进制原理，准备六张卡片，分别记为A，B，C，D，E，F。然后将一些数字填写在卡片上，确定每张卡片上的数字集合的规则是这样的：在一个数的二进制表示中，若右起第一位是“1”，则此数字就在卡片A上。该卡片上的数字集合自1起始，全部数字就是1至63范围内所有的奇数；卡片B则包括1至63范围内的二进制记数法中右起第二位为“1”的全部数字；卡片C包括1至63范围内的二进制记数法中右起第三位为“1”的全部数字；卡片D，E，F以此类推。注意：63这个数字的二进制记数法是“111111”，每一位都是“1”，因此每张卡片上都有这个数字。
这六张卡片可以用来确定1至63范围内的任意一个数字。请一位观众想好此范围内的一个数字，然后请他把所有上面有此数字的卡片都交给你。你随即说出他心中所想的那个数字。秘诀就是把每张卡片上2的幂的第一个数字相加。例如，如果把卡片C和F交给你，你只要将上面第一个数字4和32相加，便知道别人心中所想的数字是36。
有时，魔术师为了使得这个戏法显得更加玄妙，故意把每张卡片涂上各种不同的颜色。他只需记住每种颜色所代表的2的幂。例如，红卡片代表1，橙卡片代表2，黄卡片代表4，绿卡片代表8，兰卡片代表16，紫卡片代表32，于是，魔术师站在大房间的一头，请人想好一个数字，并且把上面有此数字的卡片置于身旁，他即可根据那人身旁的卡片的颜色随口说出别人心中所想的数字。
127.难铺的瓷砖
布朗先生的院子里铺有40块四方瓷砖，这些瓷砖已经破损老化，他想予以更新，他为修整院子选购新的瓷砖。可惜，目前商店里只供应长方形的瓷砖，每块等于原来的两块。店主：“布朗先生，您需要几块？”布朗先生：“嗯，我要更换40块方瓷砖，所以我估计需要20块。”
布朗先生试着用刚买的新瓷砖铺院子，结果弄得烦闷不堪。不管他怎样努力，总是无法铺好。
贝特西：“出了什么问题？爸爸？”布朗先生：“这些该死的瓷砖，真叫人恼火。最后总是剩下两个方格没法铺上瓷砖。”
布朗先生的女儿画了一张院子的平面图，并且涂上了颜色，看上去好似一张棋盘。然后她沉思了几分钟。
贝特西：“啊哈！我看出症结的所在了。请设想每块长方形瓷砖必定盖住一个红色的格子和一个白色的格子，问题就清楚了。”
这里面有什么奥妙，你理解贝特西的意思吗？
共有19个白色的格子和21个红色的格子，所以铺了19块瓷砖后，总要剩下2个红格没有铺，而一块长方形瓷砖是无法盖住2个红格的。唯一的办法是把最后一块长方形瓷砖断为两块。
布朗先生的女儿利用所谓“奇偶校验”解答了铺瓷砖问题。如果两个数都是奇数或都是偶数，则称其为具有相同的奇偶性，如果一个数是奇数，另一个数是偶数，则称其具有相反的奇偶性，在组合几何中，经常会遇到类似的情况。
在这个问题中，同色的两个格子具有相同的奇偶性，异色的两个格子具有相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对格子。布朗小姐首先说明，把19块长方形瓷砖在院子内铺上后，只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时，才能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性，因此无法铺上最后一块长方形瓷砖。所以用20块长方形瓷砖来铺满院子是不可能的。
数学中许多着名的不可能性的证明都建立在奇偶校验上，也许你很熟悉欧几里德的着名证明，2的平方根不可能是一个有理数，证明是这样进行的：首先假设此平方根可以表示成一个既约的有理分数，则分子和分母不可能都是偶数，否则它就不是一个既约分数。分子，分母可能都是奇数或者一个是奇数，另一个是偶数。欧几里德证明接着论证此分数不可能属于上述两种情况，换句话说，分子和分母不可能具有相同的奇偶性或相反的奇偶性。而任何有理分数是两者必居其一，因而反证了2的平方根不可能是一个有理数。
在铺砌理论中，有许多必定要用奇偶校验才能论证其不可能性的问题。上述问题只是个极其简单的例子，因为它仅仅涉及用多米诺骨牌，即简单的，不平凡的波利米诺来铺砌。布朗小姐的不可能性证明适用于符合下列要求的单位方格矩阵：这种矩阵若按照棋盘那样涂色后，一种颜色的方格要比另一种颜色的方格至少多一个。