这个猜想最初是由哪位数学家提出来的，已经搞不清楚了，但似乎并不古老。20世纪30年代，德国汉堡大学的学生考拉兹就研究过它。1952年一位英国数学家独立发现了它。几年之后它又被一位美国数学家所发现。自20世纪50年代起，这个问题一再引起人们的广泛兴趣。
在日本，这个问题最早是由角谷静夫介绍到日本的，所以日本人称它为“角谷猜想”。1960年角谷静夫初次听到这个问题，他说：“有一个月，耶鲁大学每一个人都在研究这个问题，但没有任何结果。我到芝加哥大学提出这个问题之后，也出现了同样现象。有人开玩笑说，这个问题是企图减缓美国数学进展的一个阴谋。”足见这个问题的吸引力之大。
人们争先恐后去研究这个猜想，一遍遍地进行运算，在运算过程中发现，算出来的数字忽大忽小，有的计算过程很长。比如从27算到1，需要112步。有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷结冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉了下来，变成了1。因此人们又给这个猜想起了个形象的名字——冰雹猜想。
巧称苹果
秋天到了，苹果园里，树上硕果累累，一派丰收景象。
小明的叔叔是林场的工程师，星期天加班。小明要叔叔带他到果园去玩。
小明和叔叔来到苹果质量检验处。叔叔仔细察看了职工们的工作：把摘下的苹果分类，检验，装箱。
“叔叔，一箱苹果有多重？”小朋问。
“四五十公斤吧，重量不一定相同。”叔叔说。
“咱们称一称吧！”小明要求道。
“好。”叔叔把小明领到一架磅秤旁边。不巧，管计量的职工有事离开了，把磅秤的小秤砣收了起来，只留下了100公斤的大秤砣。
小明不高兴了：“那怎么称一箱苹果的重量？”
叔叔想了想，说：“咱们把这5箱苹果两两合称吧！”
小明说：“两两合称就是每两箱一起称，一共要称10次。”
叔叔说：“对。不过，需要说明一下：咱们称的是苹果连同纸箱的重量，叫做毛重；箱子里面苹果的重量叫做净重。咱们以下说的每箱苹果的重量，都是毛重。”
小明和叔叔抬起苹果箱过称，记录如下：
5箱苹果，两两合称，重量（单位：公斤）为：
111，112，113，114，115，
116，117，118，119，121。
叔叔知道小明是数学课外小组成员，便想考考他：“你算算每箱苹果的重量，”叔叔又补充，“假定每箱苹果重量的公斤数都是整数。”
小明说：“我把这10个数加起来，除以20，不就算出来了！”
叔叔笑了：“那是平均数。你从这10个数中，能看出这5箱苹果的重量有两箱相同吗？”
小明说：“因为这10个数两两不相同，而且前面9个是连续自然数，所以，我推测这5箱苹果的重量两两不相同。”
“对。还有呢？”
“还有……没有了！”
叔叔启发说：“你从最简单的数，比如1，2，3下手，找找规律。”
小明说：“我试试看。1，2，3两两相加，得到3，4，5。这是什么规律呢？”
叔叔说：“思考要来一个飞跃，由简单到复杂，由具体到抽象，才能发现规律。你刚才说的，抽象到一般情况就是，3个连续自然数n，n+1，n+2，两两之和为2n+1，2n+2，2n+3，还有3个连续自然数。”
小明恍然大悟：“哎呀，我的脑子到这会儿才有点儿开窍。111，112，113应该是3个连续自然数两两相加而得到的，这3个数是……”
小明在草稿纸上做了一些计算之后，把草稿纸递给叔叔，说：“我已经算出来了，这5箱苹果的重量是……”
小明观察出这10个数，它们两两不同，而且前9个是连续的自然数，在叔叔的启发下推出，这5箱苹果的重量两两不相同，而且最小的3个重量数可能是连续的自然数。因为3个连续自然数两两之和仍为3个连续自然数，所以首先推出最小的3个重量的公斤数为55，56，57，它们两两之和为111，112，113。其次，第四个公斤数不可能是58，因为不然的话，便有58+55=56+57=113，得出了两个113，这与已知条件“两两合称，结果两两不同”相矛盾。取第四个公斤数为59，经过试验：
55+59=114，56+59=115，
57+59=116，
符合已知条件。类似地，可以求得第五个公斤数为62。
因此，这5箱苹果重量的公斤数分别是
55，56，57，59，62。
纸的高度
数学小组活动的时候，同学们都向小伶表示祝贺：“小伶成了电视明星了！”“小伶回答问题‘完全正确’（一个同学模仿电视台著名的节目主持人的口气），给咱们数学小组争了光！”
“哦，原来是那天看烹饪大师大奖赛时回答了一个问题，这没有什么！”小伶谦虚地说。
李老师及时引导同学们找“数学感觉”。“数学感觉”这个词是李老师自编的，其来源是体育界和音乐界：踢足球的常说“球感”，游泳的常说“水感”，搞音乐的常说“乐感”……李老师说：“小伶回答的问题不是没有什么，而是大有文章可做，是数学里非常有趣而且有用的一个内容。”
同学们催李老师快讲。
李老师说：“抻面条是把大面条抻长，绕，扣，再抻，每一扣都比上一次的面条根数增加一倍，而面条一次比一次抻得细。现在我们看一个相反的问题。”
“请同学们拿出刚发的《少年科学报》，打开，把这张报纸对折一次，一张变成了两层；好，再对折一次，两层变成了4层；再对折一次，4层变成了（小聪答话：8层），对。你们看看手边的一叠纸，变厚了吧！
“假定你的这张纸很大很大，要多大就有多大。你把这张纸像刚才这样对折30次后，再估计一下，这叠纸放在地面上应该有多高？”
小明举手问：“李老师，一张报纸的厚度是多少？”
李老师反问：“能量出一张纸有多厚吗？”
小聪拿起一本书和一块三角板，一边演示一边说：“我手中这本书的每一页的厚度，与这张报纸的厚度差不多。我用三角板量一量书的厚度，再看看这本书有多少页，就可以算出一张纸的厚度了。”停顿了一会儿，小聪接着说：“这本书的厚度约是12毫米，有150页，我算出一张纸的厚度约是0.08毫米。”
李老师说：“我们假设所用的那张很大很大的纸很薄很薄，比如说厚度只有0.01毫米。现在开始估计吧！谁先说？”
小明说：“大概有1米高吧！”
小俐说：“大概有10米高吧！”
小聪说：“大概有3层楼房高吧！”
小伶注意到李老师露出神秘的笑容，便大着胆子说：“大概有中央广播电视塔那么高吧！”
小明摇摇头，说：“哪能呢！要知道，中央广播电视塔是北京最高的建筑物，塔高405米呢！”
李老师也摇摇头，笑着说：“你们估计得太保守了！你们能想像得出，这个高度比世界第一高峰珠穆朗玛峰的海拔高度（小聪插话：8848米）还要高吗？这个高度比2000层的摩天大楼（每层高度以5米计算）还要高吗？不过这座摩天大楼，地球上还没有出现，是我想像中的。”
同学们都惊奇得瞪大着眼睛，异口同声地说：“哎呀！这么高呀！可能吗？”
这张纸对折30次，叠成了230张，而每张纸的厚度是0.01毫米，所以这叠纸的高度是230×0.01=10737418.24（毫米）≈10737（米），超过了世界第一高峰珠穆朗玛峰的高度，也超过了想像中的两千层高（以每层高5米计算）的摩天大楼的高度。
还有使你更为惊奇的呢！如果你把这张纸对折50次，那么这叠纸的高度是250×0.01=11258999068426.24（毫米）≈11258999（公里），大约是地球到月球的距离的30倍！
几只黑兔
小聪暑假期间到乡下外祖母家住了一个星期，他跟着大舅的儿子牛牛上河边钓鱼，去村后逮鸟，可有意思呢！
有一天，牛牛拿着两把镰刀，带小聪去河边割草。牛牛告诉小聪，他家和小聪的二舅家都养了百十来只兔子，原来是分开养的，因为现在农忙，便把两群兔子放在一起饲养。一会儿，小哥儿俩便割了一大筐草。牛牛背着草，小聪拿着镰刀，来到小聪的二舅家。
嗬，二舅家的后院成了养兔场，兔笼一个挨一个，笼里养着白兔和黑兔。牛牛告诉小聪，他们两家一共养了260只兔子，大舅家的兔群里有13%的黑兔，二舅家的兔群里有12.5%的黑兔。这时，牛牛眼珠一转，对小聪说：“你算算看，你大舅家和二舅家各养了多少只黑兔？”
小聪说：“我是数学小组的组员，正想显显身手呢！”他跑进屋里，拿起纸笔便写：
260×13%=33.8，
260×12.5%=32.5。
咦，奇怪了！
“牛牛哥，怎么算出来的黑兔数都是小数呀！”
“不会吧！黑兔数应该是整数。”
牛牛走过去一看小聪的算式，说：“唉，你把已知条件搞错了。我是说，大舅家的兔群里有13%的黑兔，二舅家的兔群里有12.5%的黑兔，不是说260只兔子的13%和12.5%。”
小聪挠挠头，问：“牛牛哥，你家有多少只兔子？”
牛牛笑着说：“这可是个关键数，我不能告诉你！你好好开动脑筋，一定能求出来的。”
小聪抓住关键，深入思考，终于算出了大舅家和二舅家的黑兔数。小哥儿俩到养兔场，一边给兔子添草，一边数数黑兔有几只，小聪还想验证自己的计算结果呢！
小聪后来是这样算的：
因为大舅的兔群里有13%的黑兔，所以，100只兔子里，就有13只黑兔；200只兔子里，就有26只黑兔。因为活兔子的数目是整数，所以，大舅家的兔群里只能有100只兔子或200只兔子。这样，二舅家的兔群里就有160只兔子或60只兔子。
因为160×12.5%=20，
60×12.5%=7.5，
而活兔子数不可能是小数，所以，二舅家的兔群里不可能有60只兔子，只能有160只兔子。于是，大舅家的兔群里有100只兔子。
因此，大舅家有13只黑兔，二舅家有20只黑兔。