波利亚惨遭扼杀
在欧几里得的《几何原本》中，有一条“第五公设”：平面上一直线和两直线相交，当同旁内角之和小于二直角时，则两直线在这一侧充分延长后一定相交。
第五公设有两大特点引起了人们的注意。首先，《几何原本》中前四个公设语句简短、含义简单，而第五公设则显得语句冗长、内容繁琐，影响了公理的显而易见性。其次，这一公设在欧几里得的几何体系里用得比较迟，直到证明第29个定理时才应用；而且仅用过一次。可见欧几里得对这一公设也多少持怀疑和不满的态度。于是自然引起一种想法：这一公设或许是多余的，或者是可以证明的定理。如果是能够证明的定理，又怎样证明？于是研究第五公设的漫漫长征路就此开始了。
从事这个工作的学者有“一个军团之多”。到了18世纪，已经有一些数学家从否定第五公设出发，颇为深入地展开了讨论。当然，这也是人们“眼前无路想回头”之举——既然不能证明第五公设，不妨尝试否定它。其中以意大利萨开里（1667~1733）和生于瑞士后来移居德国的兰伯特（1728~1777）最为著名。
萨开里于1733年发表的《欧几里得无懈可击》、兰伯特1766年发表的《平行线论》都别出心裁地提出了一系列的新命题，在逻辑上、系统上、理论上完全可以自成一体。循此可以形成一种独立于欧几里得几何的非欧几何体系。然而，这两位谨小慎微、囿于传统的数学家都“近在眼前不识君”，不敢越雷池一步，因而错过了创立非欧几何的大好机会，致使非欧几何的诞生被推迟了几十年。
非欧几何的创立归功于19世纪的数学家们。高斯在1816年发现平行公设根本不能证明后，已基本上确立了这种几何。但遗憾的是，他至死不敢公开他的发现。
高斯在哥廷根大学学习时有一个名叫伏尔冈·波利亚（Wolfgang Bolyai）的同学，后来成了他的好朋友。这位同学也对平行公设有浓厚的兴趣，然而在花费了不少时间仅仅找到几个相似的命题之后，毫无收获，于是这位思想保守的数学家便放弃了这类研究。然而，老波利亚却有一位“不怕虎”的、继承他数学事业的“初生牛犊”——他的儿子约翰·波利亚。
小波利亚1802年12月15日出生在克劳森堡——1918年前属奥匈帝国，即今罗马尼亚布鲁日。在父亲的熏陶和指点下，酷爱数学的小波利亚13岁就掌握了微积分，中学毕业后于1817年考入维也纳皇家工程学院。1822年毕业后被分配到特梅斯瓦尔要塞任军职，成为奥地利军队中的一名匈牙利军官。奔波、紧张的军旅生活没能泯灭他对数学的酷爱，曾上书要求专门从事数学研究，但未能如愿以偿。1833年，才因工伤退伍。
早在大学期间，小波利亚就继承了父亲对欧氏平行公设研究的热情，醉心于平行公设的证明。有材料表明，那时他就发现证明是不可能的，并找到了通往非欧几何的道路。然而，老波利亚鉴于自己失败的教训，曾多次写信给儿子说：“希望你再不要做克服平行公理的尝试了……”但是，素有“勇敢军官”之称的小波利亚却坚持进行新几何学的研究。在1823年11月3日，他写信给父亲说：“我已经白手起家创造了另一个新奇的世界。”这时他年仅21岁。1825年，他的非欧几何已基本完成，于是请求父亲帮助发表。但父亲并不相信儿子的那套理论，拒绝了儿子的请求。4年过去了，父亲的拒绝态度依然如故，于是他在1829年把自己所创立的理论用德文写成论文《绝对空间的几何》，寄给维也纳工学院的数学教授、他的老师艾克维尔，可惜抄本被遗失了。后来，经过再三请求，在1831年，他的论文才作为附录发表在他父亲的《对青年学生进行初等数学和高等数学入门教育的试验》这一著作的第一卷中，题名为《绝对空间的科学》。
这篇附录的打样及一封信曾于1831年6月寄给高斯，以征求高斯的意见，但不幸又在途中遗失。1832年1月再寄去一份，高斯收到信和附录后非常吃惊。同年2月14日，高斯给老波利亚回信说，小波利亚具有“极高的天才”。但却又说他不能称赞这篇论文，因为“称赞他等于称赞我自己，因为这一研究的所有内容，你的儿子所采用的方法和所达到的一些结果几乎全部和我的在30年～35年前已开始的个人沉思相符合”，并表示“关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是终生不想发表的”，因为“大多数人对那里所讨论的问题抱着不正确的态度”，因而“怕引起某些人的喊声”，“现在，有了老朋友的儿子能把它发表出来，免得它同我一起被湮没，那是使我非常高兴的”。
然而，这位“数学王子”很可能做梦也没料到，他的这封推心置腹的信竟一举扼杀了一颗初露光芒的数坛新星！
原来，高斯虽然对小波利亚予以高度赞赏，但实际上并没有任何支持的实际行动，这已经使小波利亚感到十分失望了。更为悲惨的是，不知情的小波利亚还误以为高斯这位“贪心的巨人”企图剽窃他的成果，或者有意抢夺他创立非欧几何的优先权。为此，他悲愤交加、痛心疾首、郁郁寡欢，严重地阻碍了进一步研究，身体也受到损害。当1848年他看到俄国数学家罗巴切夫斯基（1792~1856）于1840年用德文写的、载有非欧几何成果的小册子《关于平行线理论的几何研究》之后，他更加恼怒，怀疑人人都与他作对，决定抛弃一切数学研究，发誓不再发表任何数学论文。事实上，他于1848年参加了反对哈布斯王朝的斗争后，就主要从事写作，呼吁社会改革，在数学上没有任何新的研究了。
一颗新星就这样过早地被遮蔽了光芒！
小波利亚的不幸和悲剧远远不止这些。就在1837年，有人在莱比锡专门为虚量学说的研究设置了奖金。他也寄送了自己的作品，基本思想与后来英国数学家哈密顿（1805~1865）的虚数表示法即四元数理论一致，然而得到的却是评定委员会否定的答复。他这一工作受到冷遇，和其后哈密顿工作引起的轰动形成了鲜明的对照。
在挫折、悲愤、贫困之中，小波利亚于1860年1月27日因肺炎在马洛斯发沙黑利悄然辞世。
小波利亚的不幸和悲剧给我们许多教训和启示。
小波利亚的悲剧之所以发生，很可能有一些偶然因素，例如，他写给老师艾克维尔的论文抄本被丢失，这无疑少了一次“千里马”被“伯乐”相中的机会；但是，这实际上仅仅是一次“可能”，因为正如我们下面要说的，传统观念太顽固了，即使艾克维尔看到了抄本并能看懂，他也未必予以支持。
必须从必然规律方面去寻找酿成悲剧的原因，并从中吸取教训和得到启示。
酿成悲剧最主要的原因是传统观念太顽固，它严重地束缚着常人的思想，毫不给任何异于欧几里得几何的学说以立锥之地。这不只是对小波利亚如此，对任何人也别无二致。举例来说，1826年罗巴切夫斯基创立非欧几何后，得到的要么是淡漠，要么是攻击嘲笑。说新几何是“笑话”，是“荒唐的”，是“对有数问的数学家的讽刺”，是“伪科学”。连德国著名诗人歌德（1749~1832）在《浮士德》中，也曾对罗氏几何予以嘲讽。而另一种非欧几何——黎曼几何，在1854年由德国数学家黎曼（1826~1866）创立后，也依然遭到被埋没、冷落的厄运。直到他死后50年，爱因斯坦在广义相对论中用到它时，才得到人们的承认。由此可见，要“毁掉传统的信念，破除千百年来的思想习惯”是多么的困难。因此，要能迎着困难上，才能取得科学上的发展和进步，像罗巴切夫斯基和黎曼那样。相反，如果像高斯那样因循保守，其成果只能成为死后的遗物，而科学会因此被推迟多年。此外，除了通常意义下的传统势力以外，宗教、哲学这些传统势力也不可忽视。凶残的教廷势力容不得半点异于欧氏几何的“离经叛道”之说。当时欧洲流行的、在科学界影响很深的康德哲学和黑格尔哲学，都把欧氏几何说成是惟一可能的几何。
酿成小波利亚悲剧的重要原因是“大人物”高斯对待“小人物”的错误态度。高斯的第一个错误态度是忘记了提携“小人物”的任务，是他对小波利亚的不支持态度扼杀了这颗新星。要知道此时小波利亚是多么渴望高斯的支持啊！高斯的第二个错误态度也是囿于传统观点，没有勇气去冲破束缚，缺乏一种伟人的魄力，不敢支持小波利亚，也不敢发表自己类似的学说。高斯的第三个错误在于他成为大数学家后背上了“名人”的包袱，不但不敢公开自己的新说，怕的是受到嘲笑；而不敢公开支持小波利亚的新说，怕的也是受到嘲笑。这些“名人”为私欲背上的包袱，不但会损害个人形象，而且会压制新人的崛起，推迟科学的进程。高斯的第四个错误是缺乏一种“让贤”的气度。瑞士数学家欧拉为了使年轻的法国数学家拉格朗日有机会发表自己的成果，特意把自己有关的成果压下暂不发表，而他们二人一生从未谋面。比起欧拉这一非凡的气度来，高斯应该汗颜：要是他在给老波利亚的回信中不提自己类似于小波利亚的非欧几何成果，而像欧拉那样，去提携年轻的小波利亚，那小波利亚既不会怀疑高斯“剽窃”，也不会丧失信心，那历史就将重写。
然而，光从上面的“外因”角度来剖析波利亚悲剧的原因，和总结教训是远远不够的。缺乏坚定的科学信念、坚持到底的科学精神、横绝一世的魄力，是小波利亚不幸和悲剧的根本原因。同样未被当时承认的罗巴切夫斯基坚信：“新几何学总有一天可以像别的物理规律一样用实验来检验！”黎曼的学说也没有得到立即承认，但他也笃信“用某种不同于欧氏几何的研究物理定律的日子必将来到”！而小波利亚却缺乏这种坚定的科学信念。真理从来都不是靠少数服从多数才存在、才诞生的，只有那些百折不挠的攀登者，才有可能达到光辉的顶点！怯懦者只会铩羽而归！
不过，非欧几何最终还是得到了公认，波利亚仍被人们誉为非欧几何的创始人之一。匈牙利人此时也开始认识到她这位天才而怯懦的儿子的价值：1894年，匈牙利数学物理学会在马洛斯发沙黑利那座久久被遗忘的墓地上，竖起了一座小波利亚的石像。1960年，世界和平理事会举行了小波亚逝世100周年的纪念仪式，并以他的名字设立一种数学奖。他的《附录》被列入世界第一流的科学经典而与世长存。
伽罗华决斗惨死
1832年5月30日早晨，巴黎郊外冈提勒的葛拉塞尔湖畔，一个农民突然看到一个昏迷不醒的陌生青年躺在绿草丛中。后来才知道他是被别人用短枪打穿肚子后遗弃在那里的。人们把这不知名的伤者抬进了医院，后经查找，伤者的弟弟来到他的病床前。第二天早上10点临死前，伤者拒绝神文祈祷，对他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在普通公墓的壕沟内，所以他的坟墓今人已无处可寻。
这位不幸的死者是谁？为何被人打伤致死？
他就是有史以来25位大数学家之一的法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华。他是在与他人进行“爱情决斗”时被对手打中的。
1811年10月25日，伽罗华生于巴黎郊区的布拉伦镇。他的父亲是拿破仑（1769~1821）的支持者，是一位热衷民主共和、参与政界活动的政治家，曾在“百日复辟”期间当选为该镇镇长。母亲是一位当地法官之女，聪明而有教养，当过教师。母亲对他严格要求，亲自为他上课和批改作业，如作业有错，必须重做到正确为止；她还给儿子讲古希腊文学中的英雄故事。1789年起法国爆发轰轰烈烈的资产阶级大革命，后来转入波旁王朝复辟时期，所以耳濡目染的伽罗华对科学和政治有双重兴趣。
1823年，伽罗华考入路易－勒－格兰皇家中学，它是巴黎著名的学校，法国资产阶级革命家罗伯斯庇尔（1758~1794）和作家雨果（1802~1885）都曾在此就读。入学的头几年，伽罗华曾几次获得希腊语和拉丁语奖金，但三年级时因修辞学成绩差而留级一年。受挫后他选学了数学课，这时他遇到了一位好数学老师里查。在里查的指导下，他顺利地学习了更高年级的数学课程，唤起了他的数学天才。他的才华得到里查等数学教师的好评，受到诸如“学习努力，成绩优良”之类的评语。但他“被数学的鬼迷了心窍”后，忽略了其他课程，修辞学老师在成绩单的评语中说他“胡闹”、“孤僻”、“脾气古怪”。
但伽罗华没有听从这些老师的劝告。在尚未学完通常的数学预备课程的情况下，贸然提前一年，即在1828年投考著名的多科工艺学校——巴黎理工大学。结果可想而知——因明显缺乏一些基本训练而落选。
然而，伽罗华认为他的落选并不公正，这进一步加深了他对权威的敌视态度，也进一步坚定了勇攀数学高峰的决心，于是在里查的指导下，他开始研究当时的一个世界著名难题——高次方程的求根公式问题。