数的善与恶
一提起毕达哥拉斯的名字，人们首先想到的是他那著名的定理，按照这个定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。除了这个定理以外，毕达哥拉斯是否还有什么别的发现，就很少有人知道了，可是，大家却都知道这个定理正是属于毕达哥拉斯的。
但是最令人诧异的是，我们甚至没有充分的把握说世界上是否曾经确实有过毕达哥拉斯这样一个人。关于他，人们编造了那么多荒唐的故事，只有幼稚无知的人才会对此信以为真。其中有这样一个情节：有一天，毕达哥拉斯散步来到河边。河流赶紧从河槽里出来，并且高呼：“你好哇！毕达哥拉斯！”这类传说的真伪，不言自明。
我们现在仅仅知道，在公元前6世纪这段和毕达哥拉斯的生活有关的时间里，古希腊有一所大型的哲学数学学校，人们把这所学校的学生称为毕达哥拉斯的信徒。这所学校所发生的一切事情都隐藏在秘幕之后。毕达哥拉斯学派的信徒们遵循所承担的某种义务，把他们取得的所有成果都妄加在他们超人的老师毕达哥拉斯一个人的头上。可是，很可能实际上根本不存在这个什么“超人”的老师。
在人类社会的历史中，不止一次地遇到过类似的现象。例如，就在今天，有一个法国数学家小组把自己所有的著作都用尼古拉·苯了巴吉这同一个名字出版。大家知道，没有一位数学家叫这个名字，可是，这个小组的成员都情愿做这样的游戏，他们发表意见时，从来不提整个的小组，而只用苯了巴吉一个人的名义。
另一个是尽人皆知的科济马·普鲁特科夫。在上一个世纪，三位俄罗斯作家——热姆楚日尼科夫兄弟和阿·卡·托尔斯泰，就用这个笔名发表作品，他们塑造了这么一个不可救药的好发表长篇议论的人物形象，他善于以惊人的庄重煞有介事地说出一些老生常谈。他们甚至还虚构了一份普鲁特科夫的履历。
可是，如果说人们现在知道实际上并不存在苯了巴吉和科济马·普鲁特科夫这样的人，那么，在毕达哥拉斯这个问题上，我们就没有这种把握，因为我们和所研究的那个时代相隔2500年之久。我们只能说：不能排除这种情况，即作为一个人，毕达哥拉斯并不存在。但我们确信：冠以毕达哥拉斯名字的定理是巴比伦人在他一千多年以前发现的。很可能像已经指出过的那样，埃及人也熟悉这个定理。当然，不能排除毕达哥拉斯学派的门徒们独立于巴比伦人或埃及人单独地发现了这个定理的情况，但无可争议的是，这一发现的优先权不属于毕达哥拉斯学派。
有趣的是，尽管我们连实际上是否有过毕达哥拉斯这个人都没有把握断定，我们却拥有他相当详细而又引人注目的传记。据说，在公元前580年，毕达哥拉斯出生于萨莫斯岛，人们因此称他为毕达哥拉斯·萨摩斯基，以免和另一个叫毕达哥拉斯·列基斯基的雕刻家相混淆（后者也出生于萨莫斯，但是在列基亚城生活和工作）。按照当时许多富有的年轻人的惯例，毕达哥拉斯年轻时曾经多次进行对他颇为有益的旅行。他游历过巴比伦、地中海东岸各国和埃及。他在埃及时，正值波斯国王冈比希侵略这个国家。在一座高大的金字塔的石墙附近，毕达哥拉斯和其他人一起被俘。可能和别人一样，有一段时间他变成了奴隶。可是，他作为一位圣贤和术士的声望在当时已经如此之高，以至于当冈比希国王得知是谁成为他的俘虏时，当即就命令马上释放毕达哥拉斯，而且可以断定，还极为诚挚地向他道了歉。
当毕达哥拉斯返回故乡萨莫斯时，人们把他当作一位伟大的学者和术士来欢迎。据说，他从到东方游历那时起，就接受了穿当时迦勒底术士所穿的豪华的衣服的习惯。这种衣服其中一个主要部分就是有一条华美的头饰。有一幅毕达哥拉斯的画像，画的就是戴着外国式样的华丽的赫拉克勒斯（希腊神话中最伟大的英雄）式的威武的形象。可是，即使我们假定有毕达哥拉斯这个人，他是否是画像中的那样，是谁也没有把握断定的。
萨莫斯岛上的青年开始聚集在这位圣贤的周围。这些青年大都出身于贵族家庭。这样，就成立了学校。这所学校的一切都仿照东方的习俗，笼罩着不可思议的神秘气氛。例如，据说不是所有的毕达哥拉斯门生都有资格见到自己的老师。那些既有资格见到老师，又有资格听他教诲的，才是名副其实的学生。而那些只有资格听课，却见不到老师的，被称为旁听生。有些杜撰毕达哥拉斯传记细节的无聊作者由此推断说，毕达哥拉斯教书的房间是用麻布一隔两半的，老师本人所在的那半间坐着学生，另半间留给旁听生用。
在学校学一些什么呢？主要是哲学和数学。古希腊时代，这两个学科不像我们今天所看到的这样彼此分开。当时，每一位哲学家通常也是数学家，反之亦然。然而，对于毕达哥拉斯学派的门徒们来说，这种哲学—数学具有这样一种先验的、神秘的性质，其中有许多东西既来自于轮回（关于灵魂转世的神秘学说），又来自于迦勒底人的神秘（关于数的神秘性质的学说），等等。
可是，聚集在毕达哥拉斯周围的年轻人很少只是学习科学。他们很快就介入岛上的政治生活，而置萨莫斯岛的独裁者波利克拉特的态度于不顾。“独裁者”这个词，在当时还没有它后来所获得的基本意义。当时的独裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反对贵族的。毕达哥拉斯的门徒们的贵族倾向不合波利克拉特的意，他们的学校很快就被捣毁了。神秘数学的信徒们连同他们超人的老师一起，被迫从岛上逃跑了。他们很可能是沿着整个地中海迁移。他们大部分定居在被称为伟大国家的希腊。亚平宁半岛的南部和西西里岛也因此而获得了伟大的称号。毕达哥拉斯本人定居在塔连特，他在那里又当上了校长。年轻人又像在萨莫斯那样聚集在他的周围，可是，这所学校遭到了和萨莫斯岛上的那所学校同样的命运。毕达哥拉斯迁移到科罗多尼，又从那里跑到米太旁登，他80岁或者90岁时，死于米太旁登街道上的一次夜间搏斗之中。
毕达哥拉斯学派特别喜爱的数学领域之一是数论。当时，吸引他们的乃是数的某些符合他们带有东方神秘色彩的神秘哲学的性质。
毕达哥拉斯学派认为，世界上的一切都服从于整数的比数所服从的那样的规律。他们发现，在用力相等的情况下，弦长的比数等于像2∶3、3∶4等等自然数的比数时，各弦就同时发出谐音。他们把这种局部的现象推及到整个宇宙。这样，按照他们的学说，地球、月亮、当时已知的所有的行星以及太阳都围绕着某个中心火球的球面旋转。这些球面的半径同样也有和发出谐音的弦长那样的比数。任何可以列举出来的宇宙中的物体，在其运动时似乎也都发出这样的谐音。
尽管毕达哥拉斯学派的宇宙构造论带有神秘的性质，尽管毕达哥拉斯学派所指的这个中心不是太阳，而是某个不存在的中心火球，但地球围绕着某个中心旋转的思想却是正确的。
毕达哥拉斯学派把所有的整数分为善的和恶的两种。奇数为善的，偶数为恶的。单位数1被认为既是善的又是恶的开始，因为善的奇数加上它就变成为恶的数，而恶的偶数加上它就变成为善的奇数。
毕达哥拉斯学派思想中的许多东西在数学中得到了进一步的发展。从毕达哥拉斯学派所研究的数论中自然提出了许多问题，由此导出了非常重要而又难以得到的结果。
也就是在毕达哥拉斯学派正陶醉于这种宇宙的整数谐音的时候，他们发现，原来还有一些不能写成整数的比数的数。例如，2就是这样一个数。这使他们如闻霹雳，大为震惊。
为了回答这个问题，我们还是回到毕达哥拉斯定理上来。我们不禁想到，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里，我们会取一个每条直角边都等于1的等腰直角三角形。那么，根据上述定理，斜边的平方等于2，因此斜边本身等于2。但是，2不可能写成两个整数的比数。今天，都知道这个数是无理数。毕达哥拉斯学派自己显然没有明确的无理数的概念，但是他们发现了这样一个事实，就是有些线段的长度无法使它们和整数的比数相等。这一发现从根本上和他们的“整数”哲学相抵触。他们怎么办呢？除了他们心里想到的以外，什么也没有做。他们设法隐瞒了自己的发现，不让未得真传的人们知道。没有无理数！什么也没有！有的只是整数和它们的比数！
然而，想瞒也瞒不住，谁也无法长期隐瞒这一发现，过了一段时间，无理数的秘密就开始被不是毕达哥拉斯学生的那些人知道了。据说，这个秘密是被毕达哥拉斯的一个名叫基普帕斯的学生泄露出去的。从毕达哥拉斯学派的观点来看，这是骇人听闻的罪行！要知道，他们每个人入学时，都庄严地宣誓要始终严守秘密，然后才能允许入学。现在却出现了违背这一誓言的罪人。怎样处置他呢？毕达哥拉斯的门徒们祈求神灵的帮助。当基普帕斯的船队载着大量的货物返回故乡的港湾时，海神普赛登使他遭受到了可怕的暴风雨。暴风雨开始冲散了船队，然后使船连同船主一起沉没。这个传说当然是毕达哥拉斯的门徒们自己编造出来的。
显然，很难想象一个埃及人如果知道了有什么长度不能用整数的比数来表示，他们会多么忧愁。埃及人还根本不能把类似的事实当作具有原则意义的事实，他们没有达到这样的数学程度。到了毕达哥拉斯时，这些事实的原则上的重要性已经充分地认识到了。这时，对于我们下面要研究的那些问题已经产生了兴趣。从它的实用价值来看，这些问题可能被认为是不重要的，但在作为一种科学理论的数学中，却是非常重要和必要的。
不应当这样认为：不能直接从某一个科学的事实中得到利益，就只能使这个事实成为理论的财富。理论本身是人类实践活动的产物，对于理论具有价值的东西，从实践这个词最直接的意义上来说，归根到底，对于实践也是重要的。
圆面积之谜
怎样求圆面积？我们现在有公式可用，很快就算出来了。但是在漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少艰难和困苦，花费了多少精力和时间。
割补求面积
在平面图形中，以长方形的面积最容易求了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。
求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。所以求三角形面积的公式是：12×底×高。
任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。
四千多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地五万二千九百平方米。它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平很高。
古老的难题
圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。你的想法很好，可是要做出这样的正方形很难啊。
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是你刚才想到的化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在两千多年间，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用圆规和无刻度的直尺作出来的。
化圆为方这条路走不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。
我国古代的数学家，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。
古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。
古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。
他们煞费苦心，巧妙构思，不怕困难，为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。
酒桶的学问
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个重视观察、肯动脑筋的人。他曾把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
开普勒当过数学教师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似的程度，他们不断增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也模仿切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一上来就把圆分成无穷多个小扇形。
因为这些小扇形太小了，小弧AB也太短了，所以开普勒就把小弧AB和小弦AB看成是相等的，即AB=AB。