流木测速法
公元3世纪，我国三国时期的吴国，经常派船到东海和南海一带去。船只在茫茫的大海中航行，怎样知道航行的速度呢？他们的办法是：在船头把一块木板投入海中，然后从船头快速跑到船尾，记录下木板从船头到船尾的时间。船身的长度是知道的，比如船身长40米，除以木板从船头到达船尾的时间，比如10秒，就可以知道船速是4米／秒。
这样测量出来的速度对不对呢？如果海面风平浪静，船只又保持方向不变，速度不变，测量出来的速度是正确的。这样的运动叫做“匀速直线运动”。匀速直线运动的速度很好求，只要用距离s除以时间t，就得到物体在任一时刻的瞬时速度v，即v＝st。
可是，风儿哪能不吹，海水哪能不动，船只在大海中航行，速度不可能是一成不变的，这时船的瞬时速度又怎样求呢？前面求得的4米／秒又算什么速度？为了解决这个问题，我们不妨先假定船是沿直线前进，是变速直线运动。在这种情况下，4米／秒虽然不是瞬时速度，可是还很有用，它代表船在十秒内的“平均速度”。
平均速度是什么意思呢？
比如说这学期，你们班的数学考过三次，你的成绩分别是84，85，92。为了对你这学期数学学习成绩有个总的了解，需要求出平均成绩：
（84＋85＋92）／3＝87（分）。
尽管你在这三次考试中，没有一次得87分，但是，87分却表示了你这学期数学学习总的情况。平均速度的意思也是这样。
变速直线运动的平均速度也好求，我们可以先求出船在一段时间内的平均速度，然后再来想办法求瞬时速度。
瞬时速度
假设船由A出发，沿直线航行到了C，我们可以用靠拢的方法，来求船在B点的瞬时速度。
第一步，以B为起点，量出BD1（s1）＝90米，记录船从B到D1所用时间t1＝4秒。这样，我们可以求出船在BD1一段的平均速度v1：
v1＝s1t1＝904＝22.5（米／秒）
第二步，缩短BD1的距离，取BD2（s2）＝43米，记录船由B到D2的时间t2＝2秒。这样，船在BD2一段的平均速度是v2：
v2＝s2t2＝433＝21.5（米／秒）
BD2的距离比BD1小，平均速度v2，应该比平均速度v1更接近船在B点的瞬时速度。可以想像，随着距离s的不断缩短，求出来的平均速度v，应该越来越接近B点的瞬时速度。我们把距离缩短的过程和计算结果列成一个表：
距离（米）时间（秒）平均速度v（米／秒）90422.543221.5331.5721200.9620.8120.5820.67.840.3920.1从表中可以看出，随着距离的不断缩短，船的平均速度越来越接近20米／秒。这样，我们自然会推想20米／秒，就应该是船过B点的瞬时速度。
你看，用平均速度去逼近瞬时速度，多么像用圆内接正多边形面积去逼近圆面积啊！
我国古代数学家用割圆的方法，只能求出圆面积的近似值。上面，我们用缩短距离的方法，也只能求出瞬时速度的近似值。可是我们要求的并不是近似值，而是瞬时速度本身。
当然，我们可以想方设法，尽量缩短测量距离，使求出来的平均速度，尽量接近瞬时速度。但是，我们也必须清楚地看到，只要距离s不等于零，用st算出来的平均速度，总要和瞬时速度相差那么一点。干脆让s＝0吧，s＝0了，t也必然等于零，这时st就变成为00了。这可不成啊，老师再三强调零不能作分母。
你看，瞬时速度就在眼前，离我们越来越近了，可就是眼巴巴地摸不着它。
世上无难事，只怕有心人。开普勒和卡瓦利里勇于革新，创造出了求面积的新方法；牛顿在求瞬时速度上，也作了大胆的尝试。
牛顿割尾巴
牛顿认真分析了平均速度和瞬时速度的关系，提出了计算瞬时速度的新方法。下面，我们来介绍一下牛顿的新方法：
假设有一只船从0点出发，作变速直线运动，一秒钟走了一米，二秒钟走了四米，三秒钟走了九米，分析一下上面几个数，船走过的距离，正好等于时间的平方。就是1秒钟走了12米，2秒钟走了22米，3秒钟走了32米，t秒钟走了t2米。s＝t2，反映了这只船的运动规律。
现在，假设我们要求第二秒末的瞬时速度。
船在第二秒末走到了B点，B点距离O点4米。根据前面求瞬时速度的办法，求第二秒末的瞬时速度，需要先求出平均速度。我们不妨让船由B点再向前走一小段时间。
因为我们给出的时间很小很小，小得与众不同了，我们在t的前面加上一个希腊字母△（读delta），写成△t，好和一般的时间有所区别。
在时间△t内，船又向前走了多少米呢？这可以算出来，船2秒钟走了22米，（2＋△t）秒走了（2＋△t）2米。它们的差（2＋△t）2－22，就是△t秒内船走过的距离。这个距离也很小，我们用类似的记号△s来表示，得到△s＝（2＋△t）2－22＝〔22＋2×2×△t＋（△t）2〕－22＝4△t＋（△t）2这样，在△t秒内的平均速度v应该是：
v＝△s△t＝4△t＋（△t）2△t＝4＋△t（米／秒）牛顿心里很清楚，只要△t不等于零，平均速度v总要带着一个小尾巴——△t。拖个小尾巴的蝌蚪，如果不去掉尾巴，就变不成青蛙；带小尾巴的平均速度，如果不去掉小尾巴△t，也永远变不成瞬时速度。
牛顿采取果断措施，大胆令最后结果中的△t＝0，割掉了平均速度的尾巴。他认为割掉了尾巴的平均速度，就应该是瞬时速度。
用牛顿的方法，我们要求船在第二秒末的瞬时速度，只要令4＋△t中的△t＝0，割掉尾巴，就得到了第二秒末的瞬时速度4米／秒。
牛顿用这种割尾巴的办法，求出了很多变速运动的瞬时速度，经过实践的检验，结果都是对的。瞬时速度这个可望而不可及的东西，终于被牛顿智慧的手给捉住了！
牛顿割尾巴的新方法，推动了数学和物理学的研究和发展。
主教的诬蔑
科学反对迷信，冲击神权，是教会的死对头。牛顿求瞬时速度的新方法，遭到了教会的敌视和反对。
1734年，英国出版了大主教贝克莱写的一本书，正题叫《分析学者》，副题叫《致不信神的数学家》，恶毒攻击牛顿发明的新方法。
贝克莱说，牛顿在求瞬时速度的过程中，首先用△t除等式两边。因为数学上规定零不能作除数，所以作为除数的△t不能等于零；可是牛顿最后又采取割尾巴的方法，令△t等于零。这样，△t一会儿是零，一会儿又不是零，这不是自相矛盾吗？△t既然代表时间，它应该是一个数量。这个忽儿是零，忽儿又不是零，虚无缥缈、飘泊不定的数量△t，不正是我们教会里所说的鬼魂吗！不过它不是消失了肉体的人的鬼魂，而是消失了数量的量的鬼魂。
贝克莱对牛顿的攻击，完全是为了维护教会的神权统治。他说的什么“量的鬼魂”，纯粹是胡言乱语。但是，贝克莱却提出了一个值得重视的问题：△t到底是不是零？
前面讲到，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，他说不清楚每个小扇形的面积到底是多小；卡瓦利里把面积看成是无穷多条线段的和，他也从未解释过，为什么没有宽度的线段能组成面积。现在，牛顿求瞬时速度，他也说不清楚△t到底是不是零。
这些说不清楚的问题，后来终于说清楚了，这就是极限思想的建立。
极限的奥秘
什么是极限？极限难懂吗？其实，我们在小学学算术的时候就认识极限，和它打过交道，只不过那时没有用极限来称呼它罢了。
从分数谈起
我们很熟悉分数。在分数化小数的时候，我们常常会碰到一类没完没了的小数。
你看，化13为小数，它等于0.333…，是一个无限循环小数。
你再看13＋13＋13＝0.333…＋0.333…＋0.333…左端相加等于1，右端相加等于0.999…所以1＝0.999…这个等式对吗？你是否觉得0.999…应该比1小一点点才对呢？可是这里划的是等号，表示0.999…＝1这就是极限问题。
要是把13＝0.333…两边同乘以6，就得到
2＝1.999…
看起来，1.999…好像也应该比2小一点点才对，可是这里划的也是等号，表示两边一星半点也不差。
这到底是怎么回事呢？
在小学里，我们还学过无限循环小数化分数：
0.7…=0.777…＝79
0.14…＝0.141414…＝1499
0.132…＝0.132132132…＝132999
0.21547…＝0.215474747…＝0.215＋4799000为什么在循环节下面写上几个9，就可以把循环小数化成为分数呢？这也是极限问题。
极限并不难懂，只要动脑筋多想想，是完全可以领会的。
惠施的名言
古希腊有一位诡辩家叫芝诺，我国古代战国时期，也有过一位精于辩论的有名人物叫惠施。惠施很有学问，据说他写的书要装好几大车。
惠施说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说一根一尺长的棍，每天都把它断为两半，取走其中一半，千秋万代也取不完。
你看，第一天取走12尺，剩下12尺；第二天取走12尺的12，剩下14尺。这样继续分下去，剩下来的棍是18尺，116尺，132尺……虽然越分越短，可就是分不完，也取不完。
由分棍问题中，我们得到了一串有顺序的数：
1，12，14，18……
我们把这一串有顺序的数叫做“数列”，把其中每个数叫做数列的“项”。比如这个数列的第一项是1，第二项是12，第五项是116。
数列的种类
数列的种类很多。
数列1，12，14，18，…有无穷多项，是一个无穷数列。它的特点是越变数值越小，越变越靠近零，近到要多近有多近。
数列0.9，0.99，0.999，…也是一个无穷数列。它的特点是数值越变越大，越变越靠近1，近到要多近有多近。
数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…也是一个无穷数列。它的特点是数值一会儿大，一会儿小，总的变化趋势是越变越靠近2，近到要多近有多近。
数列1，1，1，1，…是个无穷数列，各项都等于1，是一个常数列。
数列4，7，－1，53，－29，－0.05是一个有穷数列，一共有六项。它的变化杂乱无章，看不出什么规律来。
我们应该把注意力集中在前面三种无穷数列上。它们的共同特点是越变越靠近某个固定的数。认真研究一下它们的变化规律，我们会发现用“靠近”这个词，来形容它们与某一个固定数的关系还不够确切。比如数列0.9，0.99，0.999，…与1的关系，已经靠近到了这样一种程度，这个数列充分靠后的项，与1近到了“你要多近有多近”，“你说多近，可以近到比你说的还近”。
杂技钻圈
你看过杂技钻圈吗？舞台上立着几个直径很小的圈，演员们个个轻巧灵活，像猫一样在几个圈之间钻来钻去。
下面，我们来看一个数学杂技钻圈，“演员”是无穷数列0.9，0.99，0.999，…在数轴上以1为圆心，画几个同心圆，这就是一个套一个的小圈。
从图可以看到，数列的第一项0.9，还在所有圈的外面；第二项0.99，就钻进到第三个圈里面去了；第三项0.999，钻到第四个圈里面去了……数列的这个“演员”，比杂技演员的技术还要高超。杂技演员钻的圈不能无限制的小，比如直径比头还小的圈，就说什么也钻不进去了。但是，数列的这个“演员”可不论那一套，不管圈的直径有多小，它都能照样钻得进去。
半径为0.000000001的小圈，可够小的了，数列从第十项0.9999999999起，都能钻进到小圈里去。因为1－0.9999999999＝0.0000000001＜0.000000001，所以，0.9999999999应该在小圈里。你随便往小说好了，只要你能说出具体的数来，数列从某一项起就准能钻得进去。
但是，数列“演员”也有不如杂技演员的地方。杂技演员在表演钻圈时，既可以探身钻进去，也可以缩身退出来。数列“演员”0.9，0.99，0.999，…就不行了，它从某一项起，只要钻进以1为中心的小圈里，就再也不能退出来了。
对杂技演员来说，不管你把圈放在什么地方，放在北京还是上海，放在中国还是外国，他们都可以同样表演。数列“演员”0.9，0.99，0.999，…就不成了，它只会钻以1为中心的各种小圈。要是你把圈挪动一下，比如把中心挪到2，那它只能看着放在近旁的小圈，望圈叹息，钻不进去。因为数列0.9，0.99，0.999，…只能越来越靠近1，不能超过1，所以就钻不进以2为中心、半径小于1的圈了。
根据同样的道理，数列1，12，14，18，…可以钻进以0为中心的同心小圆里；数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…可以钻进以2为中心的同心小圆里。
这三位数列“演员”，虽然钻圈的本领一样高强，但是它们的钻法各异，自成一派。
你看，数列0.9，0.99，0.999，…总是从左往右钻圈；数列1，12，14，18，…总是从右往左钻圈；数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…总是一左一右跳跃着钻圈。