我们可以在圆周上任意选一点A,用圆规量出OA的长度，然后以A点为圆心画弧， 得到B点；再以B点为圆心画弧，得到C点；再以C点为圆心画弧，得到D点。这时，用 圆规量出AC的长度，再分别以A点和D点为圆心画两条弧，得到交点M.接下来，只要用 圆规量出OM的长度，逐一在圆周上划分，就可以把圆周4等分了。
如果再增添一把直尺，将这些4等分点连接起来，就可以得到一个正4边形。由此 不难看出，等分圆周与作正多边形实际上是一回事。
只使用直尺和圆规，怎样作出一个正5边形和正6边形呢？
这两个题目都很容易解答，有兴趣的读者不妨试一试。
不过，只使用直尺和圆规，要作出正7边形可就不那么容易了。别看由6到7,仅仅 只增加了一条边，却一跃成为古代几何的四大名题之一。尺规作图题就是这样变化莫 测。
38.三角架竖立的奥秘
三角架有许多用处：摄影爱好者用它来支撑照相机；露营野炊者用它来做烧水做 饭的支架；……三角架简单实用，但使用时必须注意，三角架的“头”应处在它的三 只“脚”所构成的三角形之中，这样才稳定。若三角架的“头”偏出了三只“脚”所 在的三角形区域外，那么三角架就会翻倒。
这是因为任何物体都有一个重心，如果物体的重心越出物体支撑点的范围，物体 就会不稳甚至翻倒。要使三角架稳定，就应该使它的“头”落在它的支撑点范围--三 角架的“脚”所构成的三角形之内。所以正确掌握重心位置是物体稳定的关键。表演 杂技顶花瓶的演员正是利用了这一道理，才会有惊人的表演。演员把一根木棒顶在放 有花瓶、茶杯等东西的玻璃板下，使得玻璃板上的重心落在木棒上，玻璃板上的花瓶 、茶杯等就不会翻倒。
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把三根杆子的一端系在一起，另一端支开，就构成了一个三角架。系在一起的是 三角架的“头”,支开的三端则是三角架的三只“脚”.“头”与三只脚构成三角形的 重心垂直时，三角架最牢固。
39.蜜蜂的超前智慧
蜜蜂不仅勤劳，也极有智慧。它们在建造蜂房时显示出惊人的数学才华，连人间 的许多建筑师也感到惭愧。
在数学上，如果用正多边形去铺满整个平面，这样的正多边形只可能有3种，即 正三角形、正方形、正六边形。蜂房是蜜蜂盛装蜂蜜的库房。它由许许多多个正六棱 柱状的蜂巢组成，蜂巢一个挨着一个，紧密地排列着，中间没有一点空隙。
蜜蜂凭着它本能的智慧，选择了角数最多的正六边形。这样，它们就可以用同样 多的原材料，使蜂房具有最大的容积，从而贮藏更多的蜂蜜。
也就是说，蜂房不仅精巧奇妙，而且十分符合需要，是一种最经济的结构。
历史上，蜜蜂的智慧引起了众多科学家的注意。著名天文学家开普勒曾经指出： 这种充满空间的对称蜂房的角，应该和菱形12面体的角一样。法国天文学家马拉尔弟 则亲自动手测量了许多蜂房，他发现：每个正六边形蜂巢的底，都是由3个全等的菱 形拼成的，而且，每个菱形的钝角都等于109°28′，锐角应该是70°32′。
小小的蜜蜂可真不简单，数学家到18世纪中叶才能计算出来、予以证实的问题， 它在人类有史之前已经应用到蜂房上去了。
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蜜蜂的勤劳是最受人们赞赏的。有人作过计算，一只蜜蜂要酿造1公斤的蜜，就 得去100万朵花上采集原料。如果花丛离蜂房的平均距离是1.5公里，那么，每采1公 斤蜜，蜜蜂就得飞上45万公里，几乎等于绕地球赤道飞行了11圈。
40.乌龟壳上的神奇“洛书”
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。洪水冲毁房舍，吞没田园 ,给两岸人民带来巨大的灾难。于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪 羊去河边祭河神。每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地 绕着祭品转一圈。大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着 数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。可是，谁也弄 不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来：“ 多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15!” 人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果 然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的著作里。乌龟壳上 的这些点点，后来被称作是“洛书”.一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的 奥秘，甚至胡说因为有了“洛书”,才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它迷人的地方。普普通通的9个自然数 ,经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图 案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样具有奇妙性质的图案叫做“幻方”,“洛书”便是其中的一种 .
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幻方不仅吸引了许多数学家，也吸引了许许多多的数学爱好者。我国清朝有位叫 张潮的学者，本来不是搞数学的，却被幻方弄得“神魂颠倒”.后来，他构造出了一 批非常别致的幻方。“龟文聚六图”,就是张潮的杰作之一。图中的24个数起到了40 个数的作用，使各个6边形中诸数之和都等于75.
欧洲著名数学家欧拉曾想出一个奇妙的幻方。它由前64个自然数组成，每列或每 行的和都是260,而半列或半行的和又都等于130.最有趣的是，这个幻方的行列数正好 与国际象棋棋盘相同，按照马走“日”字的规定，根据这个幻方里数的排列顺序，马 就可以不重复地跳遍整个棋盘！所以，这个幻方又叫“马步幻方”.
41.七座桥引出位置几何学
18世纪，东普鲁士（今属奥地利）有个城市叫哥尼斯堡，那里有七座桥。一天又 一天，这七座桥上走过了无数的行人。不知在什么时候，七座桥触发了人们的灵感， 一个有趣的问题在居民中传开了：一个散步者怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走 过一次，最后回到出发点？
当时著名的数学家欧拉分别以C、D两点表示两个小岛，以A、B两点表示南北两岸 ,用连结两点的线表示连接两块陆地的桥。这样，就把“七桥问题”抽象成了一个“ 一笔画”问题。由图可见，A、B、C、D四个点都与奇数条线相连。因此，由欧拉定理 断定，一笔画出图的方法是不存在的，从而不重复地通过七座桥的路线也是不存在的 .
“七桥问题”是一个几何问题，但它却是欧几里德几何学所没有研究过的。欧几 里德几何研究的，都是与几何图形的长度、角度等有关的性质，而在“一笔画”问题 中，线条的长短、曲直、交点的准确方位，都是不重要的，重要的是点线之间的相关 位置，或连续情形。因此，欧拉认为这是一门新的几何学分支，并据莱布尼兹的提法 ,叫它“位置几何学”.
“七桥”问题
42.“赌徒之学”
17世纪时，法国有一个很有名的赌徒，名字叫默勒。一天，这个老赌徒遇上了一 件麻烦事，使他伤透了脑筋。
这天，默勒和一个侍卫官赌掷骰子，两人都下了30枚金币的赌注。如果默勒先掷 出3次6点，默勒就可以赢得60枚金币；如果侍卫官先掷出3次4点，这60枚金币就归侍 卫官赢走。可是，正当默勒掷出2次6点，而侍卫官只掷出了1次4点时，意外的事情发 生了。侍卫官接到通知，必须马上回去陪国王接见外宾。
赌博无法继续下去了。那么，如何分配两人下的赌注呢？
默勒说：我只要再掷出1次6点，就可以赢得全部金币，而你要掷出2次4点，才能 赢得这么多金币。所以，我应该得到全部金币的3/4,也就是45枚金币。“
侍卫官不同意这种说法，反驳说：”假如继续赌下去，我要2次好机会才能取胜 ,而你只要一次就够了，是2∶1.所以，你只能取走全部金币的2/3,也就是40枚金币 .
两人争论不休，结果谁也说服不了谁。
事后，默勒越想越觉得自己的分法是公平合理的，可就是说不出为什么公平合理 的道理来。于是，他写了一封信向法国著名数学家帕斯卡请教：
“两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了。如果一人赢了a（a<s）局，另一人赢了b（ b<s）局时，赌博中止了。应该怎样分配赌本才算公平合理？”
帕斯卡对这个问题很有兴趣，他把这个题目连同他的解法，寄给了著名法国数学 家费尔马。不久，费尔马在回信中又给出了另一种解法。
帕斯卡给费尔马的信，写于1654年7月29日，这是一个值得记住的日子。因为他 们两人的通信，奠定了一门数学分支的基础，这门数学分支叫做概率论。
43.爱吹牛的理发师
1919年，著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”.
小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己 刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”
大家听了直发笑。有人问他：“理发师发生，您给不给自己刮胡子呢？”
“这，这，……”理发师张口结舌，半响说不出一句话来。
原来，这个爱吹牛的理发师，已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子， 那就不符合他声明的前一半，这样，他就不应当给自己刮胡子；但是，如果他不给自 己刮胡子，那又不符合他声明的后一半，所以，他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮 ,横竖都不对。
像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”.罗素编的这则笑话，就 是数学史上著名的“理发师悖论”.
理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像 那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。
实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤 消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运， 因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”,那么，现代数 学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。
这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论 的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它 通俗化就是理发师悖论。如数学中的集合论就是一例。
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集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落 ,直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠 立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论 ,谁将变成一个“爱吹牛的理发师”,从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分 ,如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物 而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在 了。
44.数学的“软工具”
有一个两人游戏：桌面上放着一堆火柴，由两人轮流从这堆火柴里每次取走1-3 根，谁取走这堆火柴的最后一根，谁就是获胜者。要想取胜，就必须找出获胜的规律 .
如果原先只有1根火柴，这时很明显，谁先轮到谁赢。如果有2根或3根，那么结 论也与1根火柴一样。如果有4根火柴，先取一方只能取走1根、2根、3根，而剩下3根 、2根、1根，那么后取方总能取胜。因此，如某人能在取火柴后留下4根，就一定能 获胜。
依次对5根、6根……火柴实验，可发现，只要在某次取后分别留下8、12、20… 根火柴，就一定能获胜。也即获胜的规律是，必须每次取火柴后留下4n（n=0,1,2,… …）根火柴，定会获胜。
拿火柴的一般获胜办法，是从个别的、简单的情况出发，通过实验推论得出结论 ,然后再总结出一个一般性结论，这种方法就叫归纳法。它是人类认识客观法则的重 要方法。
归纳法是数学中的一种重要方法，除它之外，还有演绎法、综合法、类比法、分 析法等，它们统称为逻辑方法，也称为数学的“软工具”.
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由归纳法归纳出来的规律不一定都是成立的，因而严格地讲应称为“不完全归纳 法”.有一笑话就是说明这种情况的，说的是从前一个地主，请了先生给他儿子认字 ,先生便教他临摹，写一划教：“这是一字”,写两划，又教“这是二字”,写了三划 告诉他：“这是三字”.地主儿子一看写字太简单了，于是告诉他父亲已全部学会， 可以辞退先生。一天，地主要请姓万的人来喝酒，让儿子写帖，儿子从早到晚都在写 ,迟迟写不完帖子。地主进屋一看，儿子正在一划一划地写，还抱怨要写1万个一划 太累了呢。
这说明简单地归纳会出错。
45.小数点的大用场
小数是中国首先发明和使用的，而使用小数点“.”则是近300年的事。在南宋大 数学家秦九韶的著作《数书九章》中，出现了十进小数的现代记法。例如，他把 324506.25记为如图的形式：用“余”字明确表示该位以后都是小数部分，“余”字 就相当于现在的小数点。
最早的小数点记法是在16世纪德国数学家克拉维斯的著作中出现的，他使用的小 数点“.”与现在的意义相同，是作为整数部分与小数部分分界的记号。
西方人把十进小数的发明归功于16世纪的比利时数学家斯蒂文。他引进的十进小 数符号是比较复杂的。例如，他把5.912写成
59①1②2③。
后来，也有的西方人这样来记5.912:
5,9′1″2′″
他们是用“”或“,”来表示小数点，用“①、②、③”或“′、″、′″” 表示小数点后的第一、二、三位小数。
46.纪塔娜女神的智慧
在非洲流传着一个古老的神话：一个酋长要分给纪塔娜女神一块土地，这块土地 的大小可以用一张灰鼠皮围起来，这位酋长十分得意。心想，一张灰鼠皮本来就很小 ,用它能围出多大一块土地？
纪塔娜女神接过灰鼠皮，把它剪成很细很细的皮条，把这些皮条连接成一条很长 的皮绳，她用这条灰鼠皮长绳靠着海岸，围出一块很大的半圆形土地，结果分得了很 大一块土地，酋长连呼吃了大亏！
纪塔娜女神为什么要围成半圆形土地呢？原来用一定长度的绳子围出一块面积， 其中围成的圆面积最大，纪塔娜女神又利用了海岸线，所以围出了一块很大的土地。
通过这个古老的传说，我们可以看出，圆和极大、极小问题紧密相联，可以极小 的投入，去获得极大的效益？
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我国数学家华罗庚在南京的一所中学做报告时，提了一个问题：“你们知道下水 道的盖子为什么做成圆形的？”
同学们听了这个问题议论纷纷。华罗庚告诉大家，把下水道的盖子做成圆形，是 因为不管你怎样盖，井盖都不会掉到下水道中。其实，岂止下水道盖，饼干桶的盖子 也大多做成圆形的，目的也是防止盖子掉进桶里。
47.奇怪的遗嘱
相传有一位老人临终前立下一份遗嘱。遗嘱里规定3个儿子能够分掉他的17头牛 ,但又规定：老大应得到总数的1/2,老二应得到总数1/3,而老三只能得到总数的1/9.