数字中的周期现象周期现象是普遍存在的。如果你注意一下，就可以发现，数字中也存在着形形色色的周期现象。
例如，自然数经过5次乘方之后，其末位数会出现“重现”或“回归”：2的5次方是32，其末位仍然是2；3的5次方是243，其末位仍然是3；7的5次方，我们即使不算出其结果，也可以肯定它的末位必定还是7；等等。
观察一下从1至9的平方的末位数，可以发现它们组成了一个回文序列：1，4，9，6，5，6，9，4，1.10的平方100末位是0，而此后各数的平方的末位数又是1，4，9，6，5，6，9，4，1.整个自然数的平方的末位数，始终在那儿兜圈子，循环反复，以至无穷。而这些反复出现的周期，中间是以0来分界的。
人们还发现，一切平方数的根数只能是1，4，7，9这四个数字，不可能是其他数字。这里所称的“根数”，就是把一个正整数的各位数字统统相加起来，求出其和数，如果这个和数比9大，就一直减去9的整倍数，直至余数小于或等于9为止。例如，135的根数是9，246的根数是3，等等。
利用上述知识，有时很容易判别一个数究竟是不是平方数。譬如说，98765432123456789是不是一个平方数？我们不妨查一下它的根数，是8，而不是1，4，7，9中的一个，于是就可以肯定它不是一个完全平方数。
一切平方数的根数不仅具有如上的特性，而且当完全平方数依序递增时，其根数也是以1，4，9，7，7，9，4，1的回文序列反复出现的。不过，这一次是以9，而不是用0来作为各个周期的分界。下面举些实例来说明：
100（10的平方）的根数为1；
121（11的平方）的根数为4；
144（12的平方）的根数为9；
169（13的平方）的根数为7；
196（14的平方）的根数为7；
225（15的平方）的根数为9；
256（16的平方）的根数为4；
289（17的平方）的根数为1；
324（18的平方）的根数为9；——周期的分界标志
361（19的平方）的根数为1；——下一周期的开始
……
平方数的这些性质，不仅有趣，而且有很大的实用价值。灵活运用这些性质，我们就可掌握许多速算的窍门。
数字趣谈——奇妙的9
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：s=a1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数0.6666……=0.6，0.242424……=0.24.它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：
0.6666……=0.6 0.06 0.006 ……
=610 6100 61000 6[]10000 ……
0.242424……=0.24 0.0024 0.000024 ……
=24100 2410000 241000000 ……
这就变成了无穷递宿等比数列的形式。0.6666……的公比是110，而0.242424……的公比是1100.根据求和公式得：
0.66……=6101-110=610-1=69，0.2424……=241001-1100=24100-1=2499.
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数学化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如：
0.4444……=0.4=49
0.5656……=0.56=5999，
0.31233123……=0.3123=31239999=3471111.
下面再来看看以下两个循环小数：
0.2888……=0.28，0.3545454……=0.354它们都不是从小数点后的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
0.28888……210 810 81000 810000 ……
0.35454……=310 541000 54100000 ……
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以110，1100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得：
0.2888……=210 81001-1[]10=210 8100-10=210 890=2×9 890
=2690=1345.
0.35454……=310 5410001-1100=310 541000-10
=310 54990=3×99 54900
=351990=39110.
由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：
0.27777……=0.27=27-290=2590=518，
0.31252525……=0.3125=3125-319900=15474950.
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，要善于总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。
含义丰富的0
数学老师问学生一个问题：“某电脑商店一周前有某型号电脑20台，一周内售出20台而没有进货，现在该店还有几台这种型号的电脑？”学生们一般都会很快地回答：20台-20台=0台。这里，我们对0有了认识，给0下了个定义，就是：“0表示没有。”
通常0是表示没有，但是，它的意义是不是仅表示没有呢？它除了表示没有以外，还表示什么呢？
在日常生活中，天气冷热经常变化，一般冬天气温大约在0摄氏度左右。0摄氏度是不是表示没有温度呢？当然不是。如果0摄氏度表示没有温度，那么，0华氏度也表示没有温度吗？0华氏度就是0下1779摄氏度。我们知道，0摄氏度的温度比0下1779摄氏度的温度高，0摄氏度的气温比0下1779摄氏度的气温暖，不能说它没有温度，这样矛盾的事情怎样解决呢？
0本身充满着矛盾。拿0的作用来讲，因为任何多个0相加，它们的和还是0，岂不是很渺小吗？但是我们也可以说0的影响很大，如果有许多个因数相乘，其中只要有一个因数是0，它们的积就是0，你看这个0的影响不是很大吗？这样矛盾的事情在数学上的例子是不少的，要解决这样的矛盾问题，必须知道数学上的概念是相对的，不是不变的。对小学生来说，0是表示没有。但对中学生来说，0可以表示起始。在数学运算中，0还扮演着一个很重要的角色呢。在电子计算机里，0的作用就更大了，因为电子计算机采用0与1这两个基本数码的二进位制，任何数码都由这两个基本数码组成。
备受尊敬的7
在我们的生活中，有许多与7有关的事和物。
一个星期有7天；人头上的眼睛、耳朵、鼻孔、嘴共有7个孔；一个成年人的身高等于他本人7个头高；我国的传统玩具7巧板，用7块图形可以拼搭出变化无穷的图案；太阳光的光色由赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种色构成，给予了大自然千变万化的色彩；音乐家用do、re、mi、fa、so、la、si7个音，弹奏出无数美妙的乐曲；我国传说中的牛郎和织女，每逢7月初7相会，人们把这天叫做“7夕”……
10个数字中，为什么“7”会受到人们这样的器重呢？
人们对数的认识是逐步发展的，最初，古人只认识1和2，3就被认为是“多”的意思，俗话说“三思而后行”，是指做任何事情必须多想想，而不是说只想3次。
后来人们又认识了一些数，如一只手就表示5，“7”这个数在有些地方就用来表示“多”了。
埃及发现的莱茵特纸草卷上记载着这样一道题：有7个老妇人，每个人有7只猫，每只猫吃7只鼠，每只鼠吃7穗麦，每穗麦出7颗麦粒，问人、猫、鼠、麦穗、麦粒各有多少？
答案是：7个人，49只猫，343只鼠，2401穗麦，16807颗麦粒。由7开始计算得到的这些数，对古代人来说确实是一个不小的数。
我国西南部的少数民族土族的妇女，衣袖上镶着7道彩色的锦边：红、橙、蓝、白、黄、绿、黑，以此来表示世上的万物，把它镶在衣袖上的意思是万物要靠勤劳的双手去创造。
7被看作“多”的化身，还因为古人把“7”敬拜为“神数”。
最初，人们把天空中3颗会“走”的星球：太阳（太阳是恒星，古代由于科学不发达，误认为太阳绕地球转）、月亮、金星看作“神灵”，后来又发现木星、火星、水星、土星也会“走”，这样就有7颗星球被看作是有“神灵”的。于是7被看作是“神数”。
人们在观察星空时，还发现，月亮除了一两天看不见外，其余28天，从月牙到月半，从月半到月圆，再到月半、月牙，正好把28天分成了4个7天，这又和受尊敬的“7颗”星球相配，于是人们就把这样的7天称为是星的日期，即7天为一个“星期”，直到现在有的国家还把一个星期中的7天称为月亮天、火星天、水星天、木星天、金星天、土星天和太阳天。
就这样，7成了一个受尊敬的数。
数学黑洞
在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这个数中的偶数个数、奇数个数、及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这三个数组成下一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1，2，3，将数串123再重复进行，仍得123.对这个程序和数的“宇宙”，123就是一个数学黑洞。
是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。例如：8888887777444992222，在这个数中偶数、奇数、全部数字个数分别为11、9、20，将这三个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了。
这就是数学黑洞“西西弗斯串”。同学们努力学习，去探索、发现其中的奥秘吧！
费马大定理和费马小定理
如果三个正整数分别是某个直角三角形的三条边长，这样的三个正数就叫做勾股数。一般地说，勾股数就是不定方程X2 Y2=Z2的每一组正整数解。
在公元前1900-1600年的巴比伦泥块中，记载了一些如（119，120，169），（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）这样一些数值很大的勾股数，说明当时已经有人开始探求勾股数的公式。
欧几里得在《几何原本》中第一次给出了求勾股数的公式。中国的《九章算术》则最先给出了它的现代形式：
设（z x）：y=m：n（m>；n>；0），则
x：y：z=m2-n22：mnm2 n22
显然利用公式可以给出不定方程x2 y2=z2的无限多级解。然而这个结果自然会引出这样的一个话题，在公式x2 y2=z2中，若未知数的次数比2还大，还有没有正整数解呢？
大约在1637年，费马经过认真总结研究，证明出一个立方数不可能表示为两个方立方数之和，一四次方数也不可能表示两个四次方数之和。一般说来，当正整数n>；2时，不定方程xn yn zn没有正整数解，这就是人们常说的费马大定理。可是，人们一直没有发现费马的证明，这就激起了许多数学家对这个问题的兴趣。
欧拉证明了n=3或4的情形，即方程x3 y3=z3与x4 y4=z4没有不为零的正整数解。
19世纪数学家勒让德和狄里赫勒同时证明了n=5的情况。之后数学家拉梅又证明了n=7的情况。
为了得到费马大定理的普遍证明，1908年德国哥廷根科学院悬赏10万马克，向全世界征求解答，限期100年，吸引得某些商人也加入了研究行列。但由于费马大定理不可能有初等证明，因而那些连初等数论的基本常识都不熟悉的人，对此只能“望洋兴叹”了。
为什么叫“费马大定理”而不叫“费马定理”呢？那是因为费马在1640年还发现过一个定理。
如果p是质数，并且a与p互质，那么数ap-a一定能被p整除。这是初等数论中的一个重要定理，但证明的难度及影响远不如“费马大定理”，因此，后人把它称做“费马小定理”。
跷跷板与不等式
游乐场里的跷跷板，大个儿总是沉沉地压向一端，而小个儿总是被抬到高处，这与数学里的不等式是多么相像！
楞儿游泳班的8个孩子，这时也在游乐场里玩跷跷板。他们之中，有5个女孩子，3个男孩子。女孩子的体重都是25公斤，男孩子的体重都是30公斤。
他们要在跷跷板上比个高低，女孩子占左边，男孩子占右边。只见女孩子坐上去一个，那边男孩子上去一个又给压了下来。连续3个女孩子坐在左边板上，3个男孩子那边又沉沉地压下来。这时第4个女孩子再坐上去，左边胜利了，还剩一个女孩子没有机会再上去了。
正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那3个男孩子说：“我来帮你们。”于是，第5个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然，男孩子这边反败为胜。
女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了。”于是，他们之间达成了一个协议：女孩子们下去3个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道。这样一变换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那3个男孩子还是赢了。试问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？
解答：
假设：女孩子用y表示（体重为y公斤）；
男孩子用x表示（体重为x公斤）：
新来的男孩子用w表示（体重为w公斤）。
那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示：
5y＜w 3x（1）
w 2y＜3x（2）
由（1）式，得到：
w>；5y-3x（3）
由（2）式，得到：
w＜3x-2y（4）
由（3）式和（4）式，得到：
5y-3x＜w＜3x-2y
因为：x=30公斤，y=25公斤
所以：35公斤＜w＜40公斤
新来的男孩子，他的体重在35公斤到40公斤之间。
三等份角问题
只准用直尺和圆规，你能将一个任意的角两等份吗？
这是一个很简单的几何作图题。几千年前，数学家们就已掌握了它的作图方法。
在纸上任意画一个角，以这个角的顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出这段弧与两条边的交点A、B。
然后，分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，只要选用的半径比A、B之间的距离的一半还大些，这两段弧就会相交。找出这两段弧的交点C。
最后，用直尺将O点与C点联接起来。不难验证，直线OC已经将这个任意角分成了相等的两部分。
显然，采用同样的方法，是不难将一个任意角4等份、8等份或者16等份的；只要有耐心，将一个任意角512等份或者1024等份，也都不会是一件太难的事情。
那么，只准用直尺与圆规，能不能将一个任意3角等份呢？
这个题目看上去也很容易，似乎与两等份角问题差不多。所以，在2000多年前，当古希腊人见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……
一天过去了，一年过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也画不出一个符合题意的图形来！
由2等份到3等份，难道仅仅由于这么一点小小的变化，一道平淡无奇的几何作图题，就变成了一座高深莫测的数学迷宫？
这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自己的智力。
阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角，他以这个角的顶点0为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。
然后，阿基米德移动直尺，使C点在AO的延长线上移动，使P点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动，将C、P、B三点连接起来。
接下来，阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，作直线OD。
可以检验，AOD正好是原来的角AOB的1/3.也就是说，阿基米德已经将一个任意角分成了3等份。
但是，人们不承认阿基米德解决了三等份角问题。
为什么不承认呢？理由很简单：阿基米德预先在直尺上作了一个记号P，使直尺实际上具备有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定：在尺规作图法中，直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只准许使用有限次。
阿基米德失败了。但他的解法表明，仅仅在直尺上作一个记号，马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想：能不能先不在直尺上作记号，而在实际作图的过程中，逐步把这个点给找出来呢？
古希腊数学家全都失败了。2000多年来，这个问题激动了一代又一代的数学家，成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家，也都曾拿起直尺圆规，用这个难题测试过自己的智力……
无数的人都失败了。2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等份！一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地，人们心中生发出一个巨大问号：三等份一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题目根本无法由尺规作出，硬要用直尺与圆规去尝试，岂不是白费气力？
以后，数学家们开始了新的探索。因为，谁要是能从理论上予以证明：三等份任意角是无法由尺规作出的，那么，他也就解决了这个著名的数学难题。
1837年，数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布：只准许使用直尺与圆规，想三等份一个任意角是根本不可能的！
这样，他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案。
两栖的数
著名数学家华罗庚说过：“数是数（shǔ）出来的，一个一个地数（shǔ），因而出现了1，2，3，4，5……”其实，不仅是自然数，其他一些数的引入，也都与物体的度量有关。分数的引入，与度量物体的细小部分有关；无理数的引入，与度量正方形对角线这类长度有关……
16世纪时，数学家们遇到了一种奇怪的数，这种数与物体的度量无关，而且在很长的一段时间里，谁都没能在生活中找到一样事物，说它需要用这种数来刻画。
例如，意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次，他动手解答一道很简单的数学题：“两个数的和是10，积是40，问这两个数各是多少？”
卡当设第一个数是X，由于两个数的和是10，他将第二个数记作（10-X）；因为两个数的积是40，于是有
X（X-10）=40，
即X2-10X-40=0.
这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式，只要把方程的系数1、-10、40代入公式里，马上就可以算出方程的两个答案来。可是，当卡当把1、-10、-40代入公式后，却算出了两个令人困惑不解的怪东西：5 -15和5——15.
卡当为什么困惑不解呢？
原来，他遇上了负数开平方的情形。“是开平方运算的符号，如32=9，则9=3.人们一直认为，负数是不能开平方的，不仅如此，当时的人们对一些正数开平方，如2、15，也认为”仅仅是些记号而已，不承认它们是一种数。因此，讨论-15就更加没有意义了。
卡当想，既然“15仅仅是些记号而已”，那么，何尝不把-15也看作“是些记号而已”呢？他鼓足勇气，“不管良心会受到多大的责备”，把那两个怪东西当作是两个数，代入题中进行了演算。瞧：
（5 -15） （5——15）=10
（5 -15×（5——15）=40
这两个怪东西正好是题目要求的数！
从这个意义上说，这两个怪东西应该是一种数。可是，这是一种什么样的数呢？卡当没有弄清楚，17世纪的数学家们，也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”，有一种虚无缥缈的味道，于是就起了个名字叫“虚数”。
尽管虚数有了数的名称，许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣，他说虚数是“理想世界的奇异创造”，是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。
18世纪下半叶，大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位，例如，-1可以记作i，-15可以记作15i。但是，欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说：“一切形如-1、-2的数学式，都是不可能有的、想像的数……它们既不是什么都是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”
其实，虚数并不是虚构的数，其中的秘密，数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数，对虚数的性质作出了合理的解释，虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里，对虚数的性质作了详细的叙述，到时候，读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游，这里就不多加介绍了。
需要指出的是，有了虚数之后，整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外，任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除，以及乘方和开方了。
印度荷花问题
印度数学家婆什迦罗的著作中，有一个有趣的“荷花问题”。这道题目叙述得很别致，是以诗歌的形式出现的：
湖平浪静六月天，荷花半尺出水面。
忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。
残花离根二尺遥，试问水深尺若干。
这首诗的意思是：在平静的湖面上，有一枝荷花高出水面半尺，忽然一阵狂风把荷花吹倒在水中淹没了。到了秋天，渔翁发现淹没在水中的残花离根部有二尺远，试问水深是多少尺？
这道题目不算太难，如果我们设水深为x尺（图中的AE，也就是BC）那么荷梗AD长为（x 0.5）尺，风将荷花吹倒压水中，即荷梗移到AC处，而它的长度仍为（X 0.5）尺，荷花落在B处，距根部A处2尺远，即AB=2尺，于是在直角三角形ABC中，应用勾股定理，有：
AB2 BC2=AC2
即22 x2=（x 0.5）2
解得：x=3.75（尺）即水深3.75尺。
“印度荷花问题”的作者婆什迦罗是一位著名的印度数学家。他编这首歌谣的目的，是帮助人们熟练掌握勾股定理的应用，由于歌谣易懂上口，后来在中东和西欧许多国家广泛流传。
类似的问题，我国古代数学家很早就提出过，“葭生中央问题”最早见于我国古代巨著《九章算术》，该书第九章就叫“勾股”章，详细讨论了用勾股定理解决实际问题的方法。这一章的第6题就是“葭生中央问题”：
今有池方一丈，葭生中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？
题中“葭”就是初生的芦苇。这道题目的意思是：有一个一丈见方的水池，中央长有一根初生的芦苇，高出水面一尺，如把这根芦苇拉向岸边，芦苇的顶端正好到达岸边的水面，问水深和芦苇长各是多少尺？
这个题目留给少年朋友们自己来解答吧。
幻方有一些奇妙的性质：
1.对称性：四阶幻方具有丰富的对称性。
通过计算发现，每行、每列、两个对角线上四个数的和都相等，并且等于幻和。
幻方还关于中心对称，如右图；用带箭头的线条连接起来的两数之和恰好等于幻和的一半。
2.轮换性：
图乙可以看成把图甲的上面一行或几行移到下面，或把左边的一列或几列移到右边（反过来也可以）以后得到的。在图乙中，随便框出由16个方格组成的方阵，仍然是一个幻方。
纵横图国外评为奇方或幻方，它是将n2个自然数，排成n行n列的方块，使它各行各列及两对角线上各数字之和相等。
纵横图起源于中国，它最早与一些神话传说联系在一起。传说在伏羲氏和大禹治水时先后从黄河、洛水中由龙马神龟所显现的河图洛书上，已带有简单的纵横图。
492357816最早有纵横图记载的文献，除失传者外，迄今可见的是《大戴礼记》。在《大戴礼记·明堂》中，有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的记述，排列成方阵即之幻方。可以推测，民间对幻方的流传必定先于该书所作记述的年代。到南宋，著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，已经列出了三至十阶纵横图了。并正式为它定名纵横图。
除中国外，希腊人在公元4世纪前后已有四阶幻方的记载。欧洲人直到14世纪才开始研究幻方，至迟比我国要晚1500年。
纵横图产生之初，都带有较浓厚的神秘色彩，后又成为纯数字游戏，最后终于纳入了数学科学研究的对象之列。如法国的梅齐利亚克及著名数学家费马均对纵横图感到莫大兴趣。由于纵横图对解方程组是有用的理论，从而逐渐获得纯数学理论意义。
到近代，更发现纵横图对于组合分析、程序设计、图论、对策论及人工智能诸方面都有广泛的应用价值。
墨比乌斯纸环
某地区有三个居民小区和三家不同百货商店，为了方便群众，有人想从每一居民区到三家商店之间各修一条公路，总共需要九条公路，但要求各条公路之间两两不能相交。请来工程师设计时发现，这种公路在平面上是无法修造的。不信的话，你可以在纸上假想A、B、C是居民小区，E、F、G是三家百货商店，连一下，当你通出八条互不相交的公路后，发现第九条公路总要和前八条相交。
但你只要用一张狭长的纸条，将它的一端与另一端的反面粘合在一起成一个纸环，纸有正反两面，但这种环却没有正反之分。若一只蚂蚁想从纸的一面爬到另一面，肯定得走边界。但在这个纸环上，蚂蚁却可以不穿越边界，自由自在地从这一面爬到另一面，假如把这个纸环沿中线剪开，并不会一分为二，而是成为一个较长的纸环。若再沿这个纸环的中间剪开，就会成为两个互串的纸环。
在这种纸环的这种特殊曲面上修建九条公路是完全可能，可用实验证明。取一张狭长的纸条，在纸的正反面按下图（1）（2）所示的方法画好（其中A、B、C代表三个居民区，E、F、G代表三个商店），然后将这张纸做成上述的纸环，辖接这九条公路，这九条公路绝不会相交。
这奇妙的纸环所创造的奇迹是由18世纪时的几何学家墨比乌斯发现的，所以叫做墨比乌斯纸环。
“科克曼女生问题”
我国包头市第九中学的一位物理教师，在20世纪60年代独立地解决了科克曼女生问题，以后又解决了斯坦纳三元系问题，闻名中外。他就是数学家陆家羲。
1850年，英国人科克曼提出下列问题：一位女教师带领15名女生每天作例行散步。她把女生按3人一行排成5行，在同一行中的3个女生彼此称为同伴。现问：能否作出一个连续7天的计划，使得每一个女生和其他同学只同伴一次？这就是原始的科克曼女生问题。
后来，人们把这个问题一般化：设有v个元素的集合X，每3个一组，分成b组，如果要求X中每一对元素必同在一个且仅在一个三元组中，是否能够办得到？这就是现称的科克曼女生问题，而最初的科克曼女生问题是它的一个特例，即v=15，b=7×5=35的情况。
一般的情形我们不讨论了。下面介绍一个最简单的特例，v=7，b=7的情形。它可以有以下的三元组：
（1，2，3）；
（2，5，4）；
（3，6，4）；
（4，7，1）；
（3，5，7）；
（1，5，6）；
（2，7，6）。
用图表示，它正好构成一个等边三角形的三条边、三条中线和一个内切圆。每两个数字必在一个三元组中同时出现，且只有一次。对原始的科克曼女生问题（v=15，b=35），你不妨也做做看。
什么是“3x 1问题”
请你随意说出一个自然数，记为x，利用这个自然数，我们可以构造一个新的自然数y，方法如下：
y=3x 1，若x是奇数；
x2，若x是偶数。
在数学上，这样从任意一个自然数出发，按照确定的规则得到另一个自然数（它与原先的自然数可以相同，也可以不同），称为对自然数施行了一个变换。例如，根据变换规则，18变成9，9变成28，等等。问题在于，从某一个自然数出发，不断地这样变换下去，会出现什么样的结果呢？这是一个有趣的问题，也是一个非常吸引人的数学游戏。
下面我们以自然数18为例，来看看这样连续变换的结果。最后出现了循环：4214.再看看奇数，例如21，最后还是出现了同样的结果。
起初，这纯粹是个数学游戏，在美国某些地方流行。后来传到欧洲，又由日本人角谷传到亚洲。现在，它已在世界各国广泛流传。人们甚至动用了计算机，试遍了从1到7×1011所有的自然数，结果都是最后出现4214……的循环。这就是“3x 1问题”，也称为“科拉兹问题”、“叙拉古问题”或“角谷问题”。但是，这个结论却还没法证明，而且范围也仅限于自然数，不能放宽到整数。你不妨自己试试零和负数的情况，看看会出现什么样的结果？
“渡河问题”有几解
有一则古老的智力游戏题：有一个人带着一只狼、一只羊、一筐卷心菜来到河边（这里假设狼是不吃人的）。河边正好有一条空着的小船。那人想将狼、羊、卷心菜都带到河的对岸去。可是船很小，每次都只能让他带走一样东西，如果带两样东西上船，船就会沉没。另一方面，如果没人照管，狼会吃掉羊，羊又很喜欢吃卷心菜，所以，狼与羊、羊与菜，在人不在的情况下，是不能放在一起的。怎么办呢？他应当采取什么样的渡河方案，才能把狼、羊、菜都安全地带到对岸去呢？
这个问题称为“渡河问题”，也有人称之为“狼、羊、菜问题”。对于多数人，要解决这个问题是不会有什么困难的，试上几次，就能给出一个符合要求的答案。但是，你能说出，该题共有多少解吗？人将狼、羊、卷心菜都安全地带到河的对岸去，至少需要摆渡几次呢？
先想一想，可以允许出现的状态有几种，也就是说不会有狼吃羊、羊吃菜现象的状态有几种。动动脑筋，你就会得到以下的结果：状态此岸对岸1人、狼、羊、菜2人、狼、羊菜3人、狼、菜羊4人、羊、菜狼5人、羊狼、菜6狼、菜人、羊7狼人、羊、菜8羊人、狼、菜9菜人、狼、羊10[3]人、狼、羊、菜第1种状态就是我们的初始状态，而第10种状态是我们要达到的最终状态。人划着船，每渡河一次，就会引起一次状态的改变。第一步，人要带一样东西过河，则河的这边只留下两样东西（表中的5、6状态），只能是第6种状态，即人带羊过河。第二步，人把船划回来，即呈第3种状态。第三步，人再带一样东西过河，对岸可以出现两种情况（表中的7、9状态），即可以有两种方案。我们先来看第一种，人带菜过河，即第7种状态。第四步，这次人不可能空船回来，因为羊会吃了菜，所以人必须带一样东西划船回来，当然不可能是菜，否则就等于取消第三步，回到第3种状态。因此人将羊又带回去，于是呈现的是第2种状态。第五步，人带狼过河（羊刚带回来，再带回去岂不重复），现在是第8种状态。第六步，这次人可以空船回来了，因为狼可以和菜在一起，即第5种状态。第七步，人带羊过河，大功告成。
按照这种方法，第二种方案请你自己完成。你会发现，也是用了七步，也就是说，人要把狼、羊、菜都安全地带到河对岸去，至少要摆渡七次，而且，如果要求每种状态不重复出现，渡河问题只有两解。
“盈不足术”
如果有人出这样一道题：4个人合买一件12元的礼物。问每人应出多少钱？你会毫不费力地回答：每人应出3元。从代数的角度来看，这只不过是解方程4x=12而已，非常简单。但令人惊奇的是，象px-q=0这种简单的一次方程问题，在古代却要大费周折，用相当麻烦的办法来解决。
在中世纪的欧洲，为了解px-q=0这种类型的问题，有时要用到所谓“双设法”，即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是：设a1和a2是x值的两个猜测数，b1和b2是误差，这时有
a1p-q=b1（1）
a2p-q=b2（2）
（1）-（2）得p（a1-a2）=b1-b2，p=b1-b2a1-a2.
（1）×a2-（2）×a1，得-q（a2-a1）=a2b1-a1b2
即q=a2b1-a1b2a1-a2
因此，x=qp=a2b1-a1b2b1-b2是就求出了x的值。在代数学的符号系统发展起来之前，“双设法”是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法，并得到广泛的应用。十三世纪著名的意大利数学家斐波那契，最早介绍了这种方法，并把它叫做“阿尔-契丹耶（elchataym）”，这显然是阿拉伯语的音译。因为在11-13世纪，这种方法就引起了阿拉伯数学家的重视，并称之为“契丹算法”。另一方面，我们知道当时阿拉伯人所说的“契丹”，实际上就指的是中国。“契丹算法”就是“中国算法”。由此看来，“双设法”追本溯源应该来自中国，来自中国古代的“盈不足术”。我国的“盈不足术”很可能经由阿拉伯传入欧洲，在欧洲数学发展中起了重要的作用。
“盈不足”又称“盈肉”（róu），是我国古代解决“盈亏类”问题的一种算术方法，“盈”就是“多”，“不足”就是“少”。我国古代数学名著《九章算术》里有一章就叫做“盈不足”，其中第一个问题是：“今有共买物，人出8，盈3；人出7，不足4.问人数、物价各几何？”这道题的题意是：现在有几个人合起来买东西。如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元。问人数和物价是多少？《九章算术》给出了这个问题的一般解法，我们用现在的代数式来表示：设每人出a1，盈（或不足）b1；每人出a2，盈（或不足）b2.其中，在盈的情况下，b1，b2＞0，不足时，b1，b2＜0.于是，人数p或物价q可由下列公式计算出来：
p=b1-b2a1-a2q=a2b1-a1b2a1-a2
在上述问题中，由这两个公式可得人数p=7（人），物价q=53（元）。
“盈不足术”是中国古代数学的一项杰出成就。用“盈不足”算法，不仅能解决盈亏类问题，而且还能解决一些较复杂的问题。例如，设好地一亩产粮300斤，次地七亩产粮500斤；现在有一顷地共产粮1万斤；问好地和次地各有多少亩？这道题虽然没有给出“盈”和“不足”的数值，但可以假定有好地20亩，次地80亩，于是，可算出这种情况应多产粮171427斤。如果假定有好地10亩，次地90亩，则应少产粮57137.因此，根据上述公式即可算出好的有12亩半，次地有87亩半。
当然，应用我们学到的一次方程或二次方程等代数知识，很容易解决日常遇到的算术难题，不必多此一举地再用“盈不足术”了。但在高等数学范围内，有时还要用盈不足术推求高次数字方程或函数实根的近似值。
牛顿问题
牛顿是17世纪英国最著名的数学家。他不仅勇于探索高深的数学理论，也很重视数学的普及教育，曾专门为中学生编写过一套数学课本。牛顿认为：“学习科学时，题目比规则还有用些。”所以在书中编排了许多复杂而又有趣的数学题，用来锻炼学生的数学思维能力。下面这个题目就是书中一道著名的习题。
“有3块草地，面积分别是313顷、10顷和24顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地可以供12头牛吃4个星期，第二块草地可以供21头牛吃9个星期，那么，第三块草地恰好可以供多少牛吃18个星期？”
这个题目的确复杂而又有趣。因为在几个月的时间里，被牛吃过的草地还会长出新的青草来，而这青草的生长量，又因时间的长短、面积的大小而各不相同！
牛顿潜心研究过这个题目，发现好几种不同的解法。他认为，下面这种比例解法最为有趣。
首先，假设草地上的青草被牛吃过以后不再生长。因为“313顷草地可以供12头牛吃4个星期”，按照这个比例，10顷草地就可以供8头牛吃18个星期，或者说可以供16头牛吃9个星期。
由于实际上青草被牛吃过以后还会生长，所以题中说：“10顷草地可以供四头牛吃9个星期。”把这两个结论比较一下就会发现，同样是10顷草地，同样是9个星期，却可以多养活21-16=5头牛。
这5头牛的差额表明，在9个星期的后5周里，10顷草地上新生的青草可供5头牛吃9个星期。也就是说，可以供2.5头牛吃18个星期。
那么，在18个星期的后14周里，10顷草地上新生的青草可供多少头牛吃18个星期呢？5：14=2.5，不难算出答案是7头牛。
接下来综合考虑18个星期的各种情况。
前面已经算出，假定青草不生长时，10顷草地可以供8头牛吃18个星期；考虑青草生长时，10顷草地上新生的青草可以供7头牛吃18个星期。因此，10顷草地实际可以供8 7=15头牛吃18个星期。按照这个比例，就不难算出24顷草地可以供多少头牛吃18个星期了。
10：24=15.
显然，处应填36，36就是整个题目的答案。
欧拉问题
无独有偶。大数学家欧拉也很重视数学的普及教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识，为学生编写数学课本。尤其感人的是，1770年，年迈的欧拉双目都已失明了，仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本著作出版后，很快就被译成几种外国文字流传开来，直到20世纪，有些学校仍然用它作基本教材。
为了搞好数学普及教育，欧拉潜心研究了许多初等数学问题，还编了不少有趣的数学题。也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一，这些题目流传甚广。例如，在各个国家的数学课外书籍里，都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。
“两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样，赚得钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就能赚15枚铜币。’第二个农妇回答说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就只能赚623枚铜币。’问两个农妇各带了多少只鸡蛋？”
历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前3世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题：
“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你驮的货物给我1口袋，我驮的货物就比你重1倍；而我若给你1口袋，咱俩才刚一般多。’问驴和骡各驮了几口袋货物？”
12世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道相似的习题：
“某人对一个朋友说：‘如果你给我100枚铜币，我将比你富有2倍；’朋友回答说：‘你只要给我10枚铜币，我就比你富有6倍。’问两人各有多少铜币？”
但是，“欧拉问题”却编出了新意，由于两种“如果”出的答数无倍数关系可言，使得题中蕴含的等量关系更加行踪难觅，解题途径与上述两题也不相同。
下面是欧拉提供的一种解法。
假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以，第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。
如果在出售之前，两个农妇已将所带的鸡蛋互换，那么，第一个农妇带有的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格，都将是第二个农妇的m倍。也就是说，她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。
于是有m2=15：623
舍去负值后得m=3/2、即两人所带鸡蛋数目之比为3：2.这样，由鸡蛋总数是100，就不难算出题目的答案了。
想出这种巧妙的解法是很不容易，连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。
百鸡问题
公元5世纪南北朝时期，中国古代数学家张丘建在他所著的《算经》里记载了百钱买百鸡的问题，即后来流传很广的百鸡问题。故事内容大概是这样的：
有一位宰相听说张丘建擅长数学，就把他的父亲召去，命他拿100文钱到市场去买公鸡、母鸡、小鸡共100只。当时市场上鸡的销售价格是：公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡每3只1文钱。老人回家对张丘建讲了这件事，张丘建叫他父亲买4只公鸡、18只母鸡、78只小鸡去见宰相。宰相一见，恰好是100文钱买鸡100只，于是非常高兴，又拿出100文钱，要求再买100只鸡，但不能按原来的方案买。这一次，张丘建让他父亲买了8只公鸡、11只母鸡和81只小鸡。宰相非常惊奇，他想为难一下张丘建，于是召来张丘建，给他100文钱，命他再采用一种新方案买100只鸡。张丘建很快买回了12只公鸡、4只母鸡和84只小鸡，又恰好是100文钱买公鸡、母鸡和小鸡共100只。
实际上，这是一个典型的不定方程问题。关于百鸡问题，可设x、y、z分别表示公鸡、母鸡、小鸡的数目，则得下面方程：
5x 3y 13z=100
x y z=100
消去z，再化简得7x 4y=100，即y=25-74x。因为y是非负整数，所以0≤x＜15，而x又是4的整数倍，故x只能是0、4、8、12，于是得：
x=0
y=25
z=75x=4
y=18
z=78x=8
y=11
z=81x=12
y=4
z=84国王赏不起的米
古印度有个大名鼎鼎的国王，非常爱玩游戏。
有一次，他突发奇想，下令在全国张贴招贤榜：如果谁能替国王找到奇妙的游戏，将给予重赏。
一个术士揭了招贤榜。他发明了一种棋，使国王玩得舍不得放手。国王高兴地问术士道：“你要求本王赏赐些什么？”术士赶忙拜倒：“大王陛下在上，小小术士没有特殊的要求，只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米，在第二个格子里放下两粒米，在第三个格子里放下4粒米，然后在以后的每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米，64个格子放满了，也就是我要求的奖赏了。”国王一听，这点米算什么，就一口答应了。可是，当找来算师一五一十地算了以后，使国王大吃一惊，原来这些米可以覆盖全地球，全世界要几百年才能生产出来，根本无法赏给这位术士。
为什么这个棋盘里的米会有这么多呢？
让我们算一算看：
第一个格子里是1粒，第二个格子里是2粒，一共有3粒，或者，等于：
2×2-1=3
加上第三个格子的4粒，一共是7粒，即
2×2×2-1=7
再加上第四个格子的8粒，共有15粒，即
2×2×2×2-1=15
也等于：
24-1=15
所以，从第一格到第四格的米粒总数就等于2的4次乘方减去1.那么，从第1格到第64格的米粒总数，将等于2的64次乘方减去1，即：
2×2×2……×2-1=264-1
64次
为什么这个数字会这么惊人呢？原来这个术士聪明地运用了数学上的几何级数，那是把2作为基本倍数，棋盘上的格数作为这个基本倍数的乘方，即2的n次方。棋盘上一共有64格，n就等于64，但是要减去第一格上那一粒米的数值，即264-1，然后再除以基本倍数减去第一格上数值的差，即2-1.这样：
2n2-1=264-11=264-1
看来，一粒米、两粒米这个数目很小，算不得什么，可是，用几何级数一算，却成为一个不可想象的巨大数字。愚蠢的国王怎能领会几何级数的奥妙呢。
墓碑上的数学
丢番图是古代希腊著名的数学家，关于他的年龄在任何书上都没有明确的记载，可是，在他的墓碑上却刻下了关于他的生平资料。如果依据墓碑上提供的生平资料，用数学方法去解答，就能算出数学家丢番图的年龄，这就是人们所说的“墓碑上的数学”。
丢番图的墓碑上到底刻了些什么呢？
过路人，丢番图长眠在此。倘若你懂得碑文的奥秘，它就会告诉你丢番图一生寿命究竟有多长。
“他的生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，他度过了愉快的青年时代；后来丢番图结了婚，这样又度过了一生的七分之一；再过五年，他得了第一个儿子，感到很幸福，可是命运给这个孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲寿命的一半；自从儿子死了以后，他努力在数学研究中寻求慰藉，又过了四年，终于结束了尘世的生涯。”
现在让我们从碑文中去寻求解答问题的各种数量关系。
先用方程解。我们假设丢番图的年龄是x岁；他的生命的六分之一是童年，童年便是x6；再活了他生命的十二分之一，就是再活了x12；他结婚又度过了一生的七分之一，便是x7；再过五年生了儿子，儿子的生命是父亲寿命的一半，那就是x2；儿子死后的四年，他结束了一生。
根据以上分析可以列出方程：
x=x6 x12 x7 5 x2 4
解：
84x=14x 7x 12x 42x 756
9x=756
x=84
这就是说，丢番图活了84岁。
也可用算术方法解。我们把丢番图的年龄看作整体“1”，童年是16，青年是112，结婚后度过了一生的17，又过了5年生儿子，儿子年龄是他父亲生命的12，又过4年，结束了一生。
由此说明（4 5）年恰好是他一年的（1-16-112-17-12）。列式为：
（4 5）÷（1-16-112-17-12）
=9÷84-14-7-12-4284
=9÷984
=84（岁）
由此可以得知，丢番图21岁结婚，38岁做了爸爸，儿子只活了42岁，儿子死的时候，丢番图是80岁，儿子死后4年，这位84岁的老人给自己的一生画了一个句号。
丢番图的主要著作有《算术》一书。在书中，除了记述代数原理外，还记述了不定方程及其解法。丢番图研究的不定方程问题，对后来的数学研究影响很大，后人也把不定方程称为“丢番图方程”。
六人集合问题
六个人参加集会。这其中，有多少人相识，有多少人不相识？这个问题经常把人问得瞠目结舌。但如果将其转化为“图论问题”来解决，则疑难迎刃而解。
我们把六个人看作是平面上的六个点A、B、C、D、E、F（为清晰起见，假定六点中无三点共线），相识的二者之间用实线连接，不相识的二者之间用虚线连接。于是问题便转化为，是否一定能连得一个实边三角形或一个虚边三角形。
我们以A为基点进行全面分析，A与其他点之间的连线共有六种情况，即五条实线；四实一虚；三实二虚；二实三虚；一实四虚；五条虚线。不难看出前三种情形的解决便导致了后三种情形的解决，B、C、D三点若全部用虚线连结则问题得证。先出现一条实线比如BD，则ABD为实边三角形，同样问题得证。
上面的问题做一个古老的数字游戏，我们是把它转化为“图论问题”来解决的，并得到了一个重要的“图论定理”：用实线或虚线连结六点中的各两点之后，则至少有一个实线作成的三角形或一个虚线作成的三角形。解决问题中所采用的形式转化和全面分析等都是富有启发性的。
破碎砝码的妙用
一个商人不慎将一个重40磅的砝码跌落在地面上碎成4块恰巧每块都是整数磅，后来他又意外发现，可以用这4块碎片做成可以称1到40磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜，这4块碎片的重量各是多少？
这就是著名的德·梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术，使问题得到解决。
他是这样演绎的：
首先说明一个结论：如果有一系列砝码，把它们适当地分放在天平的两个托盘上，能称出1到n的所有整数磅重物（这时这些砝码重量的和也一定为n磅）。另设有一块砝码，它的重量为m磅（m=2n 1），那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从1到3n 1的所有整数磅的重物。
因为，原砝码组可称出重量1到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n 1到3n 1磅的所有整数磅重物。
由此可判定这4块砝码的重量：
第一块砝码取m1=1（磅）；
第二块砝码取m2=2×1 1=3（磅）；
第三块砝码取m3=2（1 3） 1=9（磅）；
第四块砝码取m4=2（1 3 9） 1=27（磅）。
用这4块砝码可秤从1到（1 3 9 27）=40磅间的任何一个整数磅重物。
奇妙的追击
四只龟在边长3米的正方形四个角上，以每秒1米的速度同时匀速爬行。每只龟爬行方向是追击其右邻角上的龟，问经过多少时间他们才能在正方形的中心碰头。
这就是思维魔术家马丁·加德纳的“四龟问题”。
这四龟在任何时候，始终位于正方形的四个角，四龟的不停爬行，使所构成的正方形越来越小，最后，终于碰头于正方形的中心。
这四龟所行的路线显然不是直线，要直接计算行程，使人感到无从下手。怎样解决这个难题呢？
我们分析相邻两龟的爬行，其方向总是构成直角。前龟的移动并不影响两龟之间的距离，它的移动可略去不考虑。这就相当于前龟停留在一个正方形的一角，而后龟沿着正方形的一边向它爬去。这样，当它们在正方形中心相遇时，各龟的爬行路线长刚好都等于正方形的边长，所以需要3001=300秒。就是说5分钟后四龟在正方形中心碰头。
古希腊三大几何问题
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等份任意角和化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等份任意角就都是可测量的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”（即半径固定的圆规）的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。
博弈论
下棋已成为许多人茶余饭后乐此不疲的一项业余爱好。既要对弈，就必有胜负。赢棋的奥妙是一个很值得研究的问题。而研究这类问题的学问就是博弈论，又叫对策论。
博弈论是20世纪20年代才发展起来的新兴学科，由冯·诺曼等人的研究开始，最先被用于考虑经济问题和军事问题，之后也被用解决一些社会问题。下面用一个简单的例子来看看是如何考虑问题的。
例如，两人轮流在国际象棋棋盘的空格内放入“相”棋，一方为黑棋，一方为白棋。当任何一方放“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”吃掉，谁先无法放棋子谁为输者。问谁为输者？（国际象棋棋盘为8×8格的方形棋盘，“相”的走法为斜飞，格数不限）
答案是先走棋者输。具体策略是：后走者以棋盘的一条竖直平分线为对称轴，将“相”放在对方棋子的对称位置。这种策略对后走棋者来说是必胜策略。因为先走者走棋后，按策略，后走者总可以走棋，而且因为“相”的斜飞规则，后走者的棋不可能吃先走者的棋，同时也不可能被先走者的棋吃掉。这样按策略走下去，先走者必输无疑。
选择与推理
对于复杂的问题，只要已知条件是充分的，能不能得出正确的结论，关键在于能否掌握正确的推理方法，从而选择出准确的结果。
流传很广的“谁养斑马”就是一个有趣的例子。这道号称世界难题的题，起源于美国，轰动一时，使很多人着了迷。它像一阵风，吹到世界各地，到处便掀起了解题热。在我国青少年中，同样也引起了反响，甚至一些老人也参加了研究和讨论。
原题说的是：某地从西向东，排列着五幢颜色各不相同的房子，侨居着5个不同国籍的人，他们都喜欢饲养动物，并且所养的动物种类各不相同。另外，5个人各喝不同类型的饮料，抽不同牌子的香烟。请你找一找：谁是喝水的人？谁是饲养斑马的人？已知条件有：
1.英国人住的是红色房子；
2.西班牙人养的是狗；
3.住绿色房子的人喝咖啡；
4.乌克兰人喝茶；
5.绿色房子位于白色房子相邻的东侧；
6.抽万宝路牌香烟的人养蜗牛；
7.住在黄色房子中的人抽可乐牌香烟；
8.正中那幢房子的主人喝牛奶；
9.挪威人住在西边第一幢房子里；
10.抽本生牌香烟的人和养狐狸的人是隔壁邻居；
11.抽可乐牌香烟的人和养马的人也是隔壁邻居；
12.抽肯特牌香烟的人喝桔子水；
13.日本人抽摩尔牌香烟；
14.挪威人和住蓝色房子的人是隔壁邻居。
这个题头绪很多，关系复杂。请你自己动手画一个图，便目了然了。
问题涉及：房子自西向东的顺序号码是1、2、3、4、5；房子的5种颜色；5个国家；5种饮料；5种香烟；5种动物。5×6=30，共30个元素。每个元素用一个字表示。
根据已知条件，在两个字之间连线。例如，条件1，英国人住红房子，便连一条线：
英红（条件1）；
同理，还可以画出：
西狗（条件2）；
绿咖（条件3）；
乌茶（条件4）；
万蜗（条件6）；
黄可（条件7）；
3奶（条件8）；
1挪（条件9）；
肯桔（条件12）；
日摩（条件13）；
2蓝（条件14）；
另外，还有三个条件没有用上，就是：
条件5，绿色房子与白色房子相邻，绿在东；
条件10，抽本生烟的人在养狐狸的人隔壁；
条件11，抽可乐烟的人在养马的人隔壁。
把条件5和条件1、条件9结合起来，得：
1——黄。由1，1不可能是红的；由2——蓝，和由白绿相邻，1也不可能是白或者绿。
从连线情况看出，抽可乐烟的人住1.用条件11，又得2——马。这样，图上已有13条连线了。
再用条件5，绿白相邻，红房子只能是3或者5了。这需要分两种情况讨论：
A，要是红房子是第5，得：
红……5，白……3，绿……4.这些是在假定A之下推出来的，用虚线连，表示区别于题设条件。
进一步，得：
乌——蓝。乌兰克人要是住白，应该喝奶；要是住绿，应该喝咖啡，都与茶矛盾，所以只有住蓝色房子。
乌……本。乌克兰住2必养马，所以不能抽万宝路，又因为不喝桔子水，所以不能抽肯特。
西——肯，因为西班牙人不养蜗牛，所以不抽万宝路。
于是，西班牙人要喝桔子水。这样，西……绿、西……白都不可能。推出了矛盾，说明这个假设红……5行不通，虚线作废。
B，红房子一定是第3.于是，红——3，白——4，绿——5.
乌克兰人只能住在蓝或者白，又需要分两种情况来讨论。
B1，由乌——白，得西——绿。因西班牙人养狗，不能在2.
于是得西——本。因西班牙人喝咖啡，不能抽肯特。
由条件10，西班牙人隔壁养狐，得白——狐。因为乌住白，养狐，不能抽万宝路。
于是，乌克兰人又喝茶又喝桔子水，矛盾。
B2，由乌——蓝，得乌——本。因乌——养马，不能抽万宝路；喝茶，不能抽肯特。
西——肯。西养狗，不能抽万宝路。
英——万。用条件10，养狐人是抽本生的隔壁，而英国人养蜗牛，只有挪——狐。
结论：日本人养斑马；挪威人喝水。
从上例可知，要想做出正确的推理和选择，对错综复杂的现象需慎重分析与判断。
欧拉的奇妙公式——F V-E=2
数学思想的特点是，一旦它们被确定为真，它们应适用于所有情形。例如，要将前K个计数数相加，1 2 3 …… k，只需代入公式k（k 1）/2.这公式在数学上曾用所谓归纳法得到证明。按照自然法则，不可能就从1开始的相继计数数的每一个可能的集合对这公式作出验证，但是数学证明之美在于它们不需要蛮力。瑞士数学家伦哈德·欧拉以他的许多数学发现著称，特别是在拓扑学领域。他对柯尼斯堡桥问题的解被认为开创了拓扑网络的研究。拓扑学研究的是物体变形时保持不变的那些特性。例如，将立方体拉长和压扁，可使它变形成四面体，反之亦然。立方体的大小显然变了，它的面、顶点和棱的数目也是如此。结果人们会问，哪些特性留下来保持不变呢？一种观察是立方体内部的任一点仍旧是四面体的内点。除拓扑学之外，欧拉证明的有关多面体的一种不变特性的一个迷人的定理是：如果将多面体的面数与顶点数相加再减去棱数，结果总是2.F V-E=2.可在柏拉图立体上做试验。如果你有充沛的精力，可再在菱形三十二面体上试一下。
埃及乘法
埃及乘法存留了好多世纪，并且传播于各种文明。在古希腊学校中，它以埃及计算的名称教给学生。在中世纪，它的技巧在教学和论述中有专门的名称，例如加倍法和减半法。这里是赖因德草卷中的一个例子，记载着一位埃及文牍员是怎样做12×12的。先从12开始。然后加倍得24，再加倍得48，又加倍得96.接着在4和8旁边划斜撇，指出它们的和是12.于是把它们的对应数相加，得答数144.埃及乘法免除了背乘法表，因为它主要依靠加法。
除法与此相似。要将1120除以80，你只要找出80乘上多少能得1120.除数或者加倍，或者乘以10，100，1000等等，视被除数大小而定。于是可将结果加倍，直至一个等于1120的和被找到为止。如果问题是除不尽的，埃及人就用分数，像在47÷33的例子中。
向2逼近的梯子
古希腊人发现了用毕达哥拉斯定理作出无理数长度的方法。他们利用内接和外切正多边形以及无穷大和极限的概念来逼近圆的面积。他们还想出一种运用比率的梯子算术来求出无理数的近似值。这里介绍如何用这方法求2的近似值。
梯子同一级上两数的比值就含有比率1：2，让我们把这个比率挤出来。事实上，这些比值越来越近于1/2.它们的极限就是1/2的值。
注：梯子每级上的两数是方程y2-2x2=±1的解。x值是梯子左列的数。1/2=0.707106781……
1/1=1
2/3=0.666……
5/7=0.71428571428……
12/17=0.70588235294……
29/41=0.70731707317……
70/99=0.7070……
能翻译中国古书的专家是很难找到的。能翻译与数学思想有关的中国著作的专家就更加难找了。这就是关于中国数学题。
内正方形的面积被标明为5×5或52=25平方单位，这正方形被分面面积为（1/2）（3×4）的4个直角三角形和面积为1×1的一个正方形，共计25平方单位。在下右图中，同一正方形被分成两个较小的互相交叠的正方形，一个是3×3，另一个是4×4.它们的交叠部分与5×5正方形中没有被它们占据的空余部分面积相同，这说明大正方形的面积（52）等于两个小正方形的面积即32与42的和。
材的例子较少的原因。弦图，是中国数学家运用几何和算术工具获得代数结论的技巧。附图采自中国古书《周髀》。《周髀》的年代是有争议的，可能范围是从公元前1200年到公元100年。如果公元前1200年是准确的，那末它就是现在所知道的对于毕达哥拉斯定理的最早证明之一，比毕达哥拉斯及其信徒们的时代更早。在整个历史上，毕达哥拉斯定理曾经出现在众多文明之中。在建筑上，它是保证作成直角的一种方法。在数学上，这个定理曾经是并且至今仍是贯串许多数学学科的一个不可缺少的工具。
两个阴影矩形面积的和等于小阴影正方形（由两个交叠正方形造成）的面积。令5、4和3为变量c、b和a的值，从而证明a2 b2=c2.这个图说明正方形的面积如何通过那4个三角形和中间单位正方形面积的相加而求得。一般地，它证明了
c2=4（1/2）ab （a-b）2=2ab （a2-2ab b2）=a2 b2.
完全平方数
完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方。例如，36是6×6，49是7×7.
你知道吗？
·从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数，n2——即
1 3 5 7 …… （2n-1）=n2.
例如1 3 5 7 9=25=52.
·每一个完全平方数的末位数是
0，1，4，5，6，或9.
·每一个完全平方数要末能被3整除，要末减去1能被3整除。
·每一个完全平方数要末能被4整除，要末减去1能被4整除。
·每一个完全平方数要末能被5整除，要末加上1或减去1能被5整除。
π的寓言
很多年以前，当时的那些数有一次盛会。数1在会上得意非凡。数2带着所有其他偶数出席。凡能找到的素数统统都来了。甚至还来了一些分数，像1/2、1/4和2/3.有几个根式也到场，像刚刚从以3为斜边的直角三角形上下来的2和7.但是当π翩然而至时，每一位都问道，“谁邀请你了？”“你说‘谁邀请我’，这是什么意思？”π问道，“我是一个数。”“你的确是一个数，但是你知道你在数轴上的位置吗？”“那末2呢？”π问道。“依照毕达哥拉斯定理，并且用圆规，我确切地知道我在数轴上的位置，”2回答道。
π感到窘迫和痛心，但它说道，“我在数3后面一点。”
“但是确切的位置在哪里呢？”它们都插进来说。
因为1是每一个数的因数，1感觉到了π2和7刚从以3为斜边的直角三角形上下来。的痛苦，说道，“让我们给π一个介绍自己的机会吧。”
于是π开始讲自己的故事。你们大家都知道，大概巴比伦人最先发现了我。某个古代文牍员以不同长度的半径画了一些圆。他取了每个圆的直径（将半径加倍）。只是为了好玩，他决定以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量。使他惊奇的是，他发现不管圆的大小如何，圆周总是直径的3倍多一点。这是一个令人兴奋的发现。这个消息迅速传遍世界，从埃及到希腊到中国。人们到处都在研究我。由于我与圆的特殊关系，他们于是设计用我来计算出圆的面积和周长的新方法。人们急于求出我的精确值。请勿见怪，但是他们知道我不是一个寻常的数，特别因为他们从来没有遇到过像我这样的数。他们没有能力从他们的任何一个正规代数方程导出我，所以后来他们把我又称做超越数。你们或许认为人们已经放弃找出我的精确数值。我满足于π这个名称。它很适合于我。可是不，你知道有些数学家是多么顽强，他们希望精益求精。所以在从那时直到现在的若干个世纪中，已经发展出一些新的工具和方法，以获得更准确的近似。
著名数学家阿基米德发现我在31071与313之间。我在《圣经》中出现两次，我的值被认为是3.埃及数学家用3.16作为我的值。公元150年，托勒密把我估算成3.1416.
数学家们知道他们永远得不到我的精确数值，但是他们继续不断地把我拉长，拉出越来越多的小数位。你不能想像，带着这么多小数位在身边，是多么大的一个负担。一旦用了微积分和计算机，我将长达几百万位。
他们说，对于计算各种数量，例如体积、面积、周长，以及任何与圆、圆柱、圆锥、球有关的数量，我是必要的。我在概率中也有作用。有了我的几百方小数位的近似，现代计算机将依靠我来检验它们的能力，并测试它们的准确度和速率。
“不要说了，”1叫喊道。1继续说，“我相信我们大家都同意像π这样一个有名望的数应该算在我们中间。我们毕竟知道，我们各自都在数轴上有我们自己的点。没有一个数能够占有另一个数的点。π有它的点。知道一个数的点的精确位置，并不是有关这个数的最重要的事情。”
“同意，”3叫喊道，它是神秘数中的一个。“我想π使我们这个聚会增添了一点神秘性、多样性和迷惑性，”2说。“欢迎，”其余的数都插进来说。“让我们把我们的会开起来吧。让我们开始计数吧，”π说。
迷人的素数问题
将数分类的一个方法是把它们描述成或是素数或是复合数。素数只有1和自己这两个因数。它不能被任何其他数整除。另一方面，复合数除了1和自己以外还有别的因数（例如，12不是素数，因为它的因数是1、2、3、4、6和12）。此外，每一个数可以用惟一的素数积来描述（12的素数积是2×2×3）——这积称做它的素因数分解。除了12以外，没有别的数能由两个2和一个3相乘而得。18世纪初，克里斯琴·哥德巴赫写信给伦哈德·欧拉，说他相信能证明除2以外的每一偶整数是两个素数的和（例如，8=5 3；28=11 17）。这个清楚而简单的陈述至今仍是未解决的数学问题之一。数学家所探究的其他迷人的素数问题中有孪生素数、梅森素数和索菲·热尔曼素数。
欧几里得对素数无穷的证明
看来人们在正整数领域走得越远，素数将变得越来越稀少。人们可能想，因为它们出现的频率越来越小，它们或许将在某处终止。早在公元前约300年时，欧几里得第一次证明了素数是无穷的。他用的是如下的间接论证：
设n代表最后一个素数。
·现在，从所有素数直至并包含最后素数n的积得出数2×3×5×7×11×……×n。
·将这个积加1，称这数为k。k=2×3×5×7×11×……×n 1.
·k是素数！假使k不是素数，那末我们用来得出上述积的素数表中一定漏掉了一个素数。我们知道2，3，5，7，11……，n都不能整除k，因为我们每一次用2，3，5，7，11……，n中的任何数来除时，总余下1.因此k必然是一个新的素数。所以素数是无穷的。
作为数学中的花絮——在1至1000之间有168个素数，在1000至2000之间有135个，2000至3000间有127个，3000至4000间有120个。
“四色问题”
在给地图着色的时候，我们总是给相邻的不同区域涂上不同的颜色，使这些区域互相之间有所区别。那么，画一张地图，要用多少种不同的颜色呢？如果一张地图需要用四种颜色着色，我们就称它为“四色地图”；如果需要用五种颜色，我们就称它为“五色地图”；依此类推。
1852年10月，刚从伦敦大学毕业不久的青年数学家弗兰西斯·古色利在为一张英国地图着色时，发现最多只要4种颜色，就能把相邻的国家区分开来。古色利写信把自己的发现告诉在大学学习物理的弟弟弗雷德里克，弗雷德里克又向他的数学老师摩根提出，摩根又去请教哈密尔顿，并由此引起了一场长达120多年的证明大战。这就是著名的“四色问题”，它与费马大定理、哥德巴赫猜想一起，被称为近代三大数学难题。
1879年，肯泊在一篇论文中发表了一个证明，1890年，希伍德指出了肯泊证明中的错误，同时也指出，肯泊的方法可以用来成功地证明每个地图都可用5（或少于5）种颜色着色。这就是“五色定理”。
但是从五色减为四色，却困扰了许多数学家。因为要证明四色问题，就要考虑到所有可能画出来的地图，而可能画出来的地图又是多得不计其数。1940年，温恩证明了任意35个或少于35个区域的地图可用4种或少于4种的颜色着色；1968年，奥尔和史坦普尔声明他们把区域个数从35提高到了39.在最终得到证明前，这个数字最高曾经达到96.进入70年代以后，人们大大改进了证明的方案，同时计算机的运算能力也有了很大的提高。1976年，美国伊利诺大学的两位数学家阿倍尔和哈肯分别在三台电子计算机上，花费了1200个小时计算，终于完成了四色定理的证明。这是1976年世界数学领域的一件大事，也代表了计算机数学时代的来临。从此，四色问题从猜想发展成为定理。尽管如此，仍有许多人在寻求着书面的证明。
“一笔画问题”
有这样一个迷宫，只有A1一个出口，里面是全封闭的。你能从A1点出发不重复地走过所有通道，再从A1点出来吗？这实际上是一个古老的数学游戏——“一笔画”问题，即由某些点和线段所组成的各种图形，能不能不重复地由一笔画成。
什么样的图形可以一笔画成？这些图形有没有什么规律呢？下面我们来看一个图形，图中任意两点都可以用若干线段把它们连接起来，这样的图形称为是“连通”的。图中的点可分为两类：凡是从这个点出发的线段的数目是奇数的，称为奇点（如A、B点）；凡是偶数的，就称为偶点（如C、D、E、F、G、H点）。虽然图形各式各样，但能够一笔画成的图形却只有两种情况：
1.图形中所有的点都是偶点，就可以从图形的任意一点出发一笔画成；
2.图形中只有两个奇点，可从其中一个奇点出发一笔画成。
为什么这两种图形可以一笔画成呢？
我们来看第一种情况，图形是连通的，而且没有奇点。从图上任意一点出发，可以划一条闭回路，如从A1出发，经A2、A5、A6最后回到A1（即图上虚线划出的部分）。现在将这一部分擦去，留下的部分，这个图形仍旧只有偶点。同样可以像上面一样找到一条闭回路，如A6、A7、A3、A6.又因为A6这一点在上一条闭回路中也有，因此，可以将后面的闭回路接到前面的闭回路上去，得到这样一条更大的闭回路：A1、A2、A5、A6、A7、A3、A6、A1.下面把这一条闭回路也擦去，再在留下的部分中找闭回路，再接到上面的闭回路中去。这样下去，可以把整个图形连接成一条闭回路，也就是说把整个图形一笔画成。
现在就能很容易地说明第二种情况了。只有A4、A6两个点是奇点，其余都是偶点。我们只要在两个奇点之间添一条线，它们也都变成了偶点，这就成了第一种情况了。于是可以把这个图形一笔画出，并且第一笔画的可以就是添上去的那条虚线。如A6、A4、A2、A1、A6、A5、A4、A3、A2、A6.再把第一笔去掉，就把原来的图形一笔画出了：A4、A2、A1、A6、A5、A4、A3、A2、A6.
到这里，我们可以很容易地解决开头的迷宫问题了。因为里面走道所形成的图形是连通的，而且交叉点全是偶点，所以要不重复地走过所有走道，再回到出发点是可能的。其中一种走法是：A1、B2、B1、C1、C2、D2、D1、E1、E2、F1、F2、E3、E2、D2、D3、C3、C2、B3、B3、C3、C4、D4、D3、E3、E4、F3、F3、E5、E4、D4、D5、D6、E6、E5、D5、C5、C4、B4、B5、B6、C6、C5、B5、A4、A3、B4、B3、A2、A1.
其实，还有很多种走法，你不妨试一试。
你知道什么是“周游世界”游戏吗
1859年，英国大数学家哈密顿提出了一个著名的数学游戏——“周游世界”。他把正十二面体上的20个顶点，看成是当时世界最著名的20个大城市，要求游戏者从某一个城市出发，沿着各条棱前进，把所有的城市无遗漏也不重复地全部通过。那么能找到这样一条路线吗？
正十二面体中有12个面，20个顶点，30条棱，又是一个空间图形，所以求解比较困难。在七桥问题中我们已经知道，顶点的位置及边的长短、曲直对问题的解决没有影响。所以我们可以把背后那个面剪破摊平，可以得到图形，这样问题就比较容易了。
由于每个顶点在正十二面体中的地位是相同的，所以可将中任何一点作为初始顶点。不妨选1号点，按照图中所示的点的顺序，从1号到20号从里层到外层，就能完成“周游世界”的游戏。
“周游世界”游戏在图论中具有重要的意义，具有这种性质的图被称为哈密顿图。一个图成为哈密顿图的充分必要条件是什么呢？这个问题称为哈密顿问题，是当代图论中尚未解决的重要问题之一。这方面的研究在运筹学、计算机科学以及编码理论中有许多应用。
有兴趣的话，大家可以自己动手试一试，利用足球上的顶点和棱，做一个类似的“周游世界”游戏。