和球只有一个公共点的平面叫做球的切面，和球只有一个公共点的直线叫做球的切线，切面或切线和球的公共点叫做切点。
球的切面和切线的判定定理是：
（1）经过球半径的外端且垂直于这条半径的平面是这个球的切面；
（2）经过球半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个球的切线；
球的切面和切线的性质定理是：
（1）球的切面或切线垂直于过切点的球的半径；
（2）经过球面上一点的球的切线有无数条，这些切线都在过这点且垂直于过这点的球半径的平面内（即过这点的切面内）；
（3）经过球外一点作球的切线有无数条，它们的切线长度相等，切线与该点和球心连线的夹角相等。
说明：读者可试着把球的切线和切面与平面几何中圆的切线进行比较，并证明上面讲到的定理。
【球的表面积】
球面面积等于它的大圆面积的4倍。即S球面=4πR2，其中R为球半径。
证明球的表面积公式要用到极限的思想和下面的定理。
定理：球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h，球心到母线的距离为p，那么圆台的侧面积为2πph。
例高为h的圆锥内有一个球O1与圆锥底面、侧面都相切，另有一个小球O2与球O1相切且与圆锥侧面相切，要使球O2有最大的表面积、求圆锥的顶角有多大，并求出球O2的最大表面积。
解作出轴截面。
设球O1、球O2的半径分别是r1，r2。
PDO2∽PEO1，r1r2=h—2r1—r2h—r1，
r2=r1（h—2r1）h，当r1=h4时，r2最得最大值h8，这时sin∠APC=r1h—r1=13，
球O2有最大的表面积时，圆锥的顶角为2arcsin13，最大的半球O2的表面积是116πh2。
【球冠】
球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高。
定理：球冠的面积等于截成它的球面上大圆周长与球冠的高的积，即S球冠=2πRh。
【球扇形】
在半圆内的一个扇形，绕着半圆直径所在的直线旋转一周所得到的几何体叫做球扇形，球扇形可以看作是由一个球带和两个圆锥面围成的或由一个球冠和一个圆锥面所围成的。这里的球带或球冠叫做球扇形的底面，圆锥面叫做球扇形的侧面。
【球带】
球面夹在两个平行截面之间的部分叫做球带，截得的两个圆叫做球带的底，两个平行截面之间的距离叫做球带的高。
定理：如果球的半径是R，球带的高是h，那么球带的面积S球带=2πRh。
【球缺】
球冠和截得它的截面所围成的几何体叫做球缺，球冠的高叫做球缺的高，截面叫做球缺的底面。球缺也可以看成是一个球被平面截下来的一部分。
【球台】
球带和截得它的两个截面所围成的几何体叫做球台，球带的高叫做球台的高，两个截面叫做球台的底面。球台也可以看成是一个球被两个平行平面所截，两个截面之间所夹的球的部分。
【柱、锥、台的侧面展开图】
（1）直棱柱的侧面展开图是一个矩形，它的长等于底面多边形的周长，宽等于棱柱的高；
（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的长等于圆柱底面圆的周长，宽等于圆柱的高；
（3）正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形组成的图形，等腰三角形的底边长等于正棱锥的底面边长，腰长等于正棱锥的侧棱长；
（4）圆锥的侧面展开图是一个扇形，它的弧长等于圆锥底面圆的周长，它的半径等于周锥的母线长，侧面展开后扇形的中心角θ=R1·360°或2πR1A弧度（其中R是底面圆的半径，1是母线长）；
（5）正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组成的图形，等腰梯形的上、下底边长分别等于正棱台上、下底面的边长，一腰长等于正棱台的侧棱长；
（6）圆台的侧面展开图是一个扇环，它的内、外圆弧长分别等于圆台上、下底面圆的周长，侧面展开后扇环的中心角θ=R—r1·360°或2π（R—r）1弦度，（其中R、r分别是下、上底面圆的半径，1是母线长）。
例四面体ABCD中，面ABC和面BCD都是边长为2a的等边三角形，且AD=22a，要求从AB的中点M沿四面体表面到达CD的中心点N。
求最短路线的长。
解沿四面体表面从M到N共有四种走法，即跨过棱AC到达N、跨过棱BC到达N、跨过棱BD到达N和跨过棱AD到达N等，可分别以直线AC、BC、BD和AD为轴旋转含M、N两点的面得平面四边形ABCD、ABDC、ABCD和ABDC（注意其对角线长度不变的线段是AC、BC、BD和AD，请读者自己画出立体图形和平面图形相对照的示意图）。在四个平面图形上，线段MN的长度即分别为该种走法的最短距离。
当跨过棱AC时，MN=4+3a；
当跨过棱BC时，MN=2a；
当跨过棱BD时，MN=4+3a；
当跨过棱AD时，MN=2a；
总之，从M点沿四面体表面到达N点的最短路线是从M点经过BC中点E或经过AD中点F到达N点的折线段，最短路线的长是2a。
说明：有关展开图的计算一般分为两类，一类将平面图形按要求折叠成立体图形，另一类是将立体图形的面，按需要展开成侧面（或一些面）的展开图，解题时常常要把立体图形与平面图形加以对照。
【截面】
一个平面和一个多面体或旋转体相交，被这个多面体或旋转体截得的部分叫做截面。平面与几何体相交的位置不同，一般来说得到截面的形状也不同。
作截面的问题，是找出截面所在平面与几何体各面的交线问题。作多面体的截面，关键是在多面体的一个面内找到截面上的两个点。作截面根据的主要公理和定理是：
（1）平面公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
（3）三平面三交线定理：三个平面两两相交有三条交线，那么这三条交线交于一点或互相平行。
注意：n面体的截面多边形的边数，最多不得超过n，最少不得小于3。
【棱柱的截面】
棱柱的截面是多边形。
（1）经过棱柱的不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面，棱柱的对角面都是平行四边形，直棱柱的对角面都是矩形。
（2）和棱柱的各侧棱垂直相交的截面叫做棱柱的直截面。
（3）平行于棱柱底面的截面是和底面全等的多边形。
【棱锥的截面】
棱锥的截面是多边形。
（1）经过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面。棱锥的对角面都是三角形，正棱锥的对角面是等腰三角形。
（2）平行于棱锥底面的截面是和底面相似的多边形，相似比等于棱锥顶点到截面距离和顶点到底面距离之比。
【棱台的截面】
棱台的截面是多边形。
（1）经过棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做棱台的对角面。棱台的对角面都是梯形，正棱台的对角面是等腰梯形；
（2）平行于棱台底面的截面是和底面相似的多边形，且截面面积S棱与棱台上、下底面面积满足关系式S截=1m+n（nS上+mS下），其中m∶n是截面分棱台高得上下两部分的比。
例正六棱台的上、下底面边长分别为a、2a，侧棱与底面成60°角，求对角面面积，以及过高的13（离上底13h）分点且平行于底的截面面积。
说明：本题的答案是对角面面积为33a2或3394a2，平行于底的截面面积为833a2，这个题目的错误率很高。
【圆柱的截面】
圆柱的截面主要有：
（1）经过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面。圆柱的轴截面是一个矩形，它的长和宽分别为底面圆的直径和圆的母线长。
（2）和圆柱的轴平行的截面是一个矩形，它的长和宽分别为底面圆的弦长和圆柱的母线长。
（3）平行于圆柱底面的截面是和底面相等的圆。
【圆锥的截面】
圆锥的截面主要有：
（1）经过圆锥的轴的截面叫做圆锥的轴截面。圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的腰是圆锥的母线，底边是圆锥底面圆的直径。
（2）经过圆锥的顶点和圆锥底面相交的截面是一个等腰三角形，它的腰是圆锥的母线，底边是圆锥底面圆的弦。
（3）平行于圆锥底面的截面是圆，截面圆的半径和底面圆的半径的比等于圆锥顶点到截面距离和顶点到底面距离之比。
【圆台的截面】
圆台的截面主要有：
（1）经过圆台的轴的截面叫做圆台的轴截面。圆台的轴截面是一个等腰梯形，它的腰是圆台的母线，它的上、下底是圆台上、下底面圆的直径。
（2）经过圆台的两条母线的截面（为什么一定存在？）是一个等腰梯形，它的腰是圆台的母线，它的上、下底是圆台上、下底面圆的弦。
（3）平行于圆台底面的平面截圆台所得的截面是圆，截面圆的半径r和上、下底面圆的半径r1、r2有关系式：r=nr1+mr2m+n，其中截面分圆台的高为上下两部分之比是m∶n。
【球的截面】
用一个平面去截一个球，截面是圆面。截面经过球心，球面被截得的圆最大，这个圆叫做球的大圆。不经过球心的截面所截得的圆叫做球的小圆。
球的截面有下列性质：
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有关系式r=R2—d2。
【旋转体的体积】
如果我们把棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台甚至球都看作是一种特殊的拟柱体，那么所有这些多面体和旋转体的体积也可以全部统一于拟柱体的体积公式。列下表以帮助记忆。
其中，S’、S分别表示上、下底面面积，S0表中截面面积，h表高，R表球的半径。
引理：在一个三角形所在的平面内，经过三角形的一个顶点而不经过三角形的内部引一条直线，以这一条直线为轴把这个三角形旋转一周。所得旋转体的体积等于这个顶点的对边旋转所得旋转面的面积和这个三角形在这边上的高和乘积的13。
定理1：球扇形的体积等于它的底面（球带或球冠）的面积和球的半径的积的三分之一。
说明：定理的证明要用到极限的理论。
推论：如果球扇形的体积是V，它的底面（球带和球冠）的高是h，球的半径是R，那么V=23πR2h。
定理2：如果球缺的体积是V，它的高是h，球的半径是R，那么V=13πh2（3R—h）。
推论1：如果球缺的体积是V，它的高是h，它的底面圆的半径是r，那么V=16πh（3r2+h2）。
推论2：如果球台的体积是V，它的高是h，它的上、下底面圆的半径是r1、r2，那么V=16πh（3r21+3r22+h2）。
定理3：球的体积等于球面积与半径的积三分之一。
说明：如果把球看做是圆心角为180°的扇形绕直径旋转一周而得的球扇形，那么定理3可以直接由定理1得出。
推论：如果球的半径是R，那么它的体积V=43πR3。
例圆台外切于半径为R的球，体积为球的4倍，求圆台两底的半径。
解设圆台上、下底面的半径是r1、r2。
在轴截面上由平面几何的有关知识可得r1r2=R2。
又由已知条件可得13π·2R·（r21+r1r2+r22）=4·43πR3。
r1r2=R2r21+r21=7R2r1=3—52Rr2=3+52R。
答：两底面积的半径分别是3±52R。
说明：对于旋转体来说，各元素间的特殊关系，常常存在于轴截面中。在轴截面中，要善于利用平面图形的性质，找出其特殊的关系。如本题中就用到等腰梯形有内切圆时，高h等于内切圆的直径2R，圆的半径R是上下底边长度之半的比例中项等。
【祖暅定理】
我国古代数学祖暅是5世纪末、6世纪初的人，是著名数学家祖冲之的儿子。他提出了祖暅定理，并用这个定理求得球体积的计算公式。在欧洲，直到17世纪才由意大利数学家卡发雷利提出这个定理，他也没有加以证明，但比祖暅晚了一千多年。祖暅定理的严格证明，要用到积分的知识。
祖暅定理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
【极值问题】
立体几何中的极值问题，散见于课本。求极值的方法主要有利用二次函数求极值、利用判别式法求极值、利用平均值定理求极值、利用配方法求极值、利用三角函数的有界性求极值、利用导数求极值等。
例已知球的半径为R，要在球内作一个内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？
解设圆柱的底面半径为r，高为h，侧面积为S。
解法一S=2πrh=4πrR2—r2=4π—r2+R2r2。
当r2=R22时，侧面积S有最大值2πR2，这时圆柱底面半径r=22R，高h=2R。
解法二r2+（h22）=R2为常数。
当r=h2时，r·h2有最大值R22（下略）。
解法三设过圆柱底面圆上一点的球的半径与这个底面所成的角为θ，则S=2πRcosθ·2Rsinθ=2πR2sin2θ=2πR2sin2θ。
当θ=45°时，侧面积S最大为2πR2，这时r=22R，h=2R。
说明；本题并不难，解法一是利用二次函数求最值，解法二是利用平均值定理求值最值，解法三是利用三角法求最值。