20世纪60年代以来，逻辑问题、模糊事件、突变现象等一些影响深远的数学思想及数学研究对象受到广泛重视。随着数学自身的发展，自然科学、技术科学以及人文社会科学数学化趋势的出现，当代数学的新理论和新分支应运而生。其中，以模糊数学、突变理论、非标准分析和分数维几何学等为代表。
模糊数学
在自然界社会生活领域中，存在着大量不精确、非定量的模糊性事物和现象。例如：“比较年轻”、“妙极了”、“她不是很漂亮”，这些反映在人们的思维中，便形成了一些没有明确的内涵和外延的模糊性概念。人们还可根据经验，运用模糊概念来判断和推理。但是在数学中却没有相应的理论和方法。人工智能研究对这种数学理论的创立提出了更迫切的要求。
1965年，美国加利福尼亚大学自动控制专家L·A·查德（L。A。Zadeh，1921～）首次提出了“模糊集合”的概念。模糊集合概念主要是把某个元素是不是属于某个集合变成某个元素在什么样程度上属于某个集合，来自对经典集合概念的修改和推广。在“模糊集合”上逐步建立运算和变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造研究现实世界中的大量模糊现象的数学模型，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理。模糊数学的研究可分为三个方面：一是研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数学的关系；二是研究模糊语言学和模糊逻辑；三是研究模糊数学的应用。有了模糊数学之后，过去精确数学、统计数学描述现实世界感到不足的地方就得到了弥补。目前已形成的模糊数学的分支有：模糊积分、模糊泛函、模糊拓扑、模糊图论、模糊群论、模糊环论、模糊概率、模糊逻辑等。模糊数学已初步运用到自动控制、模式识别、系统理论、信息检索、社会科学、心理学和生物学等方面。
突变理论
自然界中连续且平滑的运动变化问题可用积分方法解决，例如，地球绕太阳旋转有规律地、周而复始地连续不断进行，但是当遇到突变问题时，由于飞跃造成的连续性把系统的行为空间变为不可微，就使得微积分无济于事，例如：水突然沸腾，火山突然爆发，病人突然死亡等。要解决这个问题，必须建立新的数学理论，即能够用来描述各种飞跃和不连续过程的突变理论，这种理论已由法国数学家勒内·托姆（Rene。Thom，1923～）于1972年创立。他在《结构稳定性和形态发生学》一书中系统地阐明了突变理论的内容，宣告了突变理论的诞生。
突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具，通过对稳定性和形态结构的研究，提出一系列数学模型，用以解释自然界社会现象中所发生的不连续的变化过程。托姆提出了发生在三维空间和一维时间的四个因子控制下的七种突变类型：折叠型、尖顶型、燕尾型、蝴蝶型、双曲脐型、椭圆脐型和抛物脐型。以上几种类型都可以用相应的几何图形来表示。
突变理论已用于工程技术、物理学、生物学、医学等方面。另外，它用形象而精确的数学模型来把握质量互变过程，引起了国际学术界的热烈讨论。英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分以后最重要的发现”。
非标准分析
标准分析也称数学分析或古典分析，它的主要内容是微积分。牛顿和莱布尼茨在创立微积分时使用了无穷小量分析方法，但由于无穷小量的概念不明确，使微积分的理论基础不严格。后来，柯西（A。L。Cauchy，1789～1857年）等人用极限方法代替无穷小量分析方法，把微积分的理论基础严格化。1961年，美国数理逻辑学家A·鲁滨逊用数理逻辑方法和无穷小量方法刻画微积分的理论基础，使微积分理论不必使用极限方法就有了牢固的基石。鲁滨逊所创立的这种理论称为非标准分析。非标准分析把无穷小看成是一种特殊的数，它只能放在扩充了的实数系即超实数系里。这样就导致了如下结论：点是有内容结构的，点是连续与间断的统一体。非标准分析也有许多应用，它已运用到函数空间、概率论、流体力学、量子力学和理论物理学等。
分数维几何学
自然界有许多复杂的无规则事物，具有自相似的“层次结构”，理想情况下它甚至是无穷多层次，适当地放大或缩小几何尺寸，整体结构不会改变。例如：连绵的山峰，蜿蜒的河流，曲折的海岸线等。另外，有些客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺去测量，还有许多事物没有特征尺度，必须同时考虑从小到大的许许多多湍流的尺度，这是“无标度性”的问题，例如：物理学中的湍流，流体宏观运动的能量，涉及到大量不同尺度上的运动状态，这就要借助于“无标度性”解决问题；湍流中高漩涡区域，需要用分数维几何学。因此，分数维几何学，又称分形几何学，它是研究无规则现象的数学工具。美籍法国数学家曼德尔布罗特（B。B。Mandelbrot，1924～）精通数学和计算机，在继承前辈研究成果的基础上，于1975、1977和1982年先后用法文和英文出版三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》，以及《自然界中的分形几何学》，开创了分数维几何学新学科。
第四章 现代化学和生物学