周期现象是普遍存在的。如果你注意一下，就可以发现，数字中也存在着形形色色的周期现象。
例如，自然数经过5次乘方之后，其末位数会出现“重现”或“回归”：2的5次方是32，其末位仍然是2；3的5次方是243，其末位仍然是3；7的5次方，我们即使不算出其结果，也可以肯定它的末位必定还是7；等等。
观察一下从1至9的平方的末位数，可以发现它们组成了一个回文序列：1，4，9，6，5，6，9，4，1.10的平方100末位是0，而此后各数的平方的末位数又是1，4，9，6，5，6，9，4，1.整个自然数的平方的末位数，始终在那儿兜圈子，循环反复，以至无穷。而这些反复出现的周期，中间是以0来分界的。
人们还发现，一切平方数的根数只能是1，4，7，9这四个数字，不可能是其他数字。这里所称的“根数”，就是把一个正整数的各位数字统统相加起来，求出其和数，如果这个和数比9大，就一直减去9的整倍数，直至余数小于或等于9为止。例如，135的根数是9，246的根数是3，等等。
利用上述知识，有时很容易判别一个数究竟是不是平方数。譬如说，98765432123456789是不是一个平方数？我们不妨查一下它的根数，是8，而不是1，4，7，9中的一个，于是就可以肯定它不是一个完全平方数。
一切平方数的根数不仅具有如上的特性，而且当完全平方数依序递增时，其根数也是以1，4，9，7，7，9，4，1的回文序列反复出现的。不过，这一次是以9，而不是用0来作为各个周期的分界。下面举些实例来说明：
100（10的平方）的根数为1；
121（11的平方）的根数为4；
144（12的平方）的根数为9；
169（13的平方）的根数为7；
196（14的平方）的根数为7；
225（15的平方）的根数为9；
256（16的平方）的根数为4；
289（17的平方）的根数为1；
324（18的平方）的根数为9；——周期的分界标志
361（19的平方）的根数为1；——下一周期的开始
……
平方数的这些性质，不仅有趣，而且有很大的实用价值。灵活运用这些性质，我们就可掌握许多速算的窍门。