１７４２年６月７日，当时还是中学教师的哥德巴赫，写信给当时侨居俄国彼得堡的数学家欧拉一封信，问道：“是否任何不小于６的偶数，均可表为两个奇素数之和？”因为哥德巴赫喜欢搞拆数游戏。２０几天后，欧拉复信写道：“任何大于６的偶数，都是两个奇素数之和。这一猜想，虽然我还不能证明它，但是我确信无疑地认为这是完全正确的定理。”这就是一直未被世人彻底解决的着名的哥德巴赫猜想，也称哥德巴赫—欧拉猜想。数学家简称这个问题为（１，１），或“１＋１”。命题简述为：
（Ａ）每一个≥６的偶数都可表为两个奇素数之和；
（Ｂ）每一个≥９的奇数都可表为三个奇素数之和。
显然，命题（Ｂ）是（Ａ）的推论。因为任何一个奇数，如减掉一个奇素数，当然就是偶数了。此时如能证明命题（Ａ），当然命题（Ｂ）就得证了。但是，这两个问题没有可逆性。命题（Ｂ）在本世纪３０年代，前苏联科学家依·维诺格拉朵夫创造了一系列估计指数和重要方法，从而使他在１９３７年，间接地证明了命题（Ｂ）。
１９３０年，会尼列尔曼用密率法证明了每一个自然数可以表为不超过ｋ个素数的和，这时Ｋ是一个固定的自然数。开始定出的ｋ＝２＋１０１０，很快就有人把它降为ｋ＝６９。利用密率法得到的最好结果是ｋ＝１８，即每一个自然数可以表为≤１８个素数的和。这里说的每一个自然数，不是充分大的自然数。这是密率法独具的优点，用其他方法（圆法和筛法）只能得出关于充分大的自然数的结论。
１９３７年，前苏联数学家维纳格拉道夫用圆法证明了每个充分大的奇素等于３个素数的和。随后有人证明这里的“充分大”可用“＞ｅＣ1６·０３８”来代替。这个数超过４００万位，是一个非常巨大的数。现在这个常数已经大大缩小，但仍然是一个很可观的大数。
在２４０多年的漫长的岁月里，有人对哥德巴赫猜想进行了大量验算工作，有人曾经验算过偶数ｘ≤５×１８８，即ｘ在５亿以内，哥德巴赫猜想都是对的。
在此期间，有些人更想过一些办法，例如折叠法，他们将自然数比着很长的梳子上的各个齿，先将代表复合数的齿全部掰掉，剩下来的，当然都是素数。然后再把同样的梳子，颠倒过来对上，如果梳子上原有的齿为偶数ｘ个，这样将１对着ｘ－１，３对着ｘ－３，……，ｐ对着ｘ－ｐ，（１≤ｐ≤ｘ－１）。因为在ｘ较大时，不能证明是否还存在齿对着齿情况，故问题没有解决。
此法的缺点是：先将代表复合数的齿全掰掉了。因为素数的存在是微弱地依附着较小素数及其倍数的复合数，而这点儿微弱的痕迹也给掰掉了。而这个问题，又不能从概率的办法解决，因为素数不是正态分析，而是一个确定的问题。所以他们就将ｘ确定为一定值，再每两个齿一错位。这样，一个用有限问题企图解决无限问题，当然是极其困难的。尽管如此，仍有一些人在艰苦地攀登。所以后来，他们把大于某一个很大的数（例如ｋ０＝ｅ４９ｃ)偶数，叫做大偶数，再将任一大偶数Ｎ（Ｎ＞Ｋ０)写成自然数Ｎ１与Ｎ２之和，即Ｎ＝Ｎ１＋Ｎ２。而Ｎ１与Ｎ２里素因数这个数，分别不多于ｓ与ｔ个。故简记为（ｓ，ｔ），或写成带引号的加法：“ｓ＋ｔ”，此时Ｎ１与Ｎ２可以叫做殆（接近）素数，然后将ｓ与ｔ值逐步缩小。如果一旦将ｓ，ｔ均计算到１，那时再来证明５×１０８＜Ｎ≤ｅ４９ ｃ时，（１，１）成立。这样，（１，１）问题即解决了。但是，至今没有最后解决。现将当前世界取得的名次结果，列表如下：
（s，t）年代结果获得者国别（9，9）1920布龙挪威（7，7）1924雷特马赫德（6，6）1932埃司特曼英（5，7），（4，9）1937蕾西意（3，15），（2，366）1937蕾西（5，5）1938布赫夕太勒前苏联（4，4）1940布赫夕太勒（1，C很大）1948瑞尼匈（3，4）1956王元中（3，3），（2，3）1957王元（1，5）1962潘承洞中〖3〗巴尔巴恩〖4〗前苏联（1，4）1962王元（1，4）1963潘承洞〖3〗巴尔巴恩（1，3）1963布赫夕太勒〖3〗（小）维诺格拉朵夫前苏联〖3〗波皮里意（1，2）1973陈景润中按照华林原来的猜测，ｇ（２）＝４，ｇ（３）＝９，ｇ（４）＝１９。一般地猜测：
ｇ（ｋ)＝２ｋ＋〔（＋)ｋ〕－２（１)
其中〔ｘ〕表示ｘ的整数部分。
经过许多数学家的努力，除去ｋ＝４外，（１）已被证明，其中ｇ（５）＝３７是我国科学家陈景润于１９６４年证明的。
对于ｋ＝４，目前已经证明：
１９≤ｇ（４）≤２１，
并且在ｎ＜１０３１０或ｎ＞１０１４０９时，ｎ可以表示为１９个４次方的和。这已经接近于预期的目标ｇ（４）＝１９了。
人们还发现，当自然数充分大时，可以将它表为Ｇ（ｋ）个Ｋ次幂的和，这里Ｇ（ｋ）≤ｇ（ｋ）。实际上，Ｇ（ｋ）比ｇ（ｋ)小得多（当ｋ大的时候）。目前仅仅知道Ｇ（２）＝４，Ｇ（４）＝１９。对Ｇ（ｋ）进行估计是一个很艰难的问题。