0、1、2、3、……，这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。
右图（图片P134）中是一个小正方形，由此开始，第一层虚线标出了三个小正方形，第二层虚线标出了五个小正方形……，它说明了下面一些有趣的事实：
1=1-12
1=3=4=22
1+3+5=9=33
……
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82一般地，如果n是一个自然数，则：1+3+5+……+（2n-1）=n2。
对于所有的自然数，下面的式子也是正确的：
13=12，13+23=1+8=9=（1+2）2
13+23+33=1+8+27=（1+2+3）2
13+23+33+43=1+8+27+64=（1+2+3+4）2
……
13+23+33……+n3=1+8+27+……+n3=（1+2+3+……+n）2
再来看6174这个数。把它的各位数从大到小写一遍，再从小到大写一遍，然后相减：7641-1467=6174。结果竟与原数6174一样。有趣的是，如果随便取一个四拉数，只要它的四个数字不完全相同，按上述方法对它处理，并重复多次，最终都将得到6174这个数。比如0923：
9320－0239=9081，
9810－0189=9621，
9621－1269=8352，
8532－2358=6174。
对随便一个六位数按上述方法计算，会得到三种结果：（1）631764的重复；（2）549945的重复；（3）下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
对八位数也有类似的结果，最后都归于63317664；对十位数来说，最后都归于6333176664，从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都与6174这个数有关。
1930年，意大利的杜西教授作了如下观察：
在一个圆周上放上任意四个数例如：8，43，17，29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内必然会出现四个相等的数。科学家还证明，如果四个数中最大的是n，则在重复4n－1步时，四个差数将相同。
三位数也有奇妙的性质。
任取一个三位数，将各位数字倒看排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：
195+591=786
786+687=1473
1473+7341=5214
5214+4125=9339
只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数，也称对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是196，它在被试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是196问题，成了世界性的难题。
专门研究数的各种性质的数学分支，叫做数论，其中有许多既有趣又有困难的问题，科学家们正努力加以解决。