这样的旅行对阿基米德来说不很多，但在这为数不多的游玩中，他十分留心观察生活中的现象，从而生发出许多联想。
埃及人一直用尼罗河水灌溉农田，但是河床低，农田地势高，农夫只能用水桶拎水浇地，又吃力又费功夫。
阿基米德想，有什么好办法代替这种笨体力活呢？想呀想，画出了一张水车的草图。
“请您按照这个样子做吧。”他对木匠说。
木匠左看右看，看不懂，自言自语地说：“这算什么玩艺呢？”
阿基米德只好比比划划，耐心地讲给他听：“口努，这是圆筒，这是螺杆，唔，就是这样……”
木匠只好接下了活儿。几天后，他居然做出来了，阿基米德眯着眼睛看了看，又摇摇手柄，说：“嗯，还行。”
于是，阿基米德就扛起这个怪玩艺儿，一直走到庄稼地里。
他把螺杆的一头放到河水里，安了手柄的那头放在河岸上。轻轻朝一个方向摇动手柄，哈，只见河水“咕噜噜”地从“怪物”的顶端冒出来，连续不断地摇，水就连续不断地流到田地里。
一个显然不可能的奇迹发生了：水往高处流！
农夫们放下水桶，争着来看阿基米德的新发明，既省力又省时间，大大减轻了劳动强度。
大伙儿当然喜欢。这一来，一传十，十传百，螺旋抽水机很快从埃及传到外国。人们不仅用它来提水灌溉土地，还用来排积水，扬谷粒，扬沙子。以后这个机械就被称作为“阿基米德螺旋提水器”。直到今天，有的地方还在使用它。
至于飞机、大船的螺旋桨，甚至连小小的螺丝钉，那都是阿基米德螺杆的后代。
阿基米德的研究并不是凭空想出来的，他总是从生产和生活的实践中发现研究的课题，然后用数学、力学的方法加以抽象的概括，上升到理论，然后再用新的理论去解释自然现象，指导创造发明，因此，阿基米德在许多方面都取得巨大的成就。
比如，当时人们在生活和生产实践中常常和圆形的东西打交道，需要解决计算圆、圆柱、球体等几何图形的面积和体积，这在建筑、造船、丈量土地、制造生活用品时都是经常遇到的。古希腊时代，人们总结出直径为一、周长为三的求圆周的方法，但很不精确。阿基米德经过研究，计算出圆周率是31409至31429之间，这和我们今天知道的π≈31415926是相当近似的。阿基米德为圆周率π拟定的数据，也被称为“阿基米德数”，当时，它给人们带来很大的便利。
阿基米德还是微积分的奠基人。他在计算球体、圆柱体和更复杂的立体的体积时，运用逐步近似而求极限的方法，从而奠定了现代微积分计算的基础。今天的大学理工科学生，都需要学习阿基米德开创的微积分。
最有趣的是阿基米德关于体积的发现：一个圆柱体中正好嵌进一个球体（圆柱体的高度和直径相等，恰好嵌入的球体就叫做圆柱体的内接球体）。这两件普通的几何模型，充分地洋溢着阿基米德的聪明和才智。
他把水倒进圆柱体，又把内接球放进去；再把球取出来，量量剩余的水有多少；然后往圆柱体里倒满水，量量圆柱体到底能装多少水。这样反复倒来倒去的测试，他发现了这个内接球的体积，恰好等于外包的圆柱体的容量的三分之二。
阿基米德得出一个结论，圆柱体和它内接球体的比例，或两者的相互关系，是3∶2。
他写了许多论述球体和圆柱体的著作，研究各种立体的表面积和体积，以及它们相互间的关系。而在圆柱体、圆锥体、金字塔形、球体、立体和平面等等几何形状中，他最偏爱的是圆柱体和它内接圆的特殊关系。他为这个不平凡的发现而自豪，他嘱咐后人，将一个有内接球体的圆柱体图案，刻在他的墓碑上作为墓志铭。
今天，我们所有的立体测量，都是从阿基米德开始的。
阿基米德的惊人才智，引起了人们的关注和敬佩。朋友们称他为“阿尔法（α）”，即一级数学家。
杠杆撬地球
阿基米德在亚历山大城学习归来，回到他的故乡叙拉古，已是公元前240年。他担任亥厄洛国王的顾问，继续从事他醉心的数学和力学的研究。但是不学无术的亥厄洛国王对阿基米德的研究并不满意，他常常用责备的口吻问阿基米德：“为什么你的研究只停留在学问的游戏上，而不能解决实际的重大问题？你所研究的学问到底对实际生活有什么利益？”
有一次，国王又说：“要你实际表演，不要空洞的理论。”这时，一向谦恭的阿基米德望着国王说：“陛下，给我一个支点，我可以举起地球！”
“开什么玩笑，到哪里去找一个支点能把地球举起来呢？你倒是说呀！”国王很不高兴。
“这样的支点是没有的。”阿基米德说。
“那不就得了！”国王说，“要叫人信服力学的威力，怎么可能呢！”
阿基米德这时向国王鞠了一躬，“不，陛下，你误会了！”他郑重其事地说，“我能够用实例来证明我的观点。”
“好呀，我倒要看看你是怎样证明的。”
这次谈话没过多久，亥厄洛国王叫人造了一艘大船。过去，这样大的船下水，要几百个奴隶齐心协力地推，才能推动它。亥厄洛国王决定考一考阿基米德。“他不是夸下海口可以举起地球吗，这次，先让他一个人把大船推下海吧。”国王心想。
国王把阿基米德找来，宣布了他的决定，他原以为阿基米德会一口拒绝的，不料阿基米德却认真地点点头：“好吧，我试试看。”
这天，天气晴朗，雪白的海鸥不时掠过蔚蓝色的海面，微微起伏的波浪在阳光下闪着银光，是个好日子。
海边的船坞热闹非凡，居民几乎倾城而出，把海滩围得水泄不通，人们你一言、我一语，大声喧哗或窃窃私语，汇成潮水般的声浪。
有人说：“阿基米德今儿准要失败。”
有人说：“咳，这个聪明人准是发疯了！”
人们说着闹着，对着造船架上的大船指指点点。
那是一艘漂亮的三桅大木船，船身雕刻着非常精细的图案，既结实又威风。船上还有许多人，他们是奉国王之命，加重大船的重量的。
这会儿，大船也骄傲地扬起船头，好像说：“是谁说一个人可以把我推动？”
突然，沸腾的人群一下子平静下来，亥厄洛国王和阿基米德登上了平台，千百双眼睛一下子从四面八方集中在他们的身上。
国王坐下之后，用手指着大船，笑眯眯地说：“口努，就是它。怎么样？现在认输还来得及……”
阿基米德却很冷静地说：“陛下，请您稍等片刻。”
说罢，他就忙开了。手下的人按照他的吩咐也七手八脚地忙起来。
围观的人们觉得眼睛不够用，一会儿跟着阿基米德转，一会儿盯着他们跑来跑去的身影，简直眼花缭乱。
这时，只见阿基米德指挥奴隶们往大船上系了一根粗粗的长绳，又在平台上装了一组滑轮，把一个带手柄的螺旋式的东西固定在平台上。
“好了吗？好了吗？”国王有点沉不住气，探着身子连连发问。
阿基米德没有回答，像是存心让国王大吃一惊似的，他一只手攥着螺杆柄，缓缓地摇起来。
人们屏住呼吸，目不转睛地盯住大船。
嘿，那挤满了人的大船竟然慢慢地、慢慢地滑动了。
“哗——”就像平地卷起了一阵狂风，人群中欢声鼎沸：“看啊、快看啊，大船动了！动了！
”
“呵呵，他没有疯！”
亥厄洛国王揉揉眼睛，果然，大船正稳稳当当地滑行。再看看阿基米德，他正得意地微笑呢。
国王惊呆了，他明白，站在自己面前的阿基米德，是一个无所不能的人。
阿基米德的滑轮装置就是杠杆理论的实际应用。不过，如果按阿基米德的说法，给他支点，就能举起地球，那么要做到这点可不像移动大船那样容易。因为地球的质量很大，必须有一根长得只能是想象中的杠杆才能轻轻将它举起，这根杠杆的长臂要比短臂长100000000000000000000000倍。
但在理论上，阿基米德又是成立的。
阿基米德是第一个对杠杆作用的原理进行科学总结，并上升到理论的人。
他经常观察奴隶们劳动的场面，当奴隶们搬运巨大的石块时，他们把撬棍的一头放在石块下面，另一头放在自己的肩上，使劲一扛，石块就挪动了。然后，重复刚才的运动，石块就越来越接近目的地。奴隶们用这样的方法，从很远的地方运来了石块，盖起了美丽、庄严、宏伟的宫殿和金字塔。
阿基米德也曾在尼罗河泛舟，他和朋友们一下一下地摇着桨，摇着、摇着，他发现杠杆的原理通过桨、通过船的移动而表现出来。
虽然人类很早就懂得用杠杆来减轻劳动强度，提高工作效率，发明了早期的工具和机械，但是在阿基米德以前，谁也没有进行过科学的总结。阿基米德从日常生活司空见惯的现象中，经过观察和实验，从物体重心的观点出发，对杠杆的平衡条件做了数学证明。他在《论平面图形的平衡》这本著作中提出的杠杆定律和滑轮定律，直到今天还是一切机械设计的基础，在我们的生活和生产中不断创造新的奇迹。
阿基米德后来在保卫叙拉古、抵御罗马人的战争中发明了起重机和投石机等机械，正是杠杆原理的绝妙应用。
王冠之谜和液体静力学有一次，叙拉古国王亥厄洛让人做了一顶王冠。这顶王冠是用纯金制成的。
这天，工匠把做好的王冠恭恭敬敬地送来了，国王往头上一戴，不大不小，正合适。金灿灿的王冠镂着花纹，既华贵又威严。
亥厄洛国王洋洋得意。
过了几天，国王心里直犯嘀咕。如果工匠偷了他的黄金做了手镯、戒指什么的，那不等于欺骗了堂堂的国王嘛。
于是，他找来工匠，问个究竟。
工匠一点也不慌，他对天发誓，说什么也不承认偷字。最后还说：“尊敬的国王，你可以称一称呀，您交给我黄金时，不都记着数吗？”
这句话提醒了国王，他赶忙命令左右的侍从，取下王冠一称，不多不少，王冠和黄金的重量不差分毫。国王没话说了。
工匠得意地领取了一笔酬金，脸上挂着胜利的微笑，走了。
国王心里仍然闷闷不乐，总像有什么堵在心里。他都不乐意带王冠了，把它放在一边。
突然，他想起了阿基米德，人们不都说他什么问题都能解决吗？
“阿基米德，如果该死的工匠往王冠里掺了银子，而这掺进的银子又和他偷的黄金重量相等，你能查出来吗？”国王很急切的问。他倒不是小器，只是觉得如果被人骗了，那就太不像话了。
国王提出的问题看起来很简单，倒是一下子把阿基米德给难住了，因为国王要求他不许损坏王冠，又要把问题搞清楚，这在许多人看来，简直是不可能的。
阿基米德把王冠带回家里。别的事情都无法干了，这个美丽的王冠倒真的让阿基米德大费脑筋。白天，他盯着王冠想；夜里，他睁大眼睛想，一连想了几天都没有结果。
王冠害得阿基米德吃不下饭，伺候他的奴隶只好把饭端到面前，一勺子一勺子地喂。这一来，他恼了，一挥手，“去去去……”把奴隶们全赶跑了。
他不洗脸，也不洗澡，头发乱蓬蓬，胡须脏巴巴，样子很狼狈。
奴隶们合计一下，得让主人洗个澡，休息休息再想问题。于是，两个奴隶拿着干毛巾和抹身体的油，来找阿基米德，同样遭到拒绝：“洗澡？不去！”
两个奴隶只好架起他，把他送到公共浴室去。“放下，你们快放下！我还有重要的事情要做呢。”阿基米德气恼地嚷了起来。
这回，奴隶没有听他的，由他手舞足蹈，大喊大叫，惹得过路的人都来看热闹。奴隶们架着他一直向前走。
等到放进澡堂的浴盆里，阿基米德还嚷着要爬出来，奴隶们只好把他往水里按。一不小心，阿基米德整个儿滑进浴盆里，水从浴盆的边沿溢了出来，流了一地……奴隶们吓坏了，生怕阿基米德会生气。
谁知阿基米德一跃而起，跳出浴盆，笑着喊着往外跑：“我找到了，我找到了！”
奴隶们面面相觑，好一会儿才醒悟过来，阿基米德还光着身子呢。他们抓起主人的衣服，追了出去，大声呼唤：“主人，主人，您还没穿衣服！”
他像没听见一样，直往家里奔。
阿基米德知道了什么呢？原来，他知道了辨别金王冠里是否掺有其他金属的办法。
回到家，他马上做试验：他在一个空盆里放了一只瓦罐，小心地往瓦罐里倒满清水，再轻轻地放进金王冠。好，就像自己滑进浴盆那样，水沿着瓦罐的边沿溢出来，流到盆里。他把盆里的水倒出来，量一量，记下数。他又一次往瓦罐里倒满水，把一块与金王冠等重量的黄金放进去，水同样流出来。于是把这些水也量了一下。两次数据一比，不一样。金块排出的水要比王冠排出的水少！重复几次结果完全一样。接下来，他取了一块与王冠、黄金块同样重的白银块，也用同样的办法，放进装满水的瓦罐，结果，白银排出的水又多于王冠排出的水。
阿基米德立即得出了结论：王冠既不是纯金的，也不是纯银的，工匠在制作王冠时肯定是在黄金中掺了不少白银，把多余的黄金偷走了。工匠大胆地戏弄了国王。
阿基米德在解释王冠之谜的同时，实际上是发现了液体静力学的基本原理，这个原理后来就以他的名字命名，称为阿基米德原理。
阿基米德是怎样揭开金王冠之谜的呢？
因为他知道，不同的物体密度是不同的，因此，同体积的两种不同物体，重量也不相同；相反，重量相同的两种不同物体，密度大的体积就小，密度小的体积就大。
根据这个道理，由于金子的密度大于银子，因此相同重量的金子和银子，必定是银子的体积大于金子，如果把它们放进水里，金子排出的水量自然比银子排出的水少。
从金王冠排出的水量，比同样重量的金块排出的水量大，又小于同样重量的银块排出的水量，阿基米德终于发现了金王冠之谜。
不过，阿基米德的贡献并不限于回答了国王的疑问，今天，潜水艇的沉浮，气球和飞艇的飞行，打捞海底沉船，制造巨型舰船……都离不开阿基米德原理。阿基米德的著作《论浮体》
成为水力学的奠基石。
科学的悲剧
公元前218年，阿基米德已经是快70岁的老人，罗马与迦太基之间发生了战争，叙拉古站在迦太基一边，卷入这场共同对抗罗马人的战争。
作为一位爱国的科学家，阿基米德竭尽全力用自己的知识和才能为国家效忠。为保护叙拉古，粉碎罗马人的围攻，阿基米德发明了灵巧的回转起重机，可以把逼近海岸的罗马兵船从海里抓起来，悬在半空，然后抛入城墙，或者扔在地下，给敌人以重创。他制造可以发射大小石弹的投石机，射程有近有远，狠狠打击了攻城的罗马人。他还利用光学原理，在罗马人的战舰进攻时，用聚光镜来聚光，使敌舰的帆片燃烧，以致战舰起火。阿基米德把科学技术用于保护自己的国家，使罗马人的侵略企图一直不能得逞。
不幸的是，叙拉古的居民渐渐放松了警惕，他们认为，只要阿基米德在，叙拉古是不会失败的，殊不知罗马人并没有放弃侵占叙拉古的野心。
公元前212年一天，是阿尔杰米达节（即月亮女神节），叙拉古人照例庆祝一年一度的节日，美酒、篝火、舞蹈，使他们忘记了一切。这时，罗马军队在月亮被乌云遮住时，悄悄地从一道冷僻的城门用云梯爬上城墙，几乎没有遇到抵抗，攻进了狂欢中的叙拉古城。
罗马军队的偷袭成功了。
据说罗马将军马赛拉斯进城后，立即打发一名士兵去寻找阿基米德。虽然他吃尽了阿基米德的苦头，畏惧阿基米德，但是对他的才华是敬佩的，他想保护这位杰出的大科学家。