我们知道半圆的周长是πR。假设整条波形曲线的长度为l，那么l＝0.9π＋0.09π＋0.009π＋…＝π（0.9＋0.09＋0.009＋…）因为0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以l＝π×1＝π计算结果表明：这条无限振荡、不断伸长的波形曲线，它的总长等于π厘米！
给勇士平反
极限能帮助我们解决很多疑难问题。
前面讲到“飞矢不动”的诡辩，那位芝诺还提出过另外一个诡辩，叫做“阿溪里斯追不上乌龟”。
阿溪里斯是古希腊神话中的善跑的勇士。芝诺说，阿溪里斯尽管跑得非常快，但是他却追不上一只在他前面爬行的乌龟。这是怎么回事呢？
芝诺说，假设乌龟从A点起在前面爬，阿溪里斯从O点出发在后面追。当阿溪里斯追到乌龟的出发点A时，乌龟同时向前爬行了一小段——到了B点；当阿溪里斯从A点再追到B点时，乌龟又向前爬行了一小段——到了C点。依此类推，阿溪里斯每次都需要先追到乌龟的出发点；而在阿溪里斯往前追的同时，乌龟总是又向前爬行了一小段。尽管阿溪里斯离乌龟的距离越来越近，可是永远也别想追上乌龟。
过去，许多人不知道怎样去驳倒芝诺。现在，有了极限的方法，就很容易戳穿他的谎言，把他彻底驳倒。
假定阿溪里斯的速度是10米／秒，乌龟的速度是1米／秒；乌龟的出发点是A，阿溪里斯的出发点是O，OA＝9米。
当阿溪里斯用0.9秒跑完9米到了A点；乌龟在0.9秒的时间内，向前爬行了0.9米，到了B点。
阿溪里斯再用0.09秒跑完0.9米，追到了B点；乌龟同时又向前爬行了0.09米，到了C点。……阿溪里斯一段一段地向前追赶，所用的总时间t和总距离s是t＝0.9＋0.09＋0.009＋…（秒）s＝9＋0.9＋0.09＋…（米）因为0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以t＝1（秒）s＝10×（0.9＋0.09＋0.009＋…）＝10×1＝10（米）计算表明，阿溪里斯只用了一秒钟，跑了十米路，就把乌龟追上了！
看来，阿溪里斯真要感谢极限了。要不是极限把问题给搞清楚了，他还要蒙受追上不乌龟的耻辱。
制作望远镜
我们来介绍极限在几何上的一个应用。
雨天骑自行车，车轮带起的雨水，是沿着车轮的切线方向飞出去的。
圆周上一点A的切线好求。联OA，过A作LA⊥OA，LA就是切线。科学研究的发展，迫切需要解决怎样作一般曲线的切线。
三百多年前，荷兰卖镜片的亨斯无意中发现，把一片老花镜和一片近视镜组装在一起，可以看清楚远处的景物，制成了第一架望远镜。
伽利略改进了望远镜，造出了能放大32倍的望远镜。他用这架望远镜，发现了月亮上的高山和谷地，发现了太阳上的黑子，发现了木星的四颗卫星。这一系列的发现，惊动了当时欧洲的科学界，许多科学家纷纷制作倍数更大的望远镜。
制作望远镜促进了光学的研究。原来，镜片的弯曲程度，直接影响着望远镜的放大倍数，而镜片弯曲程度的计算和设计，都要用到切线。
怎样求一般曲线的切线？人们曾经提出过许多方法。但是在这些方法中，都存在着一些不能令人满意的地方。后来，人们应用极限的思想，把切线看作是割线的极限位置，很好地解决了曲线的切线问题。
如图，当B点沿着曲线C向A点运动时，割线AB就以A为中心转动。在B点无限趋近A点的过程中，割线AB如果有一个极限位置L存在的话，那么，直线L就叫做曲线C在A点的切线。
认识无穷小以零为极限的无穷数列很重要。
1，12，13，14，…1，－12，14，－18，…13，133，1333，…－0.4，0.04，－0.004，0.0004，…这些数列的共同点是：越变绝对值越小，越变越靠近零。我们把这种绝对值越来越小，以零为极限的无穷数列叫做无穷小。
要是让无穷小的每一项都翻一个跟头，变成为它的倒数，就可以得到另外一种数列。你看，把上面四个无穷小翻一个跟头得到1，2，3，4，…1，-2，4，-8，…3，33，333，…-10.4，10.04，-10.004，10.0004，…这四个新数列的共同特点是：绝对值越变越大，充分靠后的项的绝对值，可以大到“你要多大有多大”，“你说多大，可以变得比你说的还大”。我们把这种无穷数列叫做无穷大。
无穷小和无穷大的数值相差很大，但是关系密切。无穷小翻一个根头，就变成了无穷大；无穷大翻一个根头，就变成了无穷小。
无穷小还和别的有极限的无穷数列特别要好，好到形影不离。凡是有极限的地方，总少不了无穷小。
无穷数列0.9，0.99，0.999，…的极限是1，伴随着它，有一个无穷数列0.1，0.01，0.001…很明显，这个数列的数值越变越小，以0为极限，是一个无穷小。
无穷数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…的极限是2，伴随着它的无穷小是0.1，-0.01，0.001，-0.0001，…通过这两个例子，我们可以总结出一个数列有极限，求伴随它的无穷小的方法是：拿数列的极限，依次减去数列的每一项，就得到了这个无穷小。
请你求一求，伴随下面几个数列的无穷小：
12，23，34，45，…的极限是1；2，32，43，54，…的极限是1；4，73，105，137，…的极限是32；1，14，19，116，…的极限是0。
极限和无穷小的这种亲密关系，你可以自己动手画个图形来看就更清楚了。
你看，把等腰三角形ABC的底边AC分成8等份，作一个内接台阶形。台阶形的面积与ΔABC的面积的差，就是图上靠在两腰上的8个小三角形面积的和。
当我们把底边AC分成为16等分时，内接台阶形的面积就更接近ΔABC的面积了。也就是说，边上16个小三角形面积的和变得更小了。
当我们把底边AC分划的份数无限增多时，台阶形面积的极限就是ΔABC的面积。也就是靠两腰的三角形个数无限增加，而它们的面积的和是一个无穷小。
驳倒大主教
前面讲到牛顿从平均速度出发，正确地求出了瞬时速度。但是，他说不清楚Δt是不是零，以至被大主教贝克莱钻了空子，胡说Δt是什么消失了数量的“量的鬼魂”。有了极限，我们就可以驳倒贝克莱的谎言了。
牛顿求瞬时速度的方法，是先求出平均速度v＝ΔsΔt；当Δt越来越小时，平均速度越来越接近瞬时速度。还是拿前面的航船作例子，s＝t2，Δs＝4Δt+（Δt）2，平均速度v＝ΔsΔt＝4+Δt。
我们可以给Δt-串越来越小的数值：
Δt＝1秒，0.1秒，0.01秒，0.001秒…相应地得到平均速度v的一串数值：
v＝5米／秒，4.1米／秒，4.01米／秒，4.001米／秒…随着Δt越来越接近于零，平均速度v越来越接近4米／秒。它可以近到“你要多近有多近”
，“你说多近，可以近到比你说的还近”。这就是说，4米／秒是平均速度的极限。
那么，Δt究竟是不是零呢？
从Δt的变化过程，我们可以清楚地看出，虽然Δt的值越来越小——1，0.1，0.01，0.001，…但是它始终不等于零，所以我们求平均速度时，可以放心地拿Δt去除Δs，这样，平均速度ΔsΔt总是有意义的。
在Δt趋近于零的过程中，瞬时速度是平均速度的极限。这就是说，在取极限过程中，Δt始终没有取零。所以，不用担心会出现Δt＝0这个不合理的步骤。
由于极限的结果与令Δt＝0的结果完全一样，所以，牛顿能正确地求出瞬时速度的数值。在牛顿求瞬时速度的时候，极限的思想和方法还没有很好地建立起来，他只从结果上考虑，令Δt＝0，造成了理论上的缺欠，让贝克莱钻了空子。
从极限角度看来，Δt是一个无穷小，以零为极限。
小扇形问题
开普勒一开始就把圆分割成无穷多个小扇形，正确地求出了圆面积。但是他说不清楚，每个小扇形的面积是不是零。
从极限角度来看，在开普勒对圆进行细分的过程中，得到了一串越来越小的小扇形面积，这些小扇形的面积，组成的数列是一个无穷小。它本身不是零，而是以零为极限。
当开普勒把小扇形换成为小三角形以后，小三角形面积的和，就是圆面积的近似值了。小扇形越小，相应的小三角形也越小，它们相差得也越小。这样，小三角形面积的和，也就越接近圆面积了。
在细分圆的过程中，小三角形面积的和组成了一个无穷数列，圆面积就是这个无穷数列的极限。
卡瓦利里用“不可分量”的方法求面积和体积遗留下来的问题，也同样可以用极限把它说清楚。
五、巧妙的方法
极限和无穷小紧紧相连，是无限过程的结果。要是把极限比做一曲动听的交响乐，那它的每一个乐章，都离不开无限这个主题。
π等于多少π等于多少？
你回答：π等于3.1416。
3.1416是π的近似值，π的精确值等于多少？
你回答：π是一个无理数，是一个无限不循环小数。因为无限而又不循环，所以需要没完没了地写下去，并且永远也别想把它写完。
答得很好。既然π的值需要没完没了地写下去，永远也写不完，你怎么知道π一定存在呢？
你问道：这……这是什么问题呀？
这个问题很重要。看来，你还没想到过这个问题。
整数和分数的存在是不容怀疑的。无限循环小数可以化成分数，它的存在也是不容怀疑的。
一个永远写不完、又没有循环规律的无限不循环小数，怎么能肯定它的存在呢？
仔细想想这个问题，实在有认真研究的必要。下面，我们就来谈谈这个问题。
胡同里捉鸡
不知谁家的鸡跑到胡同里来了。
忽然，从一家院子里跑出来了一个小男孩，他想捉住这只鸡。只见鸡在前面，一会儿快跑，一会儿慢走；小男孩一个劲在后面追，累得满头大汗，也没有捉住鸡。
这时候，从胡同的另一头，走来了一个小女孩，两个人一人把住一头，一步一步地逼近鸡。
当两个小孩碰面的时候，鸡无处可逃，终于被捉住了。
小胡同里捉鸡启发了我们。如果把数轴当作一条小胡同，把π当作跑进胡同里的鸡，看看我们能不能用胡同里捉鸡的办法，去捉住π这只鸡。如果能够捉住，当然就可以肯定π的存在了。
在捉π的时候，我们通过圆内接正多边形和外切正多边形，可以不断地算出π的不足近似值和过剩近似值，用这两串数把π夹在中间：
3＜π＜43.1＜π＜3.23.14＜π＜3.153.141＜π＜3.142…………如果把这两串数值画在数轴上，我们会发现这两串数越来越靠近，就像两个小孩从胡同的两头，一步一步地逼近鸡似的。既然两个小孩碰面的时候，鸡被捉住了；那么，这两串数“碰面”的时候，就应该能捉住π。
数学上已经证明，用捉鸡的方法，在数轴上捕捉实数时，一定能捕捉到一个，绝不会叫你扑空。
对于任意给定的无穷数列x1，x2，x3，…如果我们能够找到两列有共同极限的无穷数列：
a1，a2，a3，…的极限为M，b1，b2，b3，…的极限也为M，把所给的数列夹持在这两个数列之间，即a1≤x1≤b1，a2≤x2≤b2，a3≤x3≤b3，…那么，所给的数列一定也以M为极限，即x1，x2，x3，…的极限为M。
这个确定极限存在的方法，是用已知去逼近未知，用处广泛，十分重要。
死胡同捉ee和π一样是一个无理数，一样很有用。
e是怎样得到的呢？原来人们在研究无穷数列（1+11）1，（1+12）2，（1+12）3，…（1+1n）n，…时，证明这个数列肯定有一个极限存在，可是这个极限的数值等于多少呢？
观察这个数列的变化规律：
（1+11）1＝（1+1）1＝2（1+12）2＝（32）2＝2.25（1+13）3＝（43）3＝6427≈2.37（1+14）4＝（54）4＝625256≈2.44……这个数列的数值从第一项起，一项比一项大。但是，不管你怎么往下算，它的数值永远小于2.8。这就好比在一条死胡同里捉鸡。
在死胡同里捉鸡，就不再需要两个小孩了，只要一个小孩就可以把鸡捉到。2.8就好比是胡同里堵死的一端。这个数列的极限，就好比是要捉的鸡；一项一项的数值，就好比是步步逼近鸡的小孩。当鸡跑近胡同的一头，无处可逃时，也终于让小孩捉住了。
人们就是用类似死胡同里捉鸡的方法，去捕捉这个极限，发现它是个无理数。数学家用e来表示它，e＝2.718281828459045…在数轴上捕捉实数，当发现一端是“堵死”的时候，只要从另一端步步逼近就可以了。
电工找断线
在具体使用两边夹逼的方法时，怎样才能找到两串数，由两边来逼近所求的值呢？使用较多的是“二分逼近法”。电工找断线，用的就是这个方法。
电线AB，不知什么地方断了。请来电工，他首先找到AB的中点C，测试一下，如果AC之间通电，断线肯定在BC中间；如果AC之间不通电，那一定是AC中间断了。假定是AC中间断了，他再找到AC的中点D，用同样的方法，找出断线是在AD之间，还是在DC之间。假定是DC之间断了，他再找出DC的中点E。这样一次一次地测试，测试的电线一次比一次短，经过几次测试，就可以把断头找出来了。
电工寻找未知点，总是把断线一分为二，然后步步逼近。现在，我们用二分逼近法来捕捉无理数3：
因为12＜3＜22，所以3必然在1和2之间。
找到1和2的中点1.5，因为1.52＝2.25＜3，所以3必然在1.5和2之间。
再找到1.5和2的中点1.75，因为1.752＝3.0625＞3，所以3必然在1.5和1.75之间。
这样继续下去，范围越来越小，所得到3的近似值，也就越来越精确了。
当然，根据需要，采用别的分法也可以。
逼近曲边形
由曲线OB的端点B，引垂直于OX轴的直线BA，得到一个曲边三角形OAB。怎样求曲边三角形OAB的面积呢？
乍一看去，这个问题好像很难，因为没有现成的公式可用。要是我们采用小孩捉鸡的方法，去逼近曲边三角形OAB，很快就可以把它的面积求出来。
先把OA分成四等份，假设作出三个小矩形1，2，3。我们用这三个小矩形面积的和S3，来代替曲边三角形OAB的面积，相差的就是其中的斜线部分。S3可以计算出来：
S3＝1+2+3＝A1B1×A1A2+A2B2×A2A3+A3B3×A3A＝OA4×（A1B1+A2B2+A3B3）。
你可能会想，这样近似代替的误差不是太大吗？的确太大了，但是可以想办法使误差小一些。方法是把OA多分几份，比如分成十等份，作出九个小矩形。用九个小矩形面积的和S9，来代替两边三角形OAB的面积，这时相差的面积就小多了。
我们如果再多分下去，分得越多，相差的面积也越小。也就是说，所有小矩形面积的和，与曲边三角形OAB的面积越接近于相等。你看，在无限等份过程中，所有小矩形面积的极限，就是曲边三角形OAB的面积了。
在一般情况下，当我们还不知道另一边是不是“堵死”的时候，为了保险起见，我们应该从两边去逼近它。求曲边三角形OAB的面积，也可以用两边逼近法如图。
当我们等分OA的份数越来越多时，里面小矩形面积的和越来越大，外面小矩形面积的和越来越小；当里外“碰面”的时候，就捉住了曲边三角形OAB的面积这只“鸡”。
神秘的无限
在极限的基础上，建立起来了一门十分重要的数学分支叫做微积分。它专门和无限打交道。