古希腊数学的形成和发展有其独到的文化原因。首先，数学发展受到哲学思想的指导。古希腊许多数学家也同时是哲学家。泰勒斯关于宇宙是自然的，而自然现象是可解释的思想；毕达哥拉斯关于用数和数学来解释自然的思想以及在数学中强调抽象化、强调理性的思想，都对人们积极探索自然界的数量关系和空间形式，以及使数学从经验问题中独立出来而成为一门理性学科，起了促进作用。其次，亚里士多德从数学推理中提炼出逻辑推理规则，建立了逻辑学，而这种逻辑学的建立又对古希腊数学家强调演绎证明和公理化演绎结构奠定了基础。亚里士多德也是公理化思想的创始人。他认为，一个成熟的科学理论是可以被组织在一个演绎化的体系中的，其中可以将少量的、基本的命题作为出发点即公理，将剩下的大量的命题作为派生的定理。同时，他认为公理化方法必须满足三项要求，即公理应是不证自明的真理，定理与公理应具有演绎关系，定理必须与经验事实一致。其中第三个要求很重要，满足这一条就使理论具有经验意义，这是现代意义的科学理论的一个重要特点，否则它就跳不出哲学的形态。再次，其他自然科学如天文学、地理学、力学、光学都在不同程度上提出了许多数学问题，如求地球大圆的周长、在镜面反射中求曲线的切线和法线等问题，这些问题的解决都反过来促进了数学的发展。以上三点也是我们中国古代文化氛围中不具备的，这也是中国古代数学不能向现代数学跨越的一个重要外在原因。此外。由于古希腊是处于奴隶制社会相对稳定时期，出现了闲遐的知识阶层专门从事理论工作，特别是在亚历山大时代，国家还有意识地组织并资助科学，建立博物院作为研究机构，所有这些也是古希腊数学得以发展的文化原因。
古希腊科学形成的文化根源
您对古希腊数学形成和发展的文化根源的分析，我觉得很好。在此基础上，您是否能进一步分析一下古希腊科学形成和发展的文化根源呢？因为如您前面所述，古希腊之前，在人类文化生活中，神话和原始宗教的自然观念占据了支配地位。文化传统具有巨大的惯性，在这种强大的文化惯性下，古希腊自然哲学观念要破土而出，绝非易事。
作为科学萌芽状态的古希腊自然哲学，它的形成确实有其深刻的文化背景。
重现实主义的价值观，是自然哲学观念产生的文化动因。重现实主义的价值观是伴随着古代社会生产力的发展而产生的。公元前15世纪后，西方的美索不达米亚，东方的中国黄河流域和印度西北部，开始了一场农业革命，使社会物质财富日趋丰裕。剩余产品的增加，促使了商业的产生。商业的发展又促使交通运输技术进步。人们的生活水平得到很大的提高。在这个过程中，人们逐步树立起关心物资、关心物资生产和交换的重现实主义的价值观。这种价值观形成后，便引导人们去进一步关心物质的自然界，关心自然现象，由此产生了如实反映客观事物的写实艺术，培育出分析探讨自然界万物本质的自然哲学思想。
对神话和宗教的批判，是古希腊自然哲学观念产生的重要文化条件。不破不立，不对传统文化进行批判，新的文化观念就无法产生。对神话宗教的宗旨的离经叛道，是古希腊人对神话宗教批判的一种方式。这在赫拉克利特身上表现得最明显，他在论述自然界的本原时说：“这个万物自同的宇宙既不是任何神，也不是任何人所创造的，它过去是、现在是、将来也是一团永恒的活生生的火，按照一定的分寸燃烧，按照一定的分寸熄灭。”这充分表现了他对神话和原始宗教自然观的反叛精神。重新解释特别是贬低神的地位和作用，这是古希腊人对神话宗教批判的又一种方式。
例如，公元前6世纪下半叶，克塞诺芬尼批判了传统神话中的“神人同形论”的观点，普罗塔哥拉提出“神不可知”的见解，而亚里士多德干脆把神的作用规定和局限在“宇宙万物各种原因的始点”上。所有这些都为人们怀疑和动摇神话、宗教中神的至高无上的地位提供了理由，也为被传统神话、宗教视为异端的哲学自然观的生存创造了条件。当然，古希腊的哲学家只是批判而不是抛弃神话、宗教，神话、宗教仍然是古希腊社会的一种重要文化形态。古希腊的哲学家绝大多数仍是有神论者，这就是为什么在亚里士多德的自然哲学观念中仍给神保留一定的地位和作用的原因。
古希腊时期奴隶主民主制的形成，也为古希腊自然哲学观念的产生提供了有利的文化条件。对传统的占主导地位的神话、宗教观念的排斥，对其自然观的冲破，没有一个宽松的政治环境和学术氛围是不可能的。从梭伦改革、克利斯提革命、波希战争到伯利克里执政，古希腊奴隶主民主制逐渐形成。它首先是在奴隶主自由民中实行政治上的平等，凡雅典城邦自由公民，人人都能参与政事，发表自己的意见，只要意见正确便会取得公众的信任。凡有兴趣、有才能的自由民，都可以参加各种文化活动，可以公开演讲，各抒己见。这样，民主制便为哲学特别是自然哲学这种新型的自然观念的产生和发展提供了社会条件，它在某种程度上保护、鼓励自然哲学家提出与神话、宗教大相径庭的观念，支持自然哲学学派内部的自由辩论。马克思曾指出：“希腊和罗马恰巧就是古代世界各民族中‘历史发展’最高的国家。希腊的内部极盛时期是伯利克里时代，外部极盛时期是亚历山大时代。在伯利克里时代，诡辩学派、称得上哲学化身的苏格拉底、艺术以及修辞学等排斥了宗教。而亚历山大时代就是既否认‘个人’精神的永恒不灭又否认当代各种宗教之神的亚里士多德的时代。”
古代生产技术的产生，是古希腊自然哲学观念产生的文化基础。在古希腊时代，生产得到很大的发展，出现了各种种植、酿酒、缫丝、绩麻、制车、造船、建筑和金银铜的冶炼及其制作等生产技术，人们在生产中广泛地利用水、土、火、气、木、金等物质材料，并对它们的性能有了一定的了解，这些都为自然哲学家提出自然界的物质本原奠定了基础。
语言的思辩逻辑功能的发挥，也是古希腊自然哲学观念产生的文化基础。人类的语言不仅有形象的“隐喻思维”功能，而且还有抽象的“逻辑思维”功能。但是，人类文化初期，语言的隐喻特征压倒了其逻辑特征。随着语言的进一步发展，这种倾向逐渐减弱。语言变得越来越抽象，而逻辑思维的功能也越来越得以发挥。人类语言已从最初较具体的状态进展到较为抽象的状态。如果说在神话和原始宗教中所涉及的名称都是具体的，即它们仅依附于对特殊事物或特殊活动的领悟，那么，在哲学中所涉及到的一些名称如本原、形式等等，则是抽象的、具有普遍性的概念和范畴了。哲学家不满足于变化着的自然现象的单纯事实，而是力图找出其变化的原则，这就必然要在超越事实、超越知觉的基础上进行思辨性的思维，即思辨逻辑的思维。在这种思维方式中，特殊现象被联系到存在和过程的整体结构上；人们不再拘泥于存在的事实性，而是努力揭示它可以被理会的意义，揭示它系统的、合乎目的的相互关系。这种思维方式与神话中的“以部分代替整体”的隐喻思维方式完全不同，其雏形在古希腊时代初期已大致具备，并在古希腊哲学的形成中得到发展。
您对古希腊科学形成和发展的社会文化根源的分析，我觉得言之有理。它对我理解古希腊科学何以会产生，有一定的帮助。
古希腊科学研究活动的局限性
我最后再作一点补充说明。虽然古希腊科学有其辉煌的一面，但是其科学研究活动并没有“社会制度化”，这是它的不足。从科学社会学来看，一个国家科学理论的繁荣是与其科学事业的繁荣分不开的。科学事业繁荣的重要标志是科学作为社会子系统出现在其社会文化的舞台上，这就是科学社会建制的形成，它有两个标志：一是社会上出现专职科学家这种社会角色，二是科学研究变成一种有组织的社会活动，在特定的社会圈子内进行。但是，按照这种社会学标准，在古希腊社会，科学只能讲是处在一个科学社会史的史前时期。这个时期有科学研究活动，而且取得了辉煌的成就，但是这些科学研究活动及其发现是在没有固定的社会角色（即专职的科学家）的情况下进行和取得的，从事科学研究活动的人是由当时的“哲学家”和“技术人员”（包括医生）兼职的。
例如，毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德等等是当时著名的哲学家，他们为了研究哲学的需要才去研究自然界。
亚里士多德虽然是古典物理学和生物学的创始人，但是他公开的社会身份是哲学家，研究科学是兼职的。阿基米德和希波克拉底公开的社会身份分别是技师和医生，从事科学研究也是兼职的。而且，这个时代哲学家和技师只是对科学有兴趣，而没有把科学本身作为目的对待。此外，他们的科学研究活动是各自为之，没有在一个特定的社会圈子（如今天的科学院、大学、工业研究实验室）内进行。正是由于这些原因，古希腊时期的科学发现曾经有过辉煌，但这种辉煌在时间上是短暂的，在数量上也是少的。从这样的角度来看，西方科学的社会建制在古希腊时期并没有形成。
按您的说法我觉得，在中国古代科学倒是初步社会制度化的。例如，中国古代天文学研究，因朝廷制订历法和修改历法以及占卜国家命运（占星术）的需要而产生。公元前221年，秦王朝统一中国，建立了中央集权的封建****国家。公元前206年，汉承秦制，后经三国、两晋南北朝、隋唐五代、宋辽金元和明清，一直是沿袭封建主义国家制度，皇帝、朝廷及其地方官吏组成了中央集权的国家机器。中国古代的政治观念是尊“天命”，最高的统治者天子是受“天”的委托而治理国家的，这种天意是通过各种自然现象表现出来的。立法就是具体写下来的“天”的理法，作为国家大典受到重视。中国王朝的更替，被理解为受“天命”而使一个王朝向另一王朝变换，在这种更替中，修改历法就成了新王朝重要的工作。汉朝推翻秦朝之后，就进行了太初改历（公元前104年），自此以后，直到清朝为止，共进行了50多次的改历工作。改历的第二个原因是由于中国的历法是天文历，因此在计算日食的预报上会发生错误，所以就有必要进行改历。中国历代朝廷重视历法的原因还在于，认为具体表征天意的天地变异现象对于将尊天命作为政治观念的统治者来说是极为重要的，天文观测及由此判断吉凶（即占星术）是具有很重要的政治意义的。因此，各个朝代在朝廷中均设有“太史局”，从事历法的制订和修改工作以及占星术活动。
以唐朝为例，管天文学的太史局隶属于秘书省，内设太史令2人，官从五品下，年俸禄600石，太史丞2人。再往下面有如下的官吏：司吏2人，保章正1人，历生36人，装书历生5人，负责造历；监侯5人，灵台郎2人，天文观生50人，天文生60人，负责占星术；挈壶正2人，漏刻博士6人，司辰19人，漏刻典事16人，漏刻生36人，负责算时刻；典钟280人袁典鼓160人，负责报时。这些人都是从事天文学研究的独立的、专职的社会角色，而且他们的研究活动是一种有组织的社会活动。从汉朝以后，朝庭内设立国立天文台，引入了浑天仪这类新的观察仪器。自此以后国立天文台继续存在了两千年，这在世界上是独一无二的。在欧洲，国立天文台是在17世纪末以后才出现的。
中国古代科学技术活动制度化和居官科学家的延绵存在，有其人才选拔的“科举制度”的支撑。英国科技史家J.李约瑟认为：在许多方面，我都有足够的理由说，中国中世纪的社会和经济制度，比起欧洲中世纪来，要合理得多。最早可以溯源到公元前3世纪的科举制度，加上古老的“举贤”的习惯做法，导致中国文官政府能够收天下英才，作为己用，并且绵亘达两千年之久。这个国家不是别的，正是整个次大陆。这和欧洲的情况形成了十分鲜明的对照。在欧洲，最贤能的人未必就一定出在贵族之家，而且出自那些为数有限的封建贵族的长子之列的更为少见。欧洲中世纪的早期社会，虽然也具有相当多的官僚主义的特征，如宫廷命官制度，这种制度提高了大臣辅佐的地位，并且广为因习地使用主教和牧师做皇帝的左膀右臂，但是所有这些，都远远没有达到中国的水平，后者曾把行政人才的积极性充分调动了起来，并且系统地加以利用。
除了科举之外，朝廷征募民间能人，也是人才选拔的重要途径，如太初历的制订，就是在民间招募来的20多名天文专家的参与下完成的。在推广新式农具时，也征用了各地的能工巧匠，等等。
中国古代科学技术活动制度化和居官科学家的延绵存在，还有其古代教育制度的支撑。仅以数学教育为例，在春秋战国时期，数学是“六艺”之一，是一般官吏必要的学习内容，更是官吏子弟必学的课程。到唐代，朝庭设置了培养人才的“国子监”，内设算学博士2人，官从九品下，负责培养30名学生，并规定以十部算经为其教科书。这种教育制度为科举选拔和朝廷征募提供了人才支撑。
我同意您的观点。中国古代科学是初步社会制度化的，其特点是“官办”。正是由于这种原因，中国古代科学的成就与古希腊科学比较起来，一点不逊色，各有千秋。
今天的对话介绍了西方科学的社会文化起源，让我们看到了科学发生和发展的社会文化的背景。这对我们超越仅从知识维度去看科学的旧习惯，是有帮助的。