（1）要保证在N个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称H次。
假设N≠2，我们有：
（2）如果N＜（3H-1）/2，那么称H次就足够了；（3）如果N=（3H-1）/2，那么称H次足以保证找到坏球，但不足以保证知道坏球比标准球轻还是重；（4）如果N=（3H-1）/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保证找到坏球和知道，知道坏球比标准球轻还是重。
假设N=2，我们有：
（5）如果还另外存在一个标准球，那么只要称H={log3（2×2）｝=2次足以保证找到坏球和知道坏球比标准球轻还是重。
（5）看起来有点奇怪，不过这其实很显然。如果有超过两个球，我们知道坏球是“独一无二”的那一个，总找得出来；但是如果只有两个球，一个好球一个坏球，都是“独一无二”的，如果没有一个标准球的话，我们无论如何不可能知道哪个才是好的。
首先假设结论成立，我们来看看几个具体例子。如果是12个球，那么H={log3（2×12）｝=3，而且
12＜（33-1）/2=13。
所以根据2）我们知道称3次可以找出坏球并知其轻重。如果是13个球，那么H={log3（2×13）｝=3，而且
（33-1）/2=13。
根据3）我们知道称3次可以找出坏球但不一定能知其轻重。但是如果另有一个标准球的话，称3次就可找出坏球且知其轻重。
一般地，能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量为（3H-1）/2-1=（3H-3）/2；能由H次称量找出坏球但不需要知道其轻重的最大小球数量为（3H-1）/2；有一标准球，能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量也为（3H-1）/2。
为了比如说为了找出坏球并知道其轻重，则3次最多可以称12个，4次为39个，5次为120个，6次为363个等等；为了找出坏球却不需知道其轻重，则3次最多可以称13个，4次为40个，5次121个，6次364个等等——但是如果另有一个标准球，那么就可以用相同的次数来知道坏球的轻重。
首先我们证明至少需要称{log3（2N）｝次。这和上节类似问题的证明几乎相同。我们看到，N个小球可能的布局是2N种（1重，2重，……，N重，1轻，2轻，……，N轻）。所以相应策略树至少需要有2N片叶子。但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必须满足条件H≥{log32N｝现在我们来证明3）的后半部分：如果N=（3H-1）/2，那么称H次还是不足以保证知道坏球比标准球轻还是重。
我们知道第一步称量一定是各放n（这里2n≤N）个球在天平两端，然后看天平的状况再决定后面的步骤。此时有三种情况（1）如果天平平衡，那么坏球就在剩下的N-2n个球里。这时候根据1），我们还需要{log32（N-2n）｝次来找到坏球并知其轻重；（2）如果是左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面n个球里，要么是坏球比较重，而且坏球在左面n个球里。这时根据结论1，我们还要{log32n｝次来找到坏球并知其轻重；（3）如果是右边重，那么有和上面类似的结论，我们还要{log32n｝次来找到坏球并知其轻重。
如果我们在H次里可以称出坏球并知其轻重，那么我们必然要有{log32（N-2n）｝≤H-1和{log32n｝≤H-1
但前一个式子表明
2（N-2n）≤3H-1
也就是
2（（3H-1）/2-2n）≤3H-1
所以
3H-1≤2n＋1/2
考虑到3H-1为整数，于是
3H-1≤2n
但3H-1又是奇数，而2n是偶数，所以
3H-1＜2n。（*）
而后一个式子表明
2n≤3H-1
同样考虑到奇偶性
2n＜3H-1。（**）
我们看到（*）和（**）式是矛盾的。
所以对N=（3H-1）/2的情况，只用H步是不能够称出坏球又知道它的轻重的。它的原因在于，虽然理论上N=（3H-1）/2，那么可能的布局是（3H-1）种，而一棵H层的策略树有3H片叶子，看起来叶子足够多了。但是由于第一步的称量无论如何也不可能把这3H-1种布局平均地分配在左中右三棵子策略树上，总有一个分支上承受的布局会超过3H-1种，于是在此分支上就无法用剩下的H-1次称量来称出坏球又知道它的轻重。
接下来我们同时证明结论2中的（2）、（4）和（5）。也就是说，我们要具体找到一种策略，如果N＜（3H-1）/2，那么不用标准球在H次内找到坏球又知道它的轻重的；如果N=（3H-1）/2或者N=2，则允许使用一个标准球来达到同样目的。仍旧使用数学归纳法。
首先对N=1，{log32N｝=1且N=（31-1）/2，允许使用标准球。因为只有一个球，而题目的条件是有一个坏球，所以这唯一的一个就是坏球，现在只需要知道它比标准球重还是轻。这只要把标准球和这个小球在天平上比较一次就可以了，策略树如下（我们用s表示标准球）：（1；s）-右-（1轻）-平--左-（1重）
对N=2和N=3，{log3（2N）｝=2。我们给出下面高度为2的策略树，很容易验证其正确性。
N=2，允许使用标准球：
（1；s）-右-（1轻）-平-（2；s）-右-（2轻）-平--左-（2重）-左-（1重）
N=3：
（1；2）-右-（1；3）-右-（1轻）-平--左-（2重）-平-（1；3）-右-（3轻）-平--左-（3重）-左-（1重）-右-（2轻）-平--左-（1重）
现在假设对小于N的情况，称法都已经找到。考虑N（现在假定N>3）个小球的情况。
仍记H={log32N｝。
首先如果N＜（3H-1）/2，我们把N个球分成三堆：第一堆和第二堆中分别有{N/3｝个球，第三堆中为剩下的球，有N-2{N/3｝个。
我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
三种情况：
如果天平平衡，那么坏球在第三堆的N-2{N/3｝个里，问题归结为N-2{N/3｝个小球，称H-1次，而且此时我们可以随便从第一或第二堆里拿出一个球来作标准球。但是N-2{N/3｝≤3{N/3｝-2{N/3｝={N/3｝但由N＜（3H-1）/2有N≤3H-12-1=（3H-3）/2
所以
N/3≤（3H-1-1）/2
右边一定是一个整数，所以我们最终得到
N-2{N/3｝≤{N/3｝≤（3H-1-1）/2。
根据归纳假设，在有标准球的情况下，N-2{N/3｝个球的问题可被H-1次的称量解决。
如果左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面{N/3｝个球里；要么是坏球比较重，而且坏球在左面{N/3｝个球里。这时根据结论1，我们还要{log3（2{N/3｝）｝次来找到坏球并知其轻重。和上面的计算完全一样，N/3≤（3H-1-1）/2
于是
2{N/3｝≤3H-1-1
{log3（2{N/3｝）｝≤H-1
所以仍旧可以用剩下的H-1次称量解决问题。
如果右边重，完全类似于左边重的情况。
现在考虑N=（3H-1）/2的情况，这时允许用一个标准球。
我们可以把球分成三堆。第一堆为（3H-1＋1）/2个，第二堆为（3H-1＋1）/2个再加上标准球，所以第二堆一共也是（3H-1＋1）/2个球，第三堆剩下：（3H-1）/2-（3H-1＋1）/2-（3H-1＋1）/2=（3H-1＋1）/2个球我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
三种情况：
如果天平平衡，那么坏球在第三堆的（3H-1＋1）/2个里。根据归纳假设，在有标准球的情况下，这可被H-1次称量解决。
如果左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面（3H-1＋1）/2个球里；要么是坏球比较重，而且坏球在左面除了附加的标准球以外的（3H-1＋1）/2个球里。这时根据结论1，我们还要进行{log3（3H-1＋1）/2＋（3H-1＋1）/2）｝=H-1次来找到坏球并知其轻重。
所以这也可以用剩下的H-1次称量来解决问题。
如果右边重，完全类似于左边重的情况。
这就完全证明了结论2中的2）、4）和5）。剩下的就是3）的前半部分：如果N=（3H-1）/2，那么称H次足以保证找到坏球（但可能不知道轻重）。
这很简单，如果我们拿掉一个球，那么根据2），一定能用H次称量来找到坏球并且知道轻重——唯一的例外是，如果被拿掉的那个恰好就是坏球——那么这时候所有称量的结果都是天平保持平衡。
如果发生了这样的事，所有称量的结果都是天平保持平衡，我们就可以断定坏球就是那个被拿掉的球，当然这时这个球从来没有上过天平，我们绝无可能知道它是比标准球重，还是比标准球轻。
一点补充
在前面的问题中我们讨论了如何从有一个坏球的一堆球中用最少的次数来称出这个坏球的方法，其中包括了要求知道坏球是比较轻还是比较重的信息的称法，或者不需要知道此信息的称法。在这里一个小小的补充中，我们换一个角度去看这个问题：如果我们不需要找出那个坏球，只想知道坏球是比标准球轻还是重，怎样用最少的称法来解决这个问题？
让我们来严格表述这个问题：
“有N（N≥1）个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和标准球有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问最少需要称几次才可以知道坏球比标准球重还是轻？”
就像在普通称球问题的讨论中一样，我们首先来看几个特殊例子。
如果N=1，那么根据题意这个唯一的球就是坏球。可是如果没有另外的标准球的话，我们怎么也不可能知道这个坏球是比标准球轻还是重。如果另有一个标准球的话，很显然只需要把它和标准球放在天平两端称一次，就可以知道这个坏球是比较重还是比较轻。
如果N=2，那么这里有一个好球一个坏球，但是如果没有另外的标准球的话，我们无论称几次都只能得到一个比较轻一个比较重的结果，还是不可能知道坏球比标准球轻还是重。如果另有一个标准球的话，我们必须把标准球分别和两个球比较，如果运气比较好的话，第一次就和坏球比较，那么称一次就解决问题，否则要称两次。所以一般的解答就是N=2时，另有一标准球，上面的问题需要称两次才能解决。
如果N=3或者更多，很显然即便另有一标准球的话，我们也不可能称一次就解决问题——如果在天平上和标准球同一边有另外的未知好坏的球，那么这一边就不能作为标准重量了，此时天平偏向一边只能给出某一边比较重的信息，却不能告诉我们到底哪一边才是标准重量。
但是当N=3时，即使不用标准球，我们也可以称两次来知道坏球比较重还是比较轻。将球编为1-3号。首先1，2号球放在天平两端，如果平衡的话，那么3号是坏球，接下来只要用标准的1号球来和它比较就知道它是比较轻还是比较重；如果不平衡，比如1号球较重，那么3号球是标准的，比较1号和3号球：如果它们一样重，那么2号球是坏球，而且它比较轻，相反如果1号球比3号球重，那么坏球1号球就比较重。
当N≥4时我们会有什么结论呢？也许会出乎大部分人的意料——无论多少个球，比如说一亿个球，如果只需要知道坏球是比较轻还是比较重，我们总是只需要称2次。
当N≥4时，我们总可以把N写成N=4k＋i的形式，其中0≤i≤3，而k≥1。我们把这堆球分成5堆：前4堆（分别编号为第1、2、3、4堆）分别有k个球，最后一堆（编号为第5堆）是剩下的i个球。
首先将第1、2堆放在天平左端，第3、4堆放在天平右端进行称量，如果平衡的话，说明所有这四堆中的球都是好球。因为k≥1，已经确定的好球数目一定至少有四个，所以接下来只要从中拿出i个和第5堆比较一下，就可以知道坏球是比较重还是比较轻了。
如果第1、2堆和第3、4堆的称量中天平不平衡，比如说第1、2堆这端比较重，那么我们将第1、2堆分别放在天平两端进行第二次称量。如果天平不平衡，那么说明坏球就在第1、2堆内。我们还记得在第一次称量中，第1、2堆是比较重的，所以坏球比较重。如果第二次称量天平平衡，那么坏球就在第3、4堆内。根据和上面相同的推理，坏球比较轻。