《列子》里有一则十分著名的寓言，叫做《愚公移山》。说的是北山有个名叫愚公的老人，年纪已经快90岁了。他的住所面对着太行、王屋两座大山，使他出入十分不便。愚公下决心要率领子孙们削平这两座大山，开出一条平坦的大路。他说干就干，带着三个能挑担的子孙，打石头、挖土方，用箢箕把土石运往渤海的边上。
黄河湾上有个名叫智叟的老头子，笑着来劝阻愚公说：“你怎么傻成这个样子了！你已经是风烛残年，剩下这点儿力气，连山上的一草一木也难以除掉，怎么能处理这么多的土石方呢？”愚公听了，便长叹一口气说：“你的思想太顽固了，简直是一窃不通！你要知道，即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子，孙子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙是无穷无尽的呀！而这两座大山却不会再增高，为什么怕挖不平呢？”智叟被驳得无话可说。
愚公的决心毫不动摇，每日挖山不止。他的决心终于感动了天帝，便派了两个大力神把这两座大山搬走了。
愚公回答智史的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列。
设愚公的儿子，即第一代的人数为a1；
愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a2；
孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a3；
一般地，第n代子孙的人数为an。
这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a1，a2，a3，…an（1）
这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态。这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质。可惜我们没有任何资料来确定（1）的具体数字。如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子（假设愚公子孙们不能互相通婚），那么数列（1）就可成为递推数列：an＋1=2an（2）
如果愚公有3个儿女，即a1=3，就得到下面这个数列：3，6，12，24，48，96，…（3）
这个数列（3），就是一个满足an＋1=2an的数列。
客观世界的许多事物，都可借助数列来描述。例如由数列（3），人们就可能联想到天文学史上一个有趣的事实。
德国数学家蒂特乌斯1766年宣布了他发现的一个规则，这个规则确定各个行星与太阳之间递次距离的关系。几年之后，法国数学家博德认识到这一规则的重大意义，引起了人们对蒂特乌斯这一发现的充分肯定和重视。此后，这一规则便被称为博德定律。
让我们先看看下面这个表，然后再研究它的构造法则：行星名与太阳的距离[单位：110天文 单位（AV）］博德推算的距离实际距离水星43.9
金星77.2
地球1010.0
火星1615.2
28—
木星5252.0
土星10095.3
博德推算出的距离，依据的定律就是以数列（3）为基础的。如果对数列（3）的每一项都加上4，便得到表中博德推算的距离：4，7，10，16，28，52，100，…（4）
所以，数列（3）便是用以确定各行星与太阳之间的相对距离的博德定律。
你大概注意到了，表中博德距离为28的位置没有行星，你也大概知道，在土星之外还有别的行星。这是因为在博德定律刚提出来的时候，人们还只发现了表中所列举的那些行星。1871年，威廉·赫歇尔发现了天王星，它与太阳的实际距离为192，基本上符合博德定律（按博德的推算为196）。这使得天文学家为找不到与博德推算的距离为28的行星而焦虑不安。到了1801年，人们终于在火星和木星的轨道之间，发现了第一颗也是最大的一颗小行星，它与太阳的实际距离为27.6，与28非常接近。按照博德定律继续推算下去，下一个行星与太阳的距离应依次为：196、388、772，…
1846年，天文学家发现了海王星，按博德定律推算，它与太阳的距离应为388，但它与太阳的实际距离却是301，与388相差较大。但是到1930年天文学家又发现了冥王星，它离太阳的实际距离为396，却又与388十分接近。
博德通过观察数列（3）而得到博德定律，遗憾的是，对开始几个离太阳较近的行星虽然适用，但最后它终于不适用于推算距太阳较远的行星。
现在，我们再回到数列（2），数列（2）是一个递推数列，用递推方法建立数列的通项，是数学中最有用的方法之一。我们来看几个有趣的例子：图25
（一）我们知道，一条直线把一个平面分成两个区域。两条直线如果相交，则把平面分成4个区域；如果平行，则只能分成3个区域。（如图25所示）
现在问：如果平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，它们把平面分成多少个区域？（如图26所示）
不妨设这样的n条直线把平面分成an个区域。如图前n-1条直线已经把平面分成了an-1个区域，现在加上第n条直线，因为它与前面n-1条直线都相交，被那n-1条直线分成n段，每一段都把它所在的区域又一分为二，如图21中的AB把它所在的区域（阴影部分）分成Ⅰ与Ⅱ两个新区域。n段就增加了n个区域，所以有递推关系：an=an-1＋n。再加上已经知道a1=2，便得到递推数列：a1=2an＋1=an＋n，n=1，2…（5）
（二）有一条2×n长的通道，现在要用2×1的瓷砖来铺盖它，2×1的瓷砖可以横放，也可以直放，如果按次序横放直放的摆法不同的铺盖算不同的铺法，那么有多少种不同的铺地方式？
易知a1=1，对于a2，因有横铺和竖铺两种方式，故a2=2。
把2×n长的通道的铺盖方式数记作an，如图28当我们从左至右把瓷砖铺下去，最后完成不外乎两种方式；最后一块竖铺，或最后两块横铺。
最后一块竖铺的方式数，与前面的2×（n-1）部分通道铺盖的方式数相同，有an-1种；同理，最后两块横铺的方式数为an-2。所以a1=1，a2=2an=an＋1＋an-2，n=3，4…（6）
再看另外一个问题：
在一条直线上有n个位置，在每个位置上站一男孩或一女孩，但男孩不得站在两个相邻的位置上，问有多少种站队法。
用an表示有n个位置时的站队数。
当n=1时，因可站一男孩或一女孩，有两种方式，所以a1=2。
当n=2时，有（男，女）、（女，男）、（女，女）3种站法，所以a2=3。
考虑有n个位置的情况：
假定前面n-1个位置已经站好，不管最后第n-1个位置站的是男孩还是女孩，都可以在第n个位置站一女孩，就有an-1种站法。
再考虑第n-1个位置站的是女孩的那些站法，这种站法都可在前n-2个位置站好之后再在后面站一女孩得到，故有an-2种站法。在这an-2种站法中，可于第n个位置加站一男孩，又得到一种n个位置的站法。所以an=an-1＋an-2。即a1=2，a2=3an=an＋1＋an-2，n=3，4，……（7）
数列（5）与（6）这两个内容截然不同的问题，在本质上是相同的，它们都是斐波那契数列，只是开头起点不同而已。数列（5）从斐波那契数列的第二项开始，而数列（6）则从第三项开始。