数学论战
大科学家牛顿，不仅创立了经典力学体系，而且对微积分学的创立作出了不朽的贡献。
由于微积分在创立初期还不完善，立即遭到了攻击，由此引发了数学史上著名的第二次数学危机。
第一次危机发生在古希腊时期，是一场由无理数的发现而引起的数学危机。第三次危机发生在20世纪初，是一场由集合论的悖论的发现而引起的数学危机。
第二次数学危机是1734年由英国唯心主义哲学家贝克莱的发难而引起的。
牛顿等科学家的科学成就给上帝带来了灾难，因此正统神学家不断地寻找机会向自然科学家发出咆哮。英国神学家贝克莱为维护上帝的尊严，终于在牛顿的《自然哲学的数学原理》中找到了突破口。
贝克莱抓住了牛顿在无穷小量的表述上的混乱以及在此基础上运用流数法的矛盾，对流数进行猛烈抨击。他说：“这些流数是什么？”“是渐近于零的增量的速度。那么这些相同的渐近于零的增量又是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小量，可也不是虚无。难道可以把它们称为死去的量的幽灵吗？”
由于贝克莱在对微积分的攻击中，揭开了微积分的内在矛盾，微积分陷入理论危机中，由此而引发了第二次数学危机。
牛顿和莱布尼茨虽然发现了微积分的基本原理和主要方法，但对于微积分的基本概念无穷小量，缺乏严格的数学定义。时而说无穷小量是零，时而说又不是零；时而说无穷小量消逝为零，时而说又趋向于零，因此缺乏严密的数学理论基础。
贝克莱的攻击，立即激起一些数学家的反击。英国数学家朱允就在1734年发表公开的批驳信，并对牛顿的流数作了解释。
英国另一个著名的数学家马克劳林也参加了反击贝克莱的论战。
1698年2月，马克劳林生于苏格兰，虽然半岁丧父，9岁丧母，却是一个神童，11岁考入格拉斯哥大学，先学神学，一年后转攻数学。19岁便担任阿伯丁大学的数学教授，21岁被选为英国皇家学会会员。
同一年，马克劳林发表了第一本重要著作《构造几何》，描述了作圆锥曲线的一些新的方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。
马克劳林对牛顿敬仰备至，是牛顿的忠实信徒，为继承、捍卫和发展牛顿的学说而奋斗，为了答复贝克莱对牛顿微积分原理的攻击，在1742年马克劳林出版了《流数论》。
此书以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。马克劳林还试图为流数法提供一个几何框架，建立严密的微积分理论。
马克劳林在书中提出了著名的马克劳林级数，并应用它导出局部极大值和极小值存在的充分条件。还首先给出如何区别一般极大极小的理论，并指出这种区别在曲线多重点理论中的重要性。
他还证明了等速旋转均匀流体的平衡形状是旋转椭圆体，现在称之为马克劳林椭圆体。
马克劳林的《流数论》相当审慎周到，一直是比较严密的微积分标准教材，直到1821年法国著名数学家柯西的著作问世。
由于历史条件的限制，马克劳林没有能够从根本上结束微积分在数学理论基础方面发生的危机。这一危机直到19世纪初由柯西克服。
然而第二次数学危机却激起数学家们不断地去探索和研究，回击贝克莱之流的攻击，建立科学的微积分数学理论基础，从而推动了数学的发展。
18世纪的数学大师——欧拉，就是杰出的代表。
欧拉与数学
“巧定羊圈”的故事
数学天才欧拉因“巧定羊圈”而被数学巨匠约翰·伯努利发现，并在他的影响和培养下，逐渐成长为18世纪数学界的中心人物。
那是在1719年，欧拉才12岁。父亲老欧拉准备盖一个羊圈，用100尺的材料把羊圈住。这一天，老欧拉在丈量土地，小欧拉在一旁帮忙。父子各拉住测绳的一端，当父亲把4根角桩打入地下时，小欧拉立即报出了计算结果：
“长40尺，宽10尺，羊圈面积400平方尺，正好需要篱笆材料100尺。”
“我已经算过了。”
“如果长35尺，宽15尺，羊圈面积就能扩大125平方尺，不是更好吗？”
老欧拉没有想到。
“如果长40尺，宽15尺，羊圈面积就扩大到600平方尺，可是需要篱笆材料110尺，而我们只有100尺材料啊。”
怎样用100尺的材料围成最大面积的羊圈呢？小欧拉在认真地想着，老欧拉非常高兴儿子有这样的想象力。
小欧拉终于算出来了，欣喜地告诉父亲：“把羊圈的长和宽都定为25尺，就能围成625平方尺的羊圈。”
小欧拉“巧定羊圈”的故事不胫而走，传到约翰·伯努利的耳朵里。这虽然是数学上一个简单的极值问题，不过年仅12岁的孩子，竟能想出这种方法，确实令人惊奇。约翰凭直觉预感这个聪明的孩子将成为一颗耀眼的数学明星。
非常爱才的约翰亲自登门拜访欧拉和他的父亲，当这位德高望重的教授见到欧拉时，这种感觉更加强烈，便要求老欧拉同意他带小欧拉去巴塞尔大学学习数学。
可是老欧拉不同意：“教授，我希望儿子成为一位神学家，而不是什么数学家。”
为什么老欧拉希望儿子成为神学家呢？这话还得从头说起。
列昂哈德·欧拉于1707年4月15日诞生在瑞士巴塞尔城附近的里恩村，父亲是一位爱好数学的基督教牧师，正因为如此，欧拉7岁时就在同龄孩子羡慕的目光下，被父亲送进巴塞尔神学校学习神学。
老欧拉心想，凭着自己在邻里的声望，儿子非常聪明，小欧拉长大后一定能成为教门后起之秀，说不定还能进入罗马教廷呢！每当想起儿子前程似锦，光宗耀祖，老欧拉心情格外舒畅，神采飞扬。
小欧拉在神学校专心听课，老师教的圣经，他能够熟背。圣经中，上帝创造天地万物，上帝无所不在无所不能的思想，欧拉坚信不疑。当他在课堂上学到了一些知识后，便对自然界充满信心，同时又困惑不解。比如，天上的星星有多少颗？父亲无法回答。
小欧拉便去问老师：“天上的星星总共有多少颗？”
老师非常惊讶，便故作镇静地说：“天空中的星星都是上帝亲手镶嵌上去的，具体数目不必要知道。”
“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”
老师茫然。
从此，小欧拉对上帝在信仰上开始动摇了，开始不专心听课，考试答非所问，头脑里总是在想：上帝真是无所不在吗？上帝在哪里呢？
神学校哪能容纳“叛逆”的学生，不久，欧拉被神学校开除。他丝毫不感到伤心，反而可以无拘无束地思考自己的问题。为了数清天上的星星，欧拉开始学习数学，而且学得津津有味。
正是由于学习数学，欧拉才有智慧去“巧定羊圈”。约翰·伯努利慧眼识英才，恳求老欧拉不要埋没了孩子的数学天赋，同意儿子学数学。老欧拉感到儿子神学的辉煌前程已成泡影，只好同意。
1720年，在约翰·伯努利教授的保举下，年仅13岁的欧拉踏进巴塞尔大学的校门，成为这所大学的学生。欧拉高兴万分，上课时不再像在神学校那样三心二意了，而是集中精力，勤奋学习，独立思考。
欧拉的确不负教授厚望，成绩突飞猛进，老师在课堂上讲授的内容已经不能满足他的需要了。约翰听说后非常满意，特地挤出宝贵的时间为他开小灶，单独辅导。
欧拉从约翰那里了解到当时欧洲最新的数学成果，知识和才智日益增长，并很快地进入数学的前沿领域，走上了数学研究的道路。
由于成绩特别优秀，15岁时他就在巴塞尔大学毕业了。18岁时，欧拉开始发表数学论文。第二年，也就是1726年，他发表了讨论船桅最佳位置的选择的论文，而荣获法国科学院的奖金。
1727年，在彼得堡任职的丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉受俄罗斯女皇叶卡特琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院士。开始，他任丹尼尔的助手，1733年丹尼尔回瑞士后，欧拉接任丹尼尔的数学教授席位，成为彼得堡科学院数学部的领导人，直到1741年。
彼得堡的天气非常寒冷，特别是冬季来临时，寒风阵阵，飞雪飘飘，就是在屋内也几多凉意，使欧拉很不适应。彼得堡的工作条件也相当艰苦，欧拉的房里只有一张宽大的写字桌和大量的书籍。
对科学执著追求的欧拉不计较这些，废寝忘食地进行研究。饿了，就啃几片面包；困了，就揉揉眼睛，经常在昏暗的灯光下工作到天亮，又继续第二天的工作。
长期的工作，过度的劳累，紧张的研究，使欧拉的视力急剧下降，1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明。医生劝说要注意休息，减少用眼睛，不然连左眼也保不住。
要放弃自己热爱的事业是非常痛苦的，然而继续坚持研究又将双目失明，成为睁眼瞎，真是难以两全。欧拉在这种局面下，毅然地谢绝了医生的好心劝说，又投入到研究中。
辛勤的汗水换来了学术上丰硕的成果。欧拉还为俄国政府解决了很多科学难题。他承担了菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定。还为俄国政府编写教材，制定度量衡标准，绘制地图等等。
1741年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院任职数学物理所所长。1766年，受叶卡特琳娜女皇的邀请，重返彼得堡，直到临终。
欧拉的成果
欧拉的一生，获得的成果众多，涉猎的范围广泛，包括：几何、代数、数论、分析、微分方程、变分法、力学、声学、光学、热学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等等。他是复变函数论的先驱者，变分法的奠基人，理论流体力学的创始人。
在微积分方面，继牛顿和莱布尼茨提出微积分后，出现了许多数学成果，但联系不紧，有待整理。欧拉通过《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等著作，把前人的成果加以总结定型，并注入自己的见解，构成了18世纪微积分的主要内容。
欧拉澄清了函数的概念，基于量的代数关系，给出了函数概念的新定义。
他提出一个表示三角函数与指数函数间关系的著名的欧拉公式。指出了如何利用点变函数去计算实积分值。他是复变函数论的先驱者，复变函数论在数学及流体力学中有广泛的应用。
他研究了二元函数的极值，给出了全微分的可积条件，引出了很多函数的无穷幂级数和无穷乘积的展式。
他首先把导数归作为微分学的基本概念，提出了二阶偏导数的演算，并给出了关于微分后的结果与微分次序无关的理论。他给出了用累计积分计算二重积分的方法，并讨论了二重积分的变量替换问题。
在微分方程上，欧拉深入考虑了一般常系数线性微分方程的求解方法，开创了这类方程的现代解法，极大地丰富了诞生不久的微分方程理论。他研究了微分方程的幂级数解法，解决了那些不能用通常积分求解的微分方程。
在变分法的研究中，他给出变分问题的一般解法，奠定了变分法的基础。
欧拉在微积分方面，用形式化的函数理论，把微积分从几何学的束缚中彻底解放出来，使其建立在算术和代数的基础上，从而为完整实数系统作为微积分学的基本论证打开了通道，把微积分“带大成人”。
在初等数学领域，欧拉的《无穷小分析引论》是数学史上第一本沟通微积分与初等代数的杰作；《对代数的完整介绍》系统总结了代数学理论，标志初等代数发展史的基本结束。
欧拉在1735年解决了“哥尼斯堡的七桥问题。”
波罗的海岸边的哥尼斯堡，是一座古老的城市，它风景秀丽，气候宜人，建筑优美，风俗淳朴。一条河流，穿过市区，形成两个小岛。哥尼斯堡人利用这个天赐的自然条件，把两个小岛打扮成美丽的花园，为城市又添一景。
为了方便人们游玩，他们造了7座桥，把小岛和河岸连接起来。
从此，一对对情侣手挽手、肩并肩去那美丽的小岛，促膝谈心，窃窃私语，柔情万千；一队队老者去那芳香的花园，欣赏风景，锻炼身体，延年益寿。
不知是谁提起，哪个人能一次走过7座桥，每座桥只走一次，还能回到出发点。可是没有人成功。
从此，哥尼斯堡七桥问题传开了，吸引了无数的游客。他们一方面来欣赏游玩，一方面想碰碰自己的运气，亲自走一走，希望找到答案。他们在7座桥上走过来，又走过去，日复一日，年复一年，都失望而归。
七桥问题成为欧洲闻名的难题。
当欧拉得知七桥问题时，也产生了极大的兴趣。他想，既然那么多人都走不通，是不是不可能存在那样的走法呢？于是他用“穷举法”检查所有的路线，说明他的设想是正确的。
欧拉又进一步地用“位置几何学”进行了证明。
这一天，哥尼斯堡花园依然游人如潮，他们欢声笑语，使小岛呈现勃勃生机。很多人还是在桥上走来走去，似乎非要找到正确的答案不可。桥上，有一位从彼得堡来的独眼青年，向热衷于七桥问题的人们郑重宣布：“一个人要一次过7座桥，而每座只走一次，这是不可能的。”
哥尼斯堡七桥难题，终于解决了。
欧拉对现代数学语言也作出了贡献，许多常用符号都起源于他。1734年，用f（x）作为函数的记号；1736年，倡导用π表示圆周率，用e表示自然对数的底；1748年，创用了正弦sin，余弦cos，1753年创用了正切tg；1755年创用Σ表示求和；1777年创用i表示-1；还建议记作三角形的边和A、B、C记作它们的对角，大大简化了三角公式。
在应用数学方面，欧拉以微积分为主要数学方法，对力学、光学、声学、热学以及多种工程技术进行广泛的研究，取得了重要的成就。
在力学中，他继承和发展了丹厄尔的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，并以流体力学和船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》于1759年获巴黎科学院奖金。
他还把数学应用于天文研究，创立了关于月球运动的第二种理论。
欧拉认为一个科学家“如果是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那些引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。”
欧拉是数学上最多产的科学家，他一生中共发表论著500多种，加上他生前没有发表和出版的手稿，多达800种以上。欧拉逝世后，数学史家把他的著作编成全集出版，竟达72卷。
欧拉的著作，包含了很多开创性的成果，并且在表述上思路清晰，条理性强，富有启发性。他的行文优美流畅，淋漓尽致地表露了自己的思想和发现。有人赞誉欧拉是“数学界的莎士比亚”。
坚强的意志
有人可能认为，欧拉成果卓越，著述如林，肯定是条件优越，并且牺牲了生活的所有其他乐趣而换来的。
其实不然。欧拉并没有像牛顿、莱布尼茨那样终身未婚，把所有的时间都用在科学研究上。相反，他结了婚，并且有13个孩子，尽量帮助妻子减轻负担，关心家庭，关心儿女，也和孩子们做游戏，也给孩子们讲故事，他的许多不朽著作都是在膝上坐着孩子、身上背着孩子的情况下写出来的。