另一路进军者
在高斯发现非欧几何的同时，匈牙利数学家亚诺什·波耶也几乎同时发现了非欧几何，并勇敢地把它公诸于世。
且说1820年的一天，在维也纳工程学院读书的一个青年小伙子收到了一封家信，父亲在信中说：“你必须像痛恶淫荡的社交一样痛恶它。它能剥夺你的所有的闲暇，你的健康，你的休息，以及一生的所有快乐。这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔样的牛顿，而在大地上将仍不会有光明。”
痛恶什么？竟如此严重！
这是一封父亲亚诺什·法卡什写给儿子亚诺针·波耶的信，严厉告诫儿子放弃对欧氏几何第5公设的证明。
法卡什之所以对第5公设的证明深恶痛绝，是由他亲身体验总结出来的。
法卡什有一肚子的苦水。
法卡什早年在数学上很有造就，对第5公设之谜也产生了浓厚的兴趣，在1796年有幸去德国游学，在哥廷根结识了数学之王高斯，共同的志趣使两人很快成为关系密切的挚友，从此不断地进行书信往来，研讨学术问题。
不过，高斯和法卡什研究第5公设有所不同。高斯认为第5公设不可证明，并发现了非欧几何。而法卡什始终认为第5公设是可以证明的，因此注定要失败。
法卡什在第5公设的研究中，耗费了大半生时间，始终没有在数学上取得重大成就，只能在一个小城中学当一个普通的数学教师。
法卡什回想自己的一生，虽然耗费了大量的时间和精力，却得不出任何结果，断送了光辉的前程，就连数学之王高斯在第5公设的研究中，也没有发表任何成果。
前人的失败，自己的教训，使法卡什对这个数学之谜深恶痛绝。当得知儿子步人后尘时，做父亲的怎能不苦心相劝呢？
大家不禁要问，波耶是怎样对第5公设产生兴趣的呢？他听从父亲的劝告了吗？
波耶于1802年出生在匈牙利的柯罗日瓦尔，在父亲的影响下，从小喜欢数学。波耶中学毕业后，在父亲的指导下，已掌握了高等数学的基础知识。
这时，法卡什想把儿子送到高斯手下深造，未能实现。
1820年，波耶以优异成绩考入维也纳皇家工程学院，但对数学仍然抱有特殊的偏好。
就在这一年，波耶开始试证第5公设，并征求父亲意见。法卡什知道后，多次写信劝告：“老天啊，希望你放弃这个问题……”“希望你不要再尝试了……我熟知一切方法都到尽头了；并且我在这里埋没了人生的一切亮光，一切快乐。”
波耶不听父亲的劝告，没有被父亲的悲观言论所吓倒，执意研究第5公设。
1822年，波耶从维也纳工程学院毕业后，因成绩优秀，被留校进行特种军事工程研究，一年后，被征到军队服役，成为一名勇敢的军官。
从工程学院的学习，到后来的军旅生活，波耶一直把全部业余时间用于第5公设的研究上。在研究过程中，他广泛吸取前人的研究成果，力图证明第5公设。
经过几年的苦心研究，波耶终于证明第5公设在欧氏几何理论中是一个独立的公设，企图用欧氏几何的其他公设来证明第5公设是不可能的，从而解决了这一数学难题。
1823年，波耶写成论文《空间的绝对几何学》，阐述这一发现。他在写给父亲的信中说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，只要情况一旦允许我把资料整理就绪。现在我还没有达到目的，但是我已获得这样可注目的一些结果；如果这些遭受摧残的话，那真是太可惜啦。”
法卡什不相信21岁的儿子会超过自己，更不相信儿子能在平行线理论上有什么作为。
波耶在证明第5公设不可证明后，由此引出一条相反的定理：过直线外一点，可引无穷多条平行线。从这一定理出发，波耶又推出了一系列新的定理，从而形成了一个严密而完整的新的几何系统，创立了非欧几何。
当高斯发现非欧几何时，由于害怕遭到传统势力的围攻，而不敢发表，把它锁在书柜里。但年轻的波耶勇敢地向传统观念挑战，决心把自己的见解公布于众。
1825年，波耶在完成了他的非欧几何学后，亲自回到柯罗日瓦尔，向父亲详细介绍自己的研究过程和结果，并请求帮助把自己的论文《一种包含绝对真实的空间科学》出版。
法卡什已失去了探索和创新的勇气，在传统观念的束缚下，对波耶非凡的工作抱着不以为然的态度，拒绝了儿子的要求。
波耶对父亲感到失望，便向维也纳工程学院的老师求援。1826年，他把非欧几何学的德文抄本，寄给艾克维尔数学教授。不幸的是，这个抄本被遗失了。
波耶毫无办法，只好再去求父亲。在多次请求后，法卡什才勉强同意把波耶的论文以附录的形式，出版在他自己正在写的《试论数学定理》这一著作中。
法卡什似乎看到波耶发现了什么新东西，但无法评价。从小就崇拜高斯的波耶，请父亲把自己的论文寄给高斯，希望能得到这位数学权威的评价。
1831年6月，法卡什写了一封信连同儿子的论文一起寄给了高斯。
信件向哥廷根飞去，也带走了波耶的心。他多么希望得到高斯的支持啊！
波耶急切地盼望高斯的回信，满怀信心地认为，对数学无所不知的高斯一定能理解和赞赏自己的研究工作。
1832年3月，高斯终于回信信了。
高斯在信中说：“……称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你的儿子所采用的方法和他所得到的一切结果，几乎全部和我的一部分在35年前已开始的个人沉思相符合。……关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿意发表的，大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度。”
他又说：“使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我面前有这样惊异姿态的正是老友的儿子。”
从这封信的内容来看，高斯肯定了波耶的研究成果，但也不能过分称赞，那样等于自夸，之所以不愿意发表自己的成果，是为了回避传统势力的围攻。
波耶对高斯模棱两可的回信很失望，同时为和高斯的想法相符合而感到欣慰，更加坚信自己的理论是正确的，期待着尽快得到科学界的承认。
由于学术上的分歧，法卡什只给很小的篇幅附印儿子的论文。经过一再压缩，波耶的论文和他父亲的著作终于在1832年出版了。
罗巴切夫斯基的非欧几何
然而俄国数学家罗巴切夫斯基的非欧几何论文，已经在这之前发表了。
就在波耶论文发表的这一年，俄国数学家罗巴切夫斯基因为车祸，几乎成了一个半残废，第二年从军队退役，回到老家。
在这以后，波耶一直过着穷困潦倒的生活。就是在这样艰难困苦的生活中，他仍然从事非欧几何的研究。
1860年，波耶逝世。他的非欧几何没有得到世人的承认。
就在波耶潜心研究第5公设，并发现非欧几何时，比他大10岁的俄国数学家罗巴切夫斯基也大体同时发现了非欧几何。
罗巴切夫斯基于1792年出生在俄国的下诺夫哥罗德，就是现在的高尔基市。他3岁丧父，由善良的母亲把他一手拉扯长大。
由于家境贫寒，生活都难以维持，母亲照样无法把儿子送去读书，后来在政府的救济下，罗巴切夫斯基才转为公费上学。
1808年，罗巴切夫斯基进入喀山大学学习。他更加发奋读书，努力学习。
他的思想活跃，具有生动活泼的气质，敢于主持正义，见义勇为，并且关心他人，助人为乐。
罗巴切夫斯基有坚强的意志，惊人的毅力，能勤奋地学习，不断地探索，又有良好的学习方法，因此他的各门功课都是优秀，特别是他的数学才能和独创精神赢得了全校师生的赞扬，为他后来攀登数学高峰奠定了坚实的基础。
1811年，罗巴切夫斯基大学毕业，因成绩突出而留在喀山大学任教。由于他在数学上的成就，22岁时就当了喀山大学的副教授，24岁晋升为教授。
罗巴切夫斯基在1816年出任教授后，也加入了试证第5公设的行列，通过几年的努力，他失败了。但是，在失败中，罗巴切夫斯基对第5公设产生了怀疑，并进一步认识到第5公设是不可证明的。
在第5公设不可证明的思想基础上，罗巴切夫斯基开始探索一种新的几何学体系。1823年，他在一份教学提纲中提出建立新几何体系的可能性，并把它上交给校方。
校长马格尼斯基认为，罗马切夫斯基的设想是狂妄的，彼得堡科学院认为他的学说是邪说。
在困难和挫折面前，罗巴切夫斯基没有像其他数学家那样失败后就放弃了对第5公设的研究，他的最大特点是对于大家难以解决的问题敢于提出新见解，敢于碰硬，敢于创新，勇往直前。
罗巴切夫斯基对新的几何学体系进行不断的理论探索。他提出一个与第5公设相反的假设：过直线外一点至少可以作两条直线和已知道线不相交。
这是一个与第5公设相矛盾的假设，按照这一假设应当推出与欧氏几何相矛盾的结果。但是并没有引出矛盾，而是推出了一个新的几何传统，逻辑严密。罗巴切夫斯基把这种抽象的新的几何系统最初称为“抽象几何学”。
1826年2月11日，罗巴切夫斯基在喀山大学的一学术会议上，宣读了他的不朽论文——《几何原理的扼要简释及平行线定理的一个严格证明》。
在这篇论文里，罗巴切夫斯基提出了“过直线外一点至少可以作两条直线和已知直线不相交”的“罗氏公设”，与欧氏几何中前四条公设相结合，推出了逻辑上毫无矛盾的非欧几何，或叫双曲几何。
罗巴切夫斯基宣读论文的这一天，后来被定为非欧几何学的诞生日。
但在当时，参加学术会议的委员们根本不相信罗巴切夫斯基的学说，否定它的价值，《喀山大学学报》也拒绝发表。