维也纳的秋夜格外动人，夜幕伴随着多瑙河上飘来的歌声一齐降临。在维也纳临街的小啤酒馆里，十几个年轻的大学生聚集在一起，饮酒、唱歌、辩论。
“喂，鲍耶，我向你提一个难题，你如果不能解答，从此就不要再自称什么‘数学迷’了。
”一个醉醺醺的同学向鲍耶挑衅。
“又是那个该死的第五公理！别理他，鲍耶，他又喝醉了。”好心的同学劝说道。
就读于维也纳皇家工程学院的亚诺什·鲍耶（1802-1860，匈牙利数学家，创立了完整的无矛盾的欧几里得几何体系）几次听到人们谈及欧氏几何的第五公理，都把它视为难中之难，他对“第五公理”的问题开始留心起来。
欧氏几何学是一个严密的、清楚的系统，来自两千多年前古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》。整个欧氏几何系统像一座极其完美壮观的大厦，富丽堂皇地建立在最初的几个命题上。里面的每一条定理都是经过严格的推理而推导出来的，它们的原始出发点就是包括五个公理或五个公理的原始命题，它们是不经过证明就直接承认的，因为它们是显而易见的，所以人们常称之为“公理”。欧几里得几何学正是建立在这几个公理的基础上的，它雄视科学界两千年，没有人能动摇它的权威。通常科学著作容易被新著作所淘汰，很少几本能流传两三百年，唯独欧几里得写的《几何原本》与众不同，居然芳泽绵长，传诵至今。由此可见，欧几里得几何是如何深入人心了。
不过后来人们也发现了一个问题，原来在那些作为基石的公理中第五公理显得很特别。这条公理现在是这样说的：“过直线外一点，可引一条，而且只能引一条平行线。”可是，怎样才能断定两条直线平行呢？要做到这一点，必须把它们向两端无限延长，并且处处不相交。
这当然无法做到。因此第五公理是否符合实际就值得怀疑：有什么根据说不能引多于一条的平行线呢？欧几里得本人似乎也察觉到了这一点，他总是尽量避免引用它。在他的书中，第五公理出现得很晚，这样一来便更增加了人们的怀疑。能不能把它从公理中删掉？能不能从其余的公理中把它证明出来，因而改变它的地位，使它由公理变成定理呢？早自第五世纪以来就有人从事这一研究，而且历代不绝，其中包括一些造诣很高的数学工作者，如瓦里斯（1616-1703）、兰贝尔特（1728-1777）、勒让德（1752-1833）、拉格朗日（1736-1813）等人，然而他们都没有成功。
尽管如此，人们仍然坚信：第五公理是能够用其他几个公理来加以证明的。由于众多的数学家都没能解决第五公理问题，所以人们把它看成是数学领域中的“难中之难”，是一点也不奇怪的。
那个醉鬼经常以这个第五公理来奚落鲍耶，鲍耶也因此更加关注第五公理。当他了解了上述情况之后，第五公理的难度吸引了他，他更加坚定地投身于数学领域，并开始全力以赴地去证明它。
这件事很快被他的爸爸知道了。1820年，一个邮差递给鲍耶一封信。鲍耶一看信封上熟悉的“科洛斯堡”的邮戳，就知道是家书。
鲍耶急切地打开信，认真阅读起来。他非常想知道爸爸对他开始证明欧氏几何第五公理的意见。可是，看着信上熟悉的字迹，鲍耶的眉头越拧越紧。爸爸对他研究这一问题持坚决的反对态度，信中的口气是不容商量的。鲍耶不相信这是爸爸的来信，因为这与一贯鼓励他研究问题、激励他勇于进取的爸爸迥然两人。
鲍耶不由得回忆起温馨的童年时光。
小鲍耶于1802年12月15日生于匈牙利的科洛斯堡（现罗马尼亚克卢日）。他的爸爸F鲍耶是大数学家高斯的好友，同时也是一位颇有才气的数学教授。童年时代，爸爸就成为鲍耶最好的老师，他鼓励鲍耶独立思考问题，培养他对科学的兴趣，小鲍耶经常是在听完爸爸讲述“数学王子”高斯的故事以后，才进入梦乡。在父亲的指导下，他少年时就学习了微积分和分析力学等高深课程，喜好数学和音乐。
小鲍耶由于家庭环境的影响，从小酷爱数学。1818年，小鲍耶中学毕业，以优异的成绩考进维也纳皇家工程学院接受军事教育。
既然爸爸来信询问，鲍耶也只好全盘托出。可是，鲍耶的爸爸一再写信警告他，反对他研究这个问题。鲍耶的爸爸在来信中说：“老天啊！希望你不要再做克服平行线公理的尝试。你花了时间在这上面，但一辈子也证明不出这个命题……我经过了彻夜的无希望的黑暗，我在这里面埋没了人生的一切亮光、一切快乐……它会剥夺你生活的一切时间、健康、休息和幸福。”
老鲍耶为什么如此坚决地反对他的儿子研究这个问题呢？老鲍耶早年作为一个贵族的家庭教师，于1796年有幸去德国游学，在哥廷根认识了当时还风华正茂的后来成为“数学王子”的高斯。两人志趣相投，关系十分密切，经常书信往来，研讨学术问题，成为挚友。老鲍耶一生从事第五公理问题的研究，高斯也沉浸在证明第五公理中不能自拔。虽然用了许多时间和精力，却得不出任何结果。鉴于自己和其他学者的许多失败的教训，他才坚决反对儿子从事这个问题的研究。他诚恳地对儿子说：“这个无希望的黑暗会使成千个牛顿那样的灯塔熄灭，希望你不要闯进去！”
鲍耶并没有被父亲的悲观言论所打倒、动摇，他认准的道路一向是决不回头的。皇天不负苦心人，不久，经过艰苦的努力，鲍耶终于运用“归谬法”证明第五公理在欧氏几何理论中是一个独立的公理，企图用欧氏几何的其他公理来证明第五公理是不可能的。这就解决了几千年来数学界的一个大难题。
明确了第五公理是不能证明的，在其他数学家看来就是一场了不起的伟大胜利。然而，鲍耶却没有停留在这一步，他又向前跨出了一大步，导致了几何学上的一场伟大革命。
鲍耶在保留欧氏几何的其余公理的基础上，用自己的新的公理去取代了第五公理，得出一种在理论上不同于欧氏几何学的新几何学。鲍耶的新公理说：“过直线外一点，可引无穷多条平行线。”一种全新的非欧几里得几何学在鲍耶的手中诞生了。
然而，鲍耶的理论遭受到了数学权威的欺凌，他父亲的朋友、大数学家高斯也不支持鲍耶的理论，直到鲍耶于1860年1月27日病逝于毛罗什瓦萨尔海伊（现为罗马尼亚的特尔古穆列什），这一理论也没有被人们接受。他的工作后来经E·贝尔特拉米（1868）和C·F·克莱因（1871）的努力才得到数学界的普遍承认，从而载入史册。到了20世纪初，爱因斯坦的相对论在宇宙天体大范围内观测中和原子微观领域研究中得到证明，鲍耶的智慧才得以放出耀眼的光芒。