奇妙的“0.618”
让一根很普通的细橡皮筋发出“哆口来咪”的声音并不难：把它拉紧，固定住，拨动一下，就是“1”，然后量出其长，作一道几何题——把这条“线段”进行黄金分割，可以测出“分割”得到的两条线段中较长的一段，约是原线段长度的0.618倍。捏住这个点，拨动较长的那段“弦”，就发出“2”；再把这段较长线段进行黄金分割，就找到了“3”，以此类推“4、5、6、7”同样可以找到。
什么是黄金分割呢？把一条线段分成两条线段，使其中的较长线段是原线段与较短线段的比例中项，也就是说使较长线段的长的平方等于原线段与较短线段的长度的乘积。这就叫做把线段黄金分割。通过计算可知，较长线段与原线段之长的比值约为0.618.正是这个奇妙的0.618，使琴弦发出准确而清纯的音响。
“0.618”，意味着美，意味着和谐。
你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗？这个高楼大厦鳞次栉比的现代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它气宇轩昂，直冲云霄。有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。多伦多电视塔被称为“高塔之王”，这个奇妙的“0.618”起了决定性作用。
与此类似，举世闻名的法兰西“高塔之祖”——艾菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。
气势雄伟的建筑物少不了“0.618”，艺术上更是如此。舞台上，演员既不是站在正中间，也不会站在台边上，而是站在舞台全长的0.618倍处，站在这一点上，观众看上去才惬意。我们从所熟悉的米洛斯的“维纳斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼达等一些名垂千古的雕像中，都可以找到“黄金比值”——0.618，因而作品达到了美的奇境。达芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值。因为人体的很多部位，都遵循着黄金分割比例。人们公认的最完美的脸型——“鹅蛋”形，脸宽与脸长的比值约为0.618.如果计算一下翩翩欲仙的芭蕾演员的优美身段，可以得知，他们的腿长与身长的比值也大约是0.618.另外人体躯干的宽、高比值也是0.618.一个个奇妙的0.618，组成了人体的美。我国一位二胡演奏家在漫长的演奏生涯中发现，如果把二胡的“千斤”放在琴弦某处，音色会无与伦比的美妙。经过数学家验证，这一点恰恰是琴弦的黄金分割点：0.618！黄金比值，在创造着奇迹！
偶然吗？不，在人们身边，到处都有0.618的“杰作”：人们总是把桌面、门窗等做成宽与长比值为0.618的长方形。
在数学上，0.618更是大显神通。华罗庚推广的著名的优选法中就涉及“0.618法”，并以大量事例启迪人们去认识这奇妙的黄金分割律。
0.618，这美的比值、美的色彩、美的旋律，广泛地体现在人们的日常生活中，与人们关系甚密。0.618，奇妙的数字！它创造了无数的美，统一着人们的审美观。爱开玩笑的0.618，又制造了大量的“巧合”。在整个世界中，无处不闪耀着0.618那黄金一样熠熠的光辉！
韩信点兵
在汉朝，大名鼎鼎的韩信是路人皆知的大将军，深得刘邦的器重。韩信原来效力于项羽手下，但并不为项羽所重用。就在韩信觉得自己的才华无法施展，心里闷闷不乐的时候，刘邦的谋士萧何看出了其中的奥秘。萧何深知韩信熟读兵书，足智多谋，很善于用兵打仗。他竭力向刘邦推荐韩信，于是不久，韩信经过一番曲折，投到了刘邦的帐下，成为刘邦的大将军。后来，韩信果然不负众望，接二连三地取得了几个大的战役胜利，为刘邦夺取江山立下汗马功劳。
有一次，韩信去校场清点兵马。士兵们整整齐齐排好队，鲜艳地旗帜迎风招展，等着韩信到来。这时韩信身披战袍，好威风，昂首阔步登上点将台。随从们站在边上，听着韩信发令。
韩信胸有成竹，手执令旗，调遣军队。只见韩信呼啦啦把旗一挥，发出信号。士兵们的队形马上发生了变化，排成3列横队，前后对得整整齐齐。韩信默默记下了不足3人一排中余下的人数。接着，韩信的令旗又一挥，士兵们排成5列横队，每五人一排也对齐。韩信又记下最后一排不足5人的数。最后，韩信再变一次队形，把整个军队变成7列横队，每七人一排也对齐。韩信再数了不足7人一排中的人数。韩信就根据这三个数，算出缺席士兵的人数，看上去很容易，很快就完成了。
不过随从心里有点纳闷，这样真行吗？有一位冒失者就问道：“大将军，您已经点清了吗？”
“不错，有何疑问？”韩信回答。
这位随从把韩信的答案拿来一对，确实不差，于是接着问：“请问大将军是怎样点兵的？”
“这不是我韩信的发明，你去仔细读读《算经十书》这本书就知道了。”
这位随从后来发现，《算经十书》中的《孙子算经》中确实有一道题，与韩信点兵的方法相同，大致意思是这样的：
有一堆东西，个数不知道。不过，三个三个一数，剩两个；五个五个一数，剩三个；七个七个一数，剩两个。请问一共有多少个？
这个问题的解法在书中也有详细的阐述。后来，欧洲人高斯也发现了类似的定理，但要晚1000多年。人们把这类问题称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。中国古文明的火花闪烁出夺目的光辉。不仅如此，明朝数学家程大位还编出一首歌诀，通俗易懂：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这首歌诀的意思是：把除以3的余数乘70，把除以5的余数乘21，把除以7的余数乘15，然后全加起来减去105的倍数或加105的倍数。
这类问题的应用很广，就是在电子计算机的设计中也要用到。
棋盘上的奖赏
这是发生在国际象棋棋盘上的一个故事。
说到国际象棋，你可能还不知道是个什么样子，这不要紧。要弄明白这个故事，根本用不着懂得下棋，只要知道这种象棋的棋盘是四方形的，上面画着64个小方格就行了。
这种国际象棋是印度宰相西萨班达依尔发明的。国王舍罕知道后非常赞赏，就把宰相达依尔召到面前，说：
“老爱卿，你以自己的聪明才智发明了这种变化无穷、引人入胜的游戏，我要重重地奖赏你。”
宰相达依尔跪倒在国王面前，说：“陛下，你的恩赐，臣万分感激。”
国王说：“我可以满足你最大胆的要求，只要你能想到的，你就可以得到它。”
宰相不做声，低着头沉思。
“不要害怕！”国王鼓励说：“说出你的愿望来吧，我会使你满意的。”
“陛下，”宰相说，“那就请你在棋盘的第一个小格内赐给我1粒麦子吧。”
“什么？1粒麦子？”国王感到非常意外，惊讶地问。
“是的，陛下，1粒普通的麦子。”宰相说，“请在第二个小格内赐给我2粒，第三个小格内赐给我4粒，第四个小格8粒，第五个小格16粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍。把摆满棋盘64个小格的所有麦子赏赐给你的仆人吧！”
“竟是这种愿望！你不是在开玩笑吧？”国王有些生气了。他觉得这种要求是对国王财富的一种蔑视。他便用一种讥讽的口吻说：“老爱卿，这种要求大概你不会怕我满足不了你吧？”
当时就叫侍从扛来一口袋麦子。
特殊的发奖仪式开始了。国王亲手在第一小格内放了1粒麦子，在第二小格放了2粒，第三小格放了4粒，第四小格放了8粒。然后就很扫兴地离开了，叫侍从代替他，并嘱咐说：“填满方格，给他送去就行了。”
老练的侍从没有急着一格一格地去放麦粒，而是先计算了计算，看看总共需要几口袋。
数目计算出来了。这个数，竟把侍从吓呆了。他赶紧去报告国王。
“国王陛下，我已经准确地算出了宰相要的麦子数量，这个数目大到……”
“不管这个数目有多大，我的粮仓是绝不会空的。”国王骄傲地打断侍从的话说，“我答应的赏赐，要一粒不少地给他。”
“这是绝对不可能的，陛下！”侍从说，“宰相所要求的，不仅您所有粮仓的麦子不够，就是把全世界的麦子都给了他，也相差太远太远了。”
“能这样吗？你是不是算错了？”国王怀疑地说。
“一点不错，陛下，这是千真万确的！”接着，侍从便算给国王听。
宰相达依尔要求赏赐的麦子是多少呢？通过计算才知道，这需要：
1+2+22+23+24+……+262+263
=18，446，744，073，709，551，615（颗麦子）
1立方米麦子约有15，000，000粒。照这样计算，国王就得给宰相1，200，000，000，000立方米的麦子。这些麦子比全世界两千年生产麦子的总和还多。假如造一个高4米、宽10米的粮仓装这些麦子，这个粮仓就有30，000，000千米长，能绕地球赤道转700圈，等于地球到太阳距离的两倍。
国王哪有这么多的麦子呢？他的慷慨的赏赐，成了欠宰相达依尔的一笔永远也还不清的债。
国王舍罕，万万没有想到，从1粒麦子开始，两倍两倍地增加，只在64个小格内就变出那么大个惊人的数目。宰相的智慧超出了国王的想像力。尽管国王满口答应一定要满足宰相提出的任何要求，但是，无论如何，国王是拿不出那么多麦子的。
这使国王大伤脑筋，终日心事重重，一筹莫展。心想：就是祈求上帝帮助，这笔奖赏也肯定付不清了。
这件事让一个教师知道了。他赶到京城，求见国王说：“陛下，听说为了棋盘上的奖赏您正左右为难，闷闷不乐？”
“你既然已经知道了，就不需要我再重复了。”国王说。
“解决这个问题像1+1=2那样简单，陛下怎么倒叫它给难住了？”教师说得轻松而有把握。
“那就说说你的办法吧！”国王态度仍然很冷淡。
“按照陛下答应的条件，宰相要求多少奖赏，您丝毫不打折扣地付给他就行了，这有什么难处？”
“你是荒唐，还是无知？”国王被这“没头脑”的建议激怒了，“我能把全世界两千多年生产的麦子都搬来给他吗？”
“那倒不用。只用你粮仓里的麦子就足够了。”
“什么？只用我粮仓里的麦子就够了？”国王像是没听明白，重复地问了一句。
“事情很简单！”教师说，“宰相在棋盘上要求多少麦子就赏赐给他多少，然后把粮仓打开，让宰相自己一粒一粒数出那些麦子就行了。”
这可是国王没想到的，他不再放声，默默地听教师说。
“假设每数一粒麦子需要一秒钟的话，一昼夜24小时是86，400秒。也就是说，宰相在第一昼夜能数出的麦子是86，400粒。数十昼夜还数不到100万粒。照这样连续不断地数，一年才能数完2立方米的麦子。数上10年，才能数出20立方米，数100年，也只能数出200立方米。从现在开始，数到宰相去见上帝，他只能得到要求赏赐的极小极小的一部分。这样，就不是国王不能付给宰相奖赏，而是宰相自己无能力拿走应得的全部奖赏了。”教师像在课堂上讲课似的说给国王听。
国王慢慢明白过来了，激动地连连点头说：“好！好！”
像是为了进一步增强说服的效果，教师继续说：“宰相要求赏赐的麦子数异常巨大，这个数目是18，446，744，073，709，551，615粒，我简直无法把它读下来。我计算过，如果一年到头，一秒也不停地一粒一粒地数，一年有3153.6万秒，总共需要将近5800亿年才能数完。到那时，不仅陛下、宰相连同我早已上了天国，就是我们的子子孙孙也早已到天国去玩耍了。”
国王兴奋得眉飞色舞，立即把宰相叫到面前，说：“老爱卿，你要的奖赏我要全部付给你。”接着他把教师想出的办法说给宰相听。
宰相听后，不禁一惊。说：“陛下，你的仆人是绝对无能力拿走您的赏赐的，因此也就只好不要了。但我并不感到遗憾，我深深佩服陛下想出的这个绝妙的主意，陛下的智慧超过了我。”
国王面带喜色，赞赏地看着身边的那位教师。教师安详而谦虚地微笑着。
原子弹的威力
1945年7月16日早晨，在美国新墨西哥州南部一望无际的沙漠上，一项神秘而又危险的试验就要开始。参加试验的科学家、工程师、军官和其他有关人员全都面朝下趴在离试验中心近1万米远的掩体里，等待着这个激动人心的时刻的到来。他们紧张得一句话也不敢说。终于，5时29分，随着强烈的闪光，震耳欲聋的巨响，一个比太阳还要明亮10多倍的火球迅速膨胀、上升。火球先是金色后又转为紫色、深紫、灰色和蓝色，同时地面上掀起一个粗大的深褐色的尘柱，当尘柱追上直径达500米的大火球时，便形成高达10多公里的蘑菇状烟云。世界上第一颗原子弹试验成功啦！
原子弹爆炸是一种剧烈的原子核裂变过程，在这个过程中释放出来的巨大能量，理论上是可以精确计算的。但是，技术上能做到哪一步？一个原子弹实际爆炸时产生的威力到底有多大？需要依靠精密仪器的测定。为此，科学研究人员设计了几十种的核测量方法。人们在掩体里欢呼实验成功的同时，又迫切等待着测量的结果。
突然，有一个身穿笨重防护服的人，从掩体里冲出，迎着试验方向奔去。这个勇敢的人去干什么呢？只见他一边跑，一边把事先准备好的许多小纸片举在头上，迎风撒去，纸片立即随着气流飘动起来。这时，他又转过身子，注视着小纸片的飘落，跟着小纸片的飘动跑起来，一边跑，一边数着自己的步子。等他拾起落在地上的纸片，气喘吁吁地回到掩体时，大家才看清他是著名的物理学家费米。
只见他十分兴奋地说：“大家听着，第一颗原子弹爆炸的威力，大约相当于2万吨普通军用炸药爆炸时所释放出来的能量。”
要不是他在物理学界非常有威望，大家都会认为他是在招摇撞骗，即使由于他的威望，对小小几张纸片竟能测出原子弹爆炸时的威力，大家也感到疑惑不解、半信半疑。没有想到，两小时后，经过精密仪器测定的结果，与费米的纸片测定结果相同。从此，人们不由得对费米更加崇敬了。
物理学家费米如何利用纸片推算出原子弹爆炸的威力呢？原来，原子弹爆炸时巨大的能量以三种形式释放出来：第一是爆炸中心产生极高的温度，辐射大量的热；第二是附近空气受热膨胀，产生强大的冲击波；第三是产生相当多的放射性粒子。费米计算了三种形式能量之间的关系，因此，只要测出一种能量，就可算出全部能量，即原子弹爆炸的威力。费米选择了测量冲击波的能量。这种能量，即强大气流的能量最容易测量。气流的能量正比于气流的速度，而气流的速度可以看作纸片飘动的速度。那么又如何知道纸片飘动的速度呢？纸片的速度为纸片飘过的距离除以飘动的时间。只要事先练习好每一步的准确距离和计算出跨一步的精确时间，在跟随小纸片奔跑时，记下小纸片落地时已跑了多少步，又记下跑到小纸片落地处一共是多少步，这样就能求得小纸片飘过的距离和飘动的时间，纸片的速度就知道了。当然，用这种方法推算出的爆炸威力的结果只能是近似的数值。
油画中的数学题
俄国一美术博物馆收藏了一幅奇怪的油画，画名就叫《难题》。油画的作者是著名俄国画家波格丹洛夫别列斯基。油画描绘了俄国数学家、教育家拉金斯基和他的学生们正在演算黑板上的数学题。画面的主体是黑板上用白粉笔列的一道数学题。一群俄国小学生正仰着小脑袋，皱着小眉头，望着黑板上的数学题动脑筋。黑板上方有一个镜框，镜框里有拉金斯基的半身肖像。他面带微笑，双眼闪着聪睿和蔼之光，看着孩子们，好像在鼓励他们开动脑筋，攻克难关。
这幅油画中，黑板上的数学题占据了画面的中心，似乎显得单调、枯燥；但是，只要人们驻足观看一眼，就会被画面空间洋溢出的智慧吸引住，情不自禁地在油画前做起数学题来。
乍看之下，这道数学题似乎并不难，但是细细一看，却也不是很容易。它不仅使小学生搔头抓耳弄不明白，就是大人们也一下子难以算清。
黑板上列的是一道分数题：
分子是：10的平方加11的平方加12的平方加13的平方加14的平方；
分母是：365.
求它的答案。
这道题是拉金斯基出给他所教的小学生做的。拉金斯基是俄国莫斯科大学的数学教授，是著名的数学家。他为什么要给小学生出数学题呢？
原来，拉金斯基虽然出生于俄罗斯偏远的农村，却天生地对数学有浓厚的兴趣，小时候常常为一些“难题”，算个几天几夜也不疲倦。11岁那年，他碰到一道二元二次方程式，无论他怎样绞尽脑汁，也解不出来。倔强的他独自徒步100多里，到城里向一位中学数学老师请教。老师只花了一分钟，教给了他一个简单的公式。他便很容易、很迅速地解开了这道方程式。这件事对拉金斯基深有触动：一些令乡村孩子们头疼的“难题”，只要有老师指导，其实是很容易解的。
拉金斯基通过自己的努力奋斗，终于成为俄罗斯出类拔萃的数学家。但是，他始终难忘乡村的孩子们。经过再三思考，他毅然辞去大学教授的职位，到乡村小学去当一名数学教师。他深知数学常常使农村孩子们畏惧，决心把枯燥的数学转变为孩子们喜爱的课程。于是，他利用数的一些特性，教给孩子们许多速算的方法。这既可以教给孩子们实际的技能，也可以激发孩子们的创造性，培养出对数学的浓厚兴趣和严谨的思维。油画中的数学题就是拉金斯基出的。他之所以要出这道题，是因为这道题看起来很麻烦，但是，如果了解了这道题几个数字之间存在的一个特性，它就迎刃而解了。
那么，这道题几个数字之间有什么特性呢？
你先算一算，它等于多少？
在计算中，你发现什么规律没有？拉金斯基在计算中发现了一个规律，就是：10的平方加11的平方加12的平方之和，正好等于13的平方加14的平方之和。而10的平方加11的平方加12的平方等于365；也就是说，13的平方加14的平方也等于365.这样，分子是两个365的和，而分母是一个365.分子除以分母，答案即可脱口而出地说出来：2.
这样的数学题，不仅教会学生速算的方法，更重要的是，它能启发学生细心地去考察数的一些性质，从而运用技巧去解决难题。画家别列斯基创作这幅油画，把看似枯燥的数学题绘进画幅，但却使观者如嚼橄榄，回味无穷，观众对拉金斯基出色的教学法赞不绝口。
看过这幅油画的人，在弄懂了它的寓意以后，再做数学题，都会特别留心数字之间是否有规律存在，并力图寻找出简便的运算方法来。中国著名数学家华罗庚曾经建议学数学的人，都看一看这幅油画。
9进制
乔治兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数目、公式打交道，深感数学的神秘和魅力。特别有趣的是，他的妻子安妮连续3年都在同一天分娩，更使他感到冥冥之中的某种神秘力量造成了这种巧合。因此，他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
随便举几例他发现的巧合。
法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔1个多世纪，但他们之间却有很多数字的巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希特勒1945年灭亡，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻入维也纳，相隔也是129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒1941年进攻苏联，其间相隔又是129年。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。接替林肯任总统的名叫约翰逊，接替肯尼迪任总统的也叫约翰逊。更巧的是，杀害林肯的凶手生于1829年，杀害肯尼迪的凶手生于1929年，又正好相隔100年。两名凶手都被捕获经审讯被处决。更令人吃惊的是，林肯出事这一天，他的一位姓肯尼迪的秘书曾急切建议林肯不要去剧院；而肯尼迪出事这天，他的一位叫林肯的秘书也曾极力劝告肯尼迪推迟达拉斯之行。
兰伯特被这些巧合和数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。他惊奇地发现拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过来成为921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，792÷9=88；100001=99；99÷9=11.而且，它们都有一个十位、个位相同的两位数商。
兰伯特异常吃惊。他又做游戏似地用这些名人的出生日期来做数字组合分解，又得到一个奇特的数学现象。
拿破仑出生于1769年8月15日，将这些数字连起来，构成一个数1769815.重新组合排列这些数，任意构成一个不同的数，例如9876511.在这两个数中，用大数减去小数，即9876511-1769815=8106696.把所得的差的各个数位上的数相加，得到一个两位数36.再把这个两位数十位和个位上的数相加，即3+6=9.最后的结果是9.
林肯出生于1809年2月12日，将这些数字连起来，构成一个数1809212.重新组合排列这些数，任意构成一个不同的数，例如9212081.在这两个数中，用大数减去小数，即9212081-1809212=7402869.把所得的差的各个数位上的数相加，得到一个两位数36.再把3和6相加，其结果仍然是9.
实际上，把任何人的生日写出来，按照上面的方法计算，最后得到的结果都是9.不信，用你的生日算一下，结果一定还是9！
兰伯特对9入了迷。
他发现，将1，2，3，4，5，6，7，8，9加在一起，它的和是45，那么4+5=9.
他发现，用9乘以任何数，得出的积数相加，结果它们的和总是9.
9×2=18——1+8=9
9×3=27——2+7=9
9×4=36——3+6=9
9×5=45——4+5=9
9×6=54——5+4=9
9×7=63——6+3=9
9×8=72——7+2=9
9×9=81——8+1=9
不论你用来乘9的数有多大，得数加起来总是9！你可以试用每一个数，结果绝对都如此：
9×78=702——7+0+2=9
9×1997=17973——1+7+9+7+3=27——2+7=9
……
他发现，取任何一个数，比如说1997，把每一位数加起来1+9+9+7=26，用1997减去26，就等于1971.这个数一定能被9除尽！1971÷9=219.
兰伯特带着对9的神秘感去请教大数学家乔希波普。波普告诉他关于9的数理。
把一个大数的各位数字相加得到一个和；再把这个和的各位数字相加又得到一个和；这样继续下去，直到最后的数字之和是个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数。这个计算过程，被称为“弃9法”。
求一个数的数字根，最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如求199798的数字根，其中有3个9，而1+8也等于9，就可以舍去，最后只剩下7.7就是199798这个原数的数字根。
由这些知识可以解释前面所述生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排，就得到一个新的数n′。显然n和n′有相同的数字根（例如199798和199897），把两个数字根相减就会得0.也就是说n-n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9.而在这种算法中，0和9本是一回事（即一个数除以9所得的余数）。n-n′=0，只有在n=n′即原数实际上没有改变时才发生；只要n≠n′，那么nn′累次求数字和所得的结果一定是9.
懂得了弃9法，兰伯特顿悟了不少。他进而想到，人类根本不应当10个10个地数数（十进制），也不应该12个12个（一打）地数数，而应该9个9个地数数，实行九进制。
这听起来似乎令人难以接受。因为人类有史以来就使用十进制；而现在的电子计算机也是采用的二进制。使用九进制有必要吗？
科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。但目前对9的研究还很不够，9对人类来说还极具神秘性。包括兰伯特在内的数学家们正努力地探索9的奥秘，希望在21世纪能对9的研究有更大的突破。
在结束本文的时候，请欣赏以下美妙的数字，以唤起你对神秘的9的兴趣，让你成为打破9的神秘的突击手，使人类在21世纪有可能掌握一种更先进的九进制计数方法：
987654321×9=8888888889
987654321×18=17777777778
987654321×27=26666666667
987654321×36=35555555556
987654321×45=44444444445
987654321×54=53333333334
987654321×63=62222222223
987654321×72=71111111112
987654321×81=80000000001
会下金蛋的母鸡
神话里有个仙人，他有一个神奇的宝盆，装进石子就能变成金子；童话里有个仙女，她有一个神奇的手指，能点石成金……这些当然都是人们编造出来虚无飘渺的故事。
然而，在数学王国里，却真有一只神奇的会下金蛋的母鸡……
那是在300多年前的法国。
当时巴黎有一位律师，名叫皮埃尔费尔马，是一个数学爱好者。他把毕生的业余时间都用来研究数学，并且在许多数学领域里做出了开创性的贡献，被人们称为“业余数学家之王”。
费尔马性情好静，不喜欢写书和发表论文，但是喜欢在钻研别人的著作时，在书页的空白处随时写下问题，记下心得。
1637年，费尔马在巴黎买了一本古希腊数学家丢番都的著作《算术》的拉丁文译本。他在这本书第2卷的“将一个平方数分为两个平方数”旁边的空白处写了一段话：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于这个结论，我确信已经发现了一种美妙的证明方法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
当然，这段话是费尔马死后，人们为编辑、整理他的论述而查阅他的书籍时发现的。
但是，谁也没有见到过这个“美妙的证明”。费尔马的儿子整理了他的全部遗稿和书信，都没有找到那个“美妙的证明”。
后人把费尔马写在书页空白处的那个结论叫做“费尔马猜想”或“费尔马问题”，但更普遍的是称之为“费尔马大定理”。用数学术语表达费尔马大定理就是：“当n是大于2的整数时，方程xn+yn=zn没有非零的整数解。”
费尔马大定理的证明激起了许许多多数学家的兴趣，高斯（“数学王子”）和欧拉（18世纪最优秀的数学家）都为证明它而花费了巨大的精力，但都没有解决。人们惊呼：费尔马大定理的证明实在太难了！它简直是在向人类的智慧挑战！
为了鼓励人们解决这道难题，许多国家的科学院曾设立多种奖金。17世纪末，德国一个城市的科学家和市民募捐了10万金马克，准备奖给解决这个难题的人，但没有得到结果；19世纪中，法国科学院两次设立3千法郎奖金，也没有得到结果；1908年，德国哥廷根科学院设立奖金10万马克，限期100年，向全世界征求费尔马大定理的证明，到现在为止，仍然没有看到完全的证明！
300多年来，一代一代数学家为了显示人类的智慧，揭示难题背后的数学真理，不断地创造新颖的数学方法，无意中创立和发展了新的数学分支，推动了整个数学的发展，这个意义远远超过了解决这个难题的本身。
1900年8月6日，第2届国际数学家大会在巴黎开幕了。8月9日，德国大数学家希尔伯特向到会的200多名数学家，也是向国际数学界提出了23个问题，这些问题当然都是非常非常难的，是新世纪里数学家们应当解决的。人们奇怪地问希尔伯特，为什么不把费尔马大定理列入这23个问题中去？希尔伯特意味深长地说：“如果我能解决这个问题，我将回避而故意不解决，这是因为我们应当更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”
希尔伯特把费尔马大定理比作“经常为我们生出金蛋的母鸡”，说明追求一个难题的解决，往往会使人们闯入新的领域里去。例如，德国数学家库麦尔（1810～1893）在研究费尔马大定理的过程中，创立了重要的数学概念——理想数，同时开创了一门崭新的数学分支——代数数论（1884），在现代数学中，代数数论仍然是十分活跃的领域，因为数学家们认为，库麦尔因此而创立的代数数论比费尔马大定理本身还重要得多！
“光阴似箭，日月如梭”，转眼就到了20世纪90年代，证明费尔马大定理的工作也不断取得进展。“说时迟，那时快”，历史的指针指向了公元1993年，距离德国哥廷根科学院1908年悬赏10万马克征求费尔马大定理的证明的100年有效期限，只有短短的14年了！这时，在向费尔马大定理进军的征途中，传出了震惊世界的消息：1993年6月23日，在英国剑桥大学举行的一次小型数学学术会议上，四十多岁的威尔斯（A。Wiles）博士在连续3天的学术报告结束时宣布：他已证明了费尔马大定理！几小时内，费尔马大定理获得证明的消息传遍四方，震惊了国际学术界。
威尔斯出生于英国牛津，小时候听说过“一只会下金蛋的母鸡”故事后，就对费尔马大定理着了迷，立志征服这座无人登顶的数学王国的高峰。就是这条奇妙的定理将他引入数学的殿堂，他选择“数学”作为他的职业。儿时的梦想，虽然带有绚丽的光环，但是，对于已成为数学家的威尔斯博士来说，却是一个耀眼的灯塔，他拟订了一套切实可行的研究方案来实现他童年的梦想——证明费尔马大定理。不过，所有这些研究工作都是极其秘密地进行的，就是在他宣布证明了费尔马大定理的学术会上，人们开始也未能察觉到他报告的最终目标。
威尔斯的工作公布后，很快受到了国际上一些最著名的数学家的喝彩，大多数人认为威尔斯是一位严肃的数学家，他的证明基础是可靠的。
人们正翘首期盼着欢呼费尔马大定理获得证明的最后时刻的到来！
但是，1993年12月4日，威尔斯教授宣布，他于6月对费尔马大定理的证明中“有漏洞”。所以，费尔马大定理仍在证明中！（见《中国数学会通讯》1994年第二期）读者同学，你看了这个故事，有什么想法呢？
让我们听听数学大师希尔伯特的一番话：“正如人类的每项事业都追求确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志和力量，发展新方法和新观点，达到更广阔和自由的境界。”
我们了解一些数学问题的历史和意义，可以提高对数学的认识，可以激励自己像前人那样顽强学习，为人类进步事业作出贡献。
蜜蜂问题
在美国数学界广泛流传着一个解蜜蜂问题的故事。
据说，在一次鸡尾酒会上，许多数学家聚集一堂，欢声笑语，洋溢着轻松愉快的气氛。著名的数学大师、“电子计算机之父”冯诺依曼端着酒杯，和同行们说说笑笑。一位客人看到冯诺依曼有时流露出心不在焉、若有所思的样子，知道这是科学家的“职业病”：搞惯了科学研究，做惯了思维“体操”，头脑里不想点问题便好像丢了什么东西似的。于是，他想出了一个问题。
“你好，冯诺依曼先后，想做游戏吗？”
“游戏？”他指了指头脑，说：“它正想活动活动，做做思维游戏呢！”
“我这里有一个蜜蜂问题。两列火车相距100英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时50英里。火车A的前端有1只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向火车B，遇到火车B以后，立即回头以同样的速度飞向火车A，遇到火车A以后，又回头飞向火车B，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止。假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂（冯诺依曼插话：好一只超级蜜蜂！）一共飞了多少英里的路？”
冯诺依曼，这位20世纪最杰出的数学家，心算能力极强，不用笔和纸就能熟练自如地进行计算。据说，他6岁就能心算8位数的除法，十来岁时就掌握了微积分，中学时在匈牙利数学竞赛中名列第一。他的老师、著名的数学家、教育家波利亚回忆说：“约翰（冯诺依曼的名字）是我惟一感到害怕的学生，如果我在讲演中列出一道难题，那么当我讲演结束时，他总会手拿一张潦草写成的纸片，说他已把难题解出来了。”
这时，把解答有趣的数学题作为一种积极的休息，作为参加一种游戏，冯诺依曼没有用简单的算术方法，而是别出心裁地采用了高等数学中一个巧妙的解法，很快地解出了这个问题。
如果你直接从蜜蜂往返飞行的路程去求解，那就很复杂了；而间接用蜜蜂飞行的时间来求解，那非常简单。
因为两列火车相距100英里，以每小时50英里的速度相向而行，所以，它们相遇时所经过的时间是1小时。而蜜蜂在这一段时间内，不停地在两列火车之前往返飞行，蜜蜂飞行的全部时间正好是两列火车相遇的时间。所以，蜜蜂在这1小时内，正好飞行了100英里。
有趣的是，我国著名数学大师苏步青教授，在一次出国访问时，脱口而出地解出了一位外国数学家提出的和“蜜蜂问题”类似的“猎狗问题”：
猎人甲带着他的猎狗到120公里外的猎人乙家去作客。当甲出发时，乙也正好走出家门去迎接甲。甲每小时走10公里，乙每小时走20公里，猎狗每小时走30公里。当猎狗先与乙相遇后，又返回来迎接甲，与甲相遇后，再转身去迎接乙。这样，猎狗就在甲、乙之间往返奔跑。问：当甲、乙相遇时，猎狗一共跑了多少公里路？
因为猎狗往返奔跑的全部时间，正好是猎人甲、乙相遇的时间：
120÷（10+20）=4（小时），
所以，猎狗一共跑的路程是
30×4=120（公里）。
数字“冰雹”
让我们先来做一个游戏：
你随便取一个自然数，如果它是偶数，就用2去除它；如果它是奇数，将它乘3之后再加1，这样反复运算，你会发现，最终必然是1.
比如，取自然数N=6.6是偶数，要先用2除，6÷2=3；3是奇数，要将它乘3之后再加1，3×3+1=10；按照上述法则继续往下做：10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1.从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1.
用一个大一点的数运算，结果还是这样吗？
取自然数N=16384.你会发现这个数连续用2除了14次，最后还是得1.
上面用的两个数都是偶数，奇数是不是这样的呢？
取自然数N=19.按照上面的法则来算，可以得到下面一串数字：
19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.
经过20步，最终也变为最小的自然数1.
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣。一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题。数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们通过大量演算发现最后结果总是得1.于是，数学家便提出如下一个猜想：
对于任一个自然数N，如果N是偶数，就把它变成N2；如果N是奇数，就把它变成3N+1.按照这个法则运算下去，最终必然得1.
这个猜想最初是由哪位数学家提出来的，已经搞不清楚了，但似乎并不古老。20世纪30年代，德国汉堡大学的学生考拉兹就研究过它。1952年一位英国数学家独立发现了它。几年之后它又被一位美国数学家所发现。自20世纪50年代起，这个问题一再引起人们的广泛兴趣。
在日本，这个问题最早是由角谷静夫介绍到日本的，所以日本人称它为“角谷猜想”。1960年角谷静夫初次听到这个问题，他说：“有一个月，耶鲁大学每一个人都在研究这个问题，但没有任何结果。我到芝加哥大学提出这个问题之后，也出现了同样现象。有人开玩笑说，这个问题是企图减缓美国数学进展的一个阴谋。”足见这个问题的吸引力之大。
人们争先恐后去研究这个猜想，一遍遍地进行运算，在运算过程中发现，算出来的数字忽大忽小，有的计算过程很长。比如从27算到1，需要112步。有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷结冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉了下来，变成了1.因此人们又给这个猜想起了个形象的名字——冰雹猜想。
巧称苹果
秋天到了，苹果园里，树上硕果累累，一派丰收景象。
小明的叔叔是林场的工程师，星期天加班。小明要叔叔带他到果园去玩。
小明和叔叔来到苹果质量检验处。叔叔仔细察看了职工们的工作：把摘下的苹果分类，检验，装箱。
“叔叔，一箱苹果有多重？”小朋问。
“四五十公斤吧，重量不一定相同。”叔叔说。
“咱们称一称吧！”小明要求道。
“好。”叔叔把小明领到一架磅秤旁边。不巧，管计量的职工有事离开了，把磅秤的小秤砣收了起来，只留下了100公斤的大秤砣。
小明不高兴了：“那怎么称一箱苹果的重量？”
叔叔想了想，说：“咱们把这5箱苹果两两合称吧！”
小明说：“两两合称就是每两箱一起称，一共要称10次。”
叔叔说：“对。不过，需要说明一下：咱们称的是苹果连同纸箱的重量，叫做毛重；箱子里面苹果的重量叫做净重。咱们以下说的每箱苹果的重量，都是毛重。”
小明和叔叔抬起苹果箱过称，记录如下：
5箱苹果，两两合称，重量（单位：公斤）为：
111，112，113，114，115，
116，117，118，119，121.
叔叔知道小明是数学课外小组成员，便想考考他：“你算算每箱苹果的重量，”叔叔又补充，“假定每箱苹果重量的公斤数都是整数。”
小明说：“我把这10个数加起来，除以20，不就算出来了！”
叔叔笑了：“那是平均数。你从这10个数中，能看出这5箱苹果的重量有两箱相同吗？”
小明说：“因为这10个数两两不相同，而且前面9个是连续自然数，所以，我推测这5箱苹果的重量两两不相同。”
“对。还有呢？”
“还有……没有了！”
叔叔启发说：“你从最简单的数，比如1，2，3下手，找找规律。”
小明说：“我试试看。1，2，3两两相加，得到3，4，5.这是什么规律呢？”
叔叔说：“思考要来一个飞跃，由简单到复杂，由具体到抽象，才能发现规律。你刚才说的，抽象到一般情况就是，3个连续自然数n，n+1，n+2，两两之和为2n+1，2n+2，2n+3，还有3个连续自然数。”
小明恍然大悟：“哎呀，我的脑子到这会儿才有点儿开窍。111，112，113应该是3个连续自然数两两相加而得到的，这3个数是……”
小明在草稿纸上做了一些计算之后，把草稿纸递给叔叔，说：“我已经算出来了，这5箱苹果的重量是……”
小明观察出这10个数，它们两两不同，而且前9个是连续的自然数，在叔叔的启发下推出，这5箱苹果的重量两两不相同，而且最小的3个重量数可能是连续的自然数。因为3个连续自然数两两之和仍为3个连续自然数，所以首先推出最小的3个重量的公斤数为55，56，57，它们两两之和为111，112，113.其次，第四个公斤数不可能是58，因为不然的话，便有58+55=56+57=113，得出了两个113，这与已知条件“两两合称，结果两两不同”相矛盾。取第四个公斤数为59，经过试验：
55+59=114，56+59=115，
57+59=116，
符合已知条件。类似地，可以求得第五个公斤数为62.
因此，这5箱苹果重量的公斤数分别是
55，56，57，59，62.
纸的高度
数学小组活动的时候，同学们都向小伶表示祝贺：“小伶成了电视明星了！”“小伶回答问题‘完全正确’（一个同学模仿电视台著名的节目主持人的口气），给咱们数学小组争了光！”
“哦，原来是那天看烹饪大师大奖赛时回答了一个问题，这没有什么！”小伶谦虚地说。
李老师及时引导同学们找“数学感觉”。“数学感觉”这个词是李老师自编的，其来源是体育界和音乐界：踢足球的常说“球感”，游泳的常说“水感”，搞音乐的常说“乐感”……
李老师说：“小伶回答的问题不是没有什么，而是大有文章可做，是数学里非常有趣而且有用的一个内容。”
同学们催李老师快讲。
李老师说：抻面条是把大面条抻长，绕，扣，再抻，每一扣都比上一次的面条根数增加一倍，而面条一次比一次抻得细。现在我们看一个相反的问题。
请同学们拿出刚发的《少年科学报》，打开，把这张报纸对折一次，一张变成了两层；好，再对折一次，两层变成了4层；再对折一次，4层变成了（小聪答话：8层），对。你们看看手边的一叠纸，变厚了吧！
“假定你的这张纸很大很大，要多大就有多大。你把这张纸像刚才这样对折30次后，再估计一下，这叠纸放在地面上应该有多高？”
小明举手问：“李老师，一张报纸的厚度是多少？”
李老师反问：“能量出一张纸有多厚吗？”
小聪拿起一本书和一块三角板，一边演示一边说：“我手中这本书的每一页的厚度，与这张报纸的厚度差不多。我用三角板量一量书的厚度，再看看这本书有多少页，就可以算出一张纸的厚度了。”停顿了一会儿，小聪接着说：“这本书的厚度约是12毫米，有150页，我算出一张纸的厚度约是0.08毫米。”
李老师说：“我们假设所用的那张很大很大的纸很薄很薄，比如说厚度只有0.01毫米。现在开始估计吧！谁先说？”
小明说：“大概有1米高吧！”
小俐说：“大概有10米高吧！”
小聪说：“大概有3层楼房高吧！”
小伶注意到李老师露出神秘的笑容，便大着胆子说：“大概有中央广播电视塔那么高吧！”
小明摇摇头，说：“哪能呢！要知道，中央广播电视塔是北京最高的建筑物，塔高405米呢！”
李老师也摇摇头，笑着说：“你们估计得太保守了！你们能想像得出，这个高度比世界第一高峰珠穆朗玛峰的海拔高度（小聪插话：8848米）还要高吗？这个高度比2000层的摩天大楼（每层高度以5米计算）还要高吗？不过这座摩天大楼，地球上还没有出现，是我想像中的。”
同学们都惊奇得瞪大着眼睛，异口同声地说：“哎呀！这么高呀！可能吗？”
这张纸对折30次，叠成了230张，而每张纸的厚度是0.01毫米，所以这叠纸的高度是
230×0.01=10737418.24（毫米）
≈10737（米），
超过了世界第一高峰珠穆朗玛峰的高度，也超过了想像中的两千层高（以每层高5米计算）的摩天大楼的高度。
还有使你更为惊奇的呢！如果你把这张纸对折50次，那么这叠纸的高度是
250×0.01=11258999068426.24（毫米）
≈11258999（公里），
大约是地球到月球的距离的30倍！
几只黑兔
小聪暑假期间到乡下外祖母家住了一个星期，他跟着大舅的儿子牛牛上河边钓鱼，去村后逮鸟，可有意思呢！
有一天，牛牛拿着两把镰刀，带小聪去河边割草。牛牛告诉小聪，他家和小聪的二舅家都养了百十来只兔子，原来是分开养的，因为现在农忙，便把两群兔子放在一起饲养。一会儿，小哥儿俩便割了一大筐草。牛牛背着草，小聪拿着镰刀，来到小聪的二舅家。
嗬，二舅家的后院成了养兔场，兔笼一个挨一个，笼里养着白兔和黑兔。牛牛告诉小聪，他们两家一共养了260只兔子，大舅家的兔群里有13%的黑兔，二舅家的兔群里有12.5%的黑兔。这时，牛牛眼珠一转，对小聪说：“你算算看，你大舅家和二舅家各养了多少只黑兔？”
小聪说：“我是数学小组的组员，正想显显身手呢！”他跑进屋里，拿起纸笔便写：
260×13%=33.8，
260×12.5%=32.5.
咦，奇怪了！
“牛牛哥，怎么算出来的黑兔数都是小数呀！”
“不会吧！黑兔数应该是整数。”
牛牛走过去一看小聪的算式，说：“唉，你把已知条件搞错了。我是说，大舅家的兔群里有13%的黑兔，二舅家的兔群里有12.5%的黑兔，不是说260只兔子的13%和12.5%。”
小聪挠挠头，问：“牛牛哥，你家有多少只兔子？”
牛牛笑着说：“这可是个关键数，我不能告诉你！你好好开动脑筋，一定能求出来的。”
小聪抓住关键，深入思考，终于算出了大舅家和二舅家的黑兔数。小哥儿俩到养兔场，一边给兔子添草，一边数数黑兔有几只，小聪还想验证自己的计算结果呢！
小聪后来是这样算的：
因为大舅的兔群里有13%的黑兔，所以，100只兔子里，就有13只黑兔；200只兔子里，就有26只黑兔。因为活兔子的数目是整数，所以，大舅家的兔群里只能有100只兔子或200只兔子。这样，二舅家的兔群里就有160只兔子或60只兔子。
因为160×12.5%=20，
60×12.5%=7.5，
而活兔子数不可能是小数，所以，二舅家的兔群里不可能有60只兔子，只能有160只兔子。于是，大舅家的兔群里有100只兔子。
因此，大舅家有13只黑兔，二舅家有20只黑兔。