北宋仁宗天圣九年（１０３１年），沈括诞生于一个官宦之家。在知书识礼的母亲许氏的抚育下，沈括从小就敏而好学，什么书都读，打下了博杂的学识基础。
沈括的父亲沈周，杭州人，从县令一直做到江南东路按察史、太常少卿，在宦海中沉浮了一辈子。沈括曾随父亲到过泉州、开封、南京、苏州，眼界开阔，上到士大夫、山林隐者，下到商贾医师、里巷小人，什么人都请教，积累了丰富的社会见识。
沈括自幼就形成了终生受益的学风，也在无意间为撰写《梦溪笔谈》积累了素材。
汴京城有家酒店，店堂不大，但酒很好。他们卖的酒是在乡间作坊专门酿造的，选用最好的杂粮、清纯的泉水，所以酒味醇香，常常吸引许多酒客。
小店前酒坛特别多。为招揽酒客，老板常把酒坛像叠罗汉似的整齐地堆起来，而且每一层都比下一层少一个坛，像个金字塔。
这堆酒坛吸引了不少酒客。忽然，有个青年书生来到酒店。老板想考考他：“客官，你知道这堆酒坛有多少个？”
青年书生说：“我不需要数，只要你告诉我有几层，每排有几个坛子，我便可以一下子告诉你。”
老板自忖，昨夜我数了半天，你就能一下算出来吗？便说：
“最上一层是四排，每排八个，第二层五排，每排九个……从上到下一共七排。”
老板话音刚完，那青年书生便应答道：“总共有五百六十七个酒坛，对吗？”
老板惊呆了，这正是他昨晚数得晕头转向的数字，他怎么一下子便算出了呢？于是立即请他进店，并亲自打开一坛酒，为他斟上一满碗，然后向他讨教是用什么方法算出的。
青年回答：“中间第四层有七十七个坛子，乘上总层数七，再加上一个稳定的数字二十八就行了。”
这书生就是青年沈括。他所解答的正是一道高级等差级数的求和问题，后来他把这些都写进《隙积术》一书之中。
宋仁宗至和元年（１０５４年），２３岁的沈括为父亲守丧期满，因其父亲的功名，朝廷任命他为沭阳县主簿。当时沐水泛滥，两岸被积水淤成沼泽。沈括修筑新堤，疏浚沐水，造出良田七千顷。他初涉政坛，政绩便十分显著。
然而，沈括并不愿永受父亲功名的庇护。嘉七年（１０６２年），沈括在苏州参加科举会试，名列第一。次年，他又考中进士，靠自己的才干进入官场后，首先是在天文学领域中崭露头角。他先被宰相文彦博看中，后被王安石重用，在熙宁五年（１０７２年）任提举司天监。在司天监，沈括重新制造革新天文仪器，举荐平民卫朴入司天监任职，主张实测日、月、五星，修改历法……这些使他有条件能在晚年制定《十二气历》。沈括的《十二气历》以立春为岁首，与现行的公历十分相似，但比现行各国使用的《格里高利历》更为科学，可惜未能得以推行。在司天监，为测定北极星的位置，连续三个月，他每天晚上在上半夜、午夜和下半夜三次起床观测天象，画下２００多幅星图，足见其严谨而科学的态度和坚韧的毅力。
此外，沈括在水利工程、农耕、军械制造方面都同样地显示出自己的才华，并时时提出许多精辟的科技见解。如熙宁六年（１０７３年）八月，沈括以河北西路察访使的身份考察太行山时，发现地层中有螺蚌、卵石带，据此推断这一带在远古时是海滨。
同年九月，沈括被王安石调回汴京，兼职主持军器监。他深入冶锻作坊，又研究了熟铁和钢，冷锻和热锻的区别。他取法西北少数民族青堂羌的技术，制成一种柔薄而韧、强弩射不穿的铁甲。
作为王安石的助手，在熙宁八年（１０７５年），沈括被派往北方与辽国谈判。沈括依据查阅到的档案材料和地图，驳斥了辽国欲将边境线南推３０余里的无理要求。经过六次激烈的辩论，辽使肖禧终于服输而归。沈括在归途中，悉心察看山川地势、河流道路、风土人情，写成《使契丹图钞》一书，这本书在军事上有很重要的作用。沈括还注意观察王安石。沈括发现王安石喜欢放生。他每到集市上买活鱼，都放生江中。那些活鱼一到江中，活蹦乱跳，但是泥鳅、鳝鱼放到江中，则昏头昏脑，往往难以存活。沈括根据这些情况验证孙思邈所说水有流水与止水的区别，因为泥鳅、鳝鱼是生活在静水之中的，放入流水中则难以存活。可见孙思邈在《千金方》中所言人参汤要用流水熬煮、用静水就不灵验这句话是正确的。
于是，王安石买到活鱼就放生江中，买到泥鳅、鳝鱼就放到池塘中去，真正做到了放生。
在汴京城内，沈括还常与画师、诗人们打交道，他以自己的科技知识解释一些有争议的艺术现象。
汴京大相国寺内有幅壁画，画的是几个管弦乐师在合奏一阕乐曲。有懂乐器演奏的人看后评论说：“画家画错了，当笛、箫吹奏‘四’字音时，那画中弹琵琶者的手指不按‘四’字音所在的上弦，却按在下弦，显然与大家不合调。”沈括也在场看这幅壁画，他听了这段评论后沉思一阵后说：“画家很懂音乐，很高明。弦乐跟管乐不同。吹奏管乐，手指头按什么音，就发什么音，动作与声音是同时的。演奏弦乐如弹琵琶则不同，只有当手指拨弦之后才会发声，动作要早于声音。因此，画中吹笛、箫者与弹奏琵琶者看起来是不同调的。”沈括的解释，堪称精通乐律的高见。
还有一次，几位文人一起品茶、论诗。有人谈起唐朝诗人白居易的《游庐山大林寺》，诗中有两句写道：“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。”诗题下标明这首诗写于唐代元和十二年四月九日（８１７年４月２８日），可知白居易的诗写错了，因为那时桃花早已开过。沈括也表示了不同的看法。他认为，高山上气温较低，所以花期要比平地迟一些，白居易既然是写庐山中的寺景，说桃花开得晚一些正是实事实景，没什么错。
宋神宗熙宁九年（１０７６年），沈括升迁为翰林学士、三司使（主管财政经济）。身居要职，沈括接受了绘制《天下州县图》的任务。由于王安石变法的失败，作为变法集团干将的沈括也受到株连被罢了官，以集贤院学士身份贬至宣州（今安徽宣城一带），一待就是四五年。沈括并不以丢官而沮丧、消沉，仍然绘制《天下州县图》。
神宗元丰三年（１０８０年），沈括重被起用，被任命为延路经略安抚使，负责西陲用兵事宜。沈括就职后，屡建军功，从西夏手中收复不少失地。
沈括在镇守州（今陕西县）、延州（今陕西延安）时，正值隆冬时节，大雪纷飞。延河两岸的一些帐篷上却热气腾腾，积雪均融化成流水。沈括看见这一情景，感到很奇怪，眼下大雪封山，木柴极缺，为什么帐篷内却炊烟不断？帐篷外却不见堆放的木柴。他好奇地走进帐篷，发现这里的人烧的是一种油状的液体。他问这东西是从哪儿来的。当地人告诉他，这是从石头缝里随着泉水一道流出来的，当地人便从水流中捞取装进坛中，看起来油亮亮的，在光照下还显现出彩色的光晕。
听到这里，沈括想：这既然是从石头中出来的，像油样还可以燃烧，给它取个名字叫作“石油”，岂不合适？这是人类史上最早给石油的命名，一直沿用至今。
沈括还仔细地观察石油的燃烧，发现石油燃烧的油烟很浓，帐篷上的帷幕都熏黑了。他推测可否像松烟一样做墨，于是亲自试验，扫集了许多石油的油烟，用水调制，压入模型中做成墨锭。写起字来，比松墨还要黑亮。他高兴极了，大量地制作了这种墨锭，模型上刻上“延川石液”，并将这作为上好礼品分赠亲友。在试验这墨锭时，沈括还兴致盎然地写下一首咏石油的《延州诗》：
二郎山下雪纷纷，旋卓穹庐学塞人。化尽素衣冬未老，石烟多是洛阳尘。
宋神宗元丰五年（１０８２年），沈括辖下将军不听将令，致使全军覆没。他以“处置失当”代人受过，被贬为均州（今湖北均县）团练副使，被安排在湖北随州居住。实际上是软禁在随州一个又冷又潮湿的法云禅寺里。
这次贬谪，可以说是彻底地结束了沈括的政治生涯。但他仍未消沉，又拿起笔，细细描绘那卷《天下州县图》。在随州三年，他就整整绘制了三年。
哲宗即位后，大赦天下，沈括改授秀州团练副使。重返两浙，离家乡近了，他的心情也好多了，又耗费了两年时间才修改完成《天下州县图》。这幅地图，高一丈二尺、宽一丈，还附有１９幅分图。这图幅之大，内容之详堪称是前无古人的。
从宋神宗熙宁九年（１０７６年）到宋哲宗元二年（１０８７年），沈括共耗费１１年的时间，才绘制成这幅《天下州县图》。次年，沈括将图送进朝廷，受到赏赐，并下令允许他自由地选择自己居住的地方，解除了对他的软禁。
沈括搬到润州（今江苏镇江市）居住，城里有他原先购置的一片田园。园内竹木茂密，亭台楼阁精美，沈括将它作为自己养老的处所，给它取名为“梦溪园”。直到宋哲宗绍圣二年（１０９５年）沈括逝世时为止，６５岁的沈括给世人留下了《梦溪笔谈》
等科学著作。
在“梦溪园”里，沈括深居简出，仔细回忆和整理自己一生的学识与见闻。因为每天与他谈话的，只有桌上的笔砚而已，所以他将自己的著作命名为《梦溪笔谈》。
《梦溪笔谈》连同《补笔谈》、《续笔谈》，总共３０卷，涉及军事、法律、文艺、考古、数学、物理、化学、生物、农医、工程等学科，其中关于科技的条目占一半的篇幅。所记录的科技成就有许多都列为世界第一：如根据化石推断古代气候的变迁，比西欧早４００多年；用流水侵蚀学说解释华北平原和雁荡山脉的成因，比西方类似学说早７００余年；《十二气历》比欧洲萧伯纳的农历早８００年；计算出围棋局总数是３３６１，并且估计它的布局方式可连写几十万字，这也是当时世界上绝无仅有的计算结果……英国科学史学家李约瑟认为：“沈括可算是中国整部科学史中最卓越的人物。”他的《梦溪笔谈》是“中国科学史上的里程碑”。
一个日本数学家三上义夫在一篇文章上写道：像沈括这样多才多艺的人物，“在全世界数学史上找不到，唯有中国出了这一个人。我把沈括称为中国数学家的模范人物或理想人物，是很恰当的。”
宋元数学四大名家
中国古代数学经过从汉到唐１０００多年的发展，在宋元时期（１０—１４世纪）达到了最高峰。宋元时期是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高，都可以称得上是中国古代数学史上最光辉的一页。尤其是从１３世纪中叶到１４世纪初叶，短短几十年的时间里，陆续出现了秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰四位著名的大数学家；他们是宋元数学的杰出代表。
秦九韶（１２０２—１２６１），字道古，鲁郡（今山东兖州）人，生于四川。青年时代，秦九韶随父亲来到临安（今浙江杭州），学习天文历法和数学。宝庆元年（１２２５年），秦九韶随父返回四川，绍定六年（１２３３年）前后做过县尉。
端平二年（１２３５年），秦九韶离开四川。后来做过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）守。淳四年（１２４４年）担任建康通判；同年十一月，因母丧回家守孝。在守孝的３年时间里，秦九韶埋头著述，于淳七年（１２４７年）完成巨著《数书九章》。时人称赞秦九韶“性极机巧，星象、音律、算术以及营造等事无不精究”。
守孝期满后，秦九韶又去做官，开始热衷于功名利禄。他攀附权臣贾似道，于宝六年（１２５８年）任琼州（今海南海口）守。后又追随吴潜，于开庆元年（１２５９年）任司农寺丞。景定元年（１２６０年），吴潜罢相，秦九韶受到牵连，被贬梅州（今广东梅县），不久死在任所。
《数书九章》共１８卷８１题，按用途分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易９类。该书突出的成就是对“大衍求一术”（整数论中的一次同余式解法）和“正负开方术”（数字高次方程的求正根法）的研究；其中的“大衍求一术”在世界数学史上占有崇高的地位。
李冶（１１９２—１２７９），生于金代大兴城（今北京）的一个官僚家庭。童年的李冶独自在元氏（今河北元氏）求学。１２３０年，李冶往洛阳应试，中词赋科进士。初授高陵（今陕西高陵）主簿，没有赴任，后担任钧州知事。１２３２年，蒙古军攻破钧州城，李冶弃职隐居晋北峰山（今山西绛县）一带。在此期间，他完成了数学名著《测圆海镜》。
１２５１年左右李冶回到元氏，并在封龙山买下田产。与张德辉和元裕的交往最密，当时人称“龙山三老”。
１２５７年５月，忽必烈召见李冶于上都（今内蒙古多伦附近）。他的回答得到忽必烈的赞赏。１２６１年，忽必烈征召李冶，遭到拒绝。１２６５年李冶被召为翰林学士，任职１年，以老病辞去。辞职后李冶隐居封龙山，１２７９年卒。
《测圆海镜》共１２卷，收１７０个问题，是最早记述“天元术”的著作。李冶还写了《益古演段》，共３卷６４个问题，是学习“天元术”的入门书。
杨辉（约１３世纪中叶），字谦光，杭州人。生平事迹史载很少。他一生中写过许多数学著作，有《详解九章算法》１２卷、《日用算法》２卷和《杨辉算法》７卷。在这些著作里收录了不少现已失传的、古代各类数学著作中非常有价值的算题和算法，为后世保存了十分宝贵的古代数学资料。
朱世杰（约１３世纪末１４世纪初人），字汉卿，号松庭，河北人。他著的《四元玉鉴》和《算学启蒙》是我国古代数学发展进程中的一个重要里程碑。既有以天元术和高次方程的解法等为代表的北方数学成就，也有日用和商用算法、各种歌诀等南方数学的成就。朱世杰不仅全面继承了中国古代数学的光辉遗产，而且还作出了创造性的贡献。
宋元四大数学家所取得的辉煌成就再次证明：宋元数学是中国传统数学的高峰，代表着当时世界的先进水平，在世界范围内处于遥遥领先的地位。
奋战在生命最后一刻的华罗庚
华罗庚是中国现代数学家，江苏金坛人。华罗庚自幼家境贫困，身有残疾，初中毕业后不久即辍学，但他自强不息，勤奋自学，１９２９年开始在上海《科学》杂志上发表论文，被熊庆来慧眼发现，推荐到清华大学任算学系助理兼管理员。华罗庚如鱼得水，努力学习数学，同时自修英文、德文。至１９３３年，华罗庚的水平与能力为大家所认识，被破格提升为助教，教授微积分课。他在解析数论方面获得了一系列出色成果，包括华林问题、哥德巴赫猜想、塔里问题研究。１９３６年，维纳将华罗庚推荐给英国剑桥大学著名数学家哈代，以访问学者身份赴英国剑桥大学进修。在英国华罗庚致力于解析数论，特别是圆法与三角和估计的研究。１９３８年回国任西南联大教授，致力多项研究。１９４１年，他完成了总结性的主要著作《堆垒素数论》。１９４６年赴美，先后任普林斯顿高等研究所研究员、伊利诺大学终身教授。１９５０年回国，历任清华大学教授、中科院数学研究所所长、中科院数理化学部主任、中国科技大学副校长、中科院副院长等职，为中国数学事业的发展作出了杰出贡献。
华罗庚是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数与多变函数等多方面研究的创始人与开拓者。他的多项成果成为数学领域的经典内容，如数论中的华氏不等式、维诺格拉多夫—华氏中值定理、华—王（元）方法、代数中的嘉当—布劳威尔—华定理、多变函数论中的华氏算子法等。他一生发表论文１５０多篇，１０余部专著，有些已列入２０世纪数学经典著作。他又是杰出的数学教育家，为国家培养出一大批优秀数学家，并为应用数学在中国的发展作出了重要贡献。１９８５年他在出席日本国际数学大会时，因心脏病突发倒在演讲台上。
数学家吴文俊