书城自然科学必解的数学密码
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第61章 摆满棋盘的麦粒

在印度,有一个古老的传说:“当时舍罕王打算重赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。宰相请舍罕王在棋盘的第一个小格内赏给他一粒麦子,在第二个格子内赏给他2粒麦子,第一个格赏给他22=4粒麦子……照此下去,每一格内的麦子都比前一小格的加一倍。舍罕王认为这样摆满棋盘上所有64格的麦粒也不过一小袋,就答应了宰相的要求。可是当宫廷数学家计算了这个数目之后,才发现整个国家仓库里的所有麦子全部给宰相还相差很多,甚至在全世界的土地上也不可能收获这么多的麦子。

这是怎么回事呢?这是一个等比数列(也称几何级数)求前64项和的问题。

根据等比数列求前几项和的公式:

Sn=a1(qn-1)q-1,(其中a1是等比数列{an}的第一项,q是公比,n为项数)而在该题中,a1=1,q=2,n=64,则:

S64=1×(264-1)2-1=264-1=18446744073709551615

这个数字是非常大的。可见,古印度在当时就有了几何级数的思想。

在中国两千多年前的《易经》、《九章算术》等著作中,都包含了等比数列的内容。