（第一节 ）符号化思想
数学的世界是一个符号化的世界，数学符号在很大程度上决定了数学发展的进程，符号化思想方法也是数学中最基本、最原始、最重要和最根本的思想方法之一。
“符号交流与传播数学思想的媒介”。一般说来，符号是人们约定用来指称一定对象的标志物，是用以表达和交换思想的工具。
符号的产生源了于人类“给予意义”的行为，即给予某种事物以某种意义，从某种事物中集会出某种意义。最简单的例子是日常生活中的命名行为，即给某事物赋予特别的名称，使这一名称具有特定的含义。
符号是传播意识的一种意愿标志，其核心就是用“某事物代表某事物”。任何符号总依赖于两个“某事物”之间相互依存的关系。人们就把这两项依次称作“符号形式（能指）”和“符号的内容（所指）”。瑞士著名语言学奠基人索基人尔抵称前者为“声音形象”，后者是“声音形象所表达的概念”。还有些学者把定两项称为“表达平面”和“内容平面”。任何一个符号都包括两个方面，即符号形式与符号内容。符号的功能是用符号的形式代表符号的内容，基础是“符号形式”和“符号内容”之间的相互依存关系。对于每一种符号来说，根据约定俗成、表达的含义等因素，相对稳定地表示一定的内容。而对于某成、表达的含义等因素，相对稳定地表示一定的内容。而对于某成、表达的含义等因素，相对稳定地表示一定的内容。而对于某种事物，人们常常习惯于用某种特定的符号形式来表示。例如用“△、⊙、≈、≌、∵、∴”来表示“三角形、圆、约等于、全等于、因为、所以”。对于一个符号来说，缺少这两项里的任何一项，“符号”以及’符号功能“都不能成立。如果只有一定的内容，滑给予一定的表示形式，也谈不上是“符号”或“符号内容”。现在，符号的概念已不再限于人类言语活动的一些标志，它已扩展到人类社会的很多方面。正如著名语言学家皮埃尔·吉罗所说：“我们是生活在符号之间的。”
数学的语方系统是一个符号化系统。现代数学如果没有精确化的符号是难以想的。用符号化表述数学的方法和内容是数学学科的一大特色。正因为数学语言的符号化，不同于一般的语言系统，如汉语、英语、法语、德语、俄语……，数学语言才更有可能成为一个国际化的语言。数学符号，按其性质可分为元素符号、关系符号、运算符号、约定和辅助符号。
数学符号一般具有以下几个方面的特征：
1.物质性。
符号是用来表示或代表另一事物的事物。因此，作为事物表示形式的符号，都上仍一定的意义，在形式上表现为一定的物质运动或存在形式。
2.抽象性。
数学学科本身的基本特点就是抽象性。数学是一种抽象化了的思想材料。例如，世界上根本就没有方程，自然也就不具备物质的意义，方程是人们从现实世界量的关系中抽象出来的思想材料。而化学中的元素符号C、H、O等，则具有客观存在的物质意义，而且它还客观存在于人脑之外的现实中。数学中的符号比一般科学中的符号抽象。
3.精确性。
数学符号不同于日常生活术语中的符号，数学中的结论也不同于实验科学中的结论。实验科学主要是通过重复实验来“验证”，而数学主要是依靠严格的推理来演绎“证明”。如果符号不精确，就很难保证推理能哆正确进行。
4.规范性。
符号与它指代的对象必须具有相对的稳定性，不能任改变符号的意义，或乱用符号来表示。常用的数学符号在国际上一般都有规范的统一的写法，表示同样的含义，以保证数学语言成为一个国际能用的语言，便于国际间的交流。
5.开放性。
数学符号系统是一个开放的系统，随着数学自身的不断发展而不断完善的符号系统。伟大的哲学家、数学家莱布尼茨被称为“符号学之父”，这是因为他在前人的基础上完善了无穷小运算的符号体系。一般说来，前人所创设的数学符号往往在后继的实践中能得以完善，并促进数学的发展。
数学的发展推动了数学符号的发展，同时数学符号的发展又促进了数学的发展，也就是说“数学的一切进步都是对引入符号的反应”。在数学发展史上，有人把17世纪叫做“天才的时期”，把18世纪叫做“发明的时期”。这两个世纪的数学为什么会有较大的发展呢？原因之一就是这两个世纪大量地创造了数学符号。
历史表明，数学符号与数学方法有密切的关系。数学上对一般方法论的关心出现于16-17世纪之间，它正是由于代数符号体系的建立而引起的。数学中的符号化思想方法受到近代数学方法论研究的格外重视。有人甚至认为，没有数学符号，就没有今天的数学。
1.符号对数学发展的影响。
数学符号演化的自身规律表明，数学的符号化必须适应数学体系发展的需要，“一种合适的符号要比一种不合适的符号更能反映真理”。符号的优劣直接影响数学发展速度的快慢。在数学的发过程中，一方面对符号的改革不断发展，另一方面符号的改进又加速了数学学科的发展。欧洲在阿拉伯数码输入之前，使用罗马数码。这种计数法中用“Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ，L，C，D，M”分别表示“1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，50，100，500，1000”。它不是进位制的，因此一个简单的数要写成长长的一串，这种笨拙的记数法在12世纪以盛行于欧洲，有的国家直到16世纪还在使用。那时，“做加减法已相当困难，会乘除法就可以称为专家了”。数学史料中记载了当时算术教科书中的一个乘法实例——235×4的计算过程：235写成CCXXXV。乘以4（Ⅳ），第一步是将CC，XXX，Y分别重复写4遍。
CCCCCCCC
XXXXXXXXXXXX
VVVV
第一行共有8个C，将5个C缩写成D（500），第二行10个X缩写成C（100），第三行缩写成XX（20），于是简写成：
DCCC
CXX
XX
再进一步合作，得到结果DCCCXL即940（XL是40）。
这只是用一位数去乘的情形，如果是多位数乘多位数，其复杂的程度不难想象。加法并不比乘法简单多少，乘法只是重复写若干遍，而加法要逐个数有多少个I，多少个V，多少个X，……，然后再缩写成所求的答案。至于分数运算，德文里有这样的谚语，形容一个人已经人绝境，束手待毙的时候就说他已“掉到分数里去了”。
这种情形严重地阻碍了数学的发展。正因为如此，用印度一阿拉伯数码代替罗马数码是势在必行，而印度一阿拉伯数码的使用就明显地促使数学得到迅速发展。
大陆派的学者在接受了莱布尼茨优越的符号以后，经过伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的进一步工作，很快地获得丰硕的成果，渗透到各个数学分支中去。英国的情况如何呢？苏格兰的克莱格（J.Craig）在1685年采用了莱布尼茨的概念和符号。三十多年后，由于英国人狭隘的民族偏见加上对牛顿的盲目崇拜，改用牛顿的“流数术”，迟迟不肯接受大陆派的成就，因此，其进展相应地落后了。
2．数学符号导致新的数学分支的产生。
数学符号的产生不仅影响了数学发展的进程，同时也导致了新的数学分支的产生。符号化使得数学本身以及以数学为主要工具的科学的面貌发生革命性的变化。
近代，代数学的发展起源于对方程的研究。代数和算术的主要区别在于：在计算过程中引入未知量，根据问题的条件列出方程，然后求出未知量的值。代数学的发展首要的一步就是用符号代表数字，用符号代表文字叙述。韦达第一个比较有意识地、系统地使用数学符号表示数字和算式，并对字母符号进行运算。正是因为这些符号的运用，才使得“代数”能够逐渐成为一门正式的学科而独立出来。
（第二节 ）函数和方程思想
大千世界的万物之间存在着千丝万缕的联系，事物之间的变化相互影响、相互制约、相互对应。函数正是数学中反映事物之间的联系和变化规律的重要方法。
数学方法的使用是一个漫长的历史过程。大约在15世纪，地球上的大多数人懂得了算术，会做加减乘除的简单运算。然而，最为人们常用而且将会普及的数学方法是什么？
“大概是函数观念”，芝加哥大学的尤什斯金(Usiskin)这样说。确实如此，在现实生活中，函数已经遍布各个领域，有很多现象可以用函数去刻画、表示和研究。随意翻开一份报纸，你就可能看到像股票走势图或者房地产价格变化率等函数图像。出租汽车的里程与计价之间就是一种函数关系，邮寄信件的重量与邮寄费之间是一种函数关系，还有银行的存款与利息之间也是一种函数关系等等。
在中学数学中，关于函数的知识和概念先后三次出现，第一次是在初中三年级时给出的，在一个变化过程中有两个变量戈与箩，如果对于某一范围内的菇的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说戈是自变量，y是戈的函数，这是用“变量”的概念来叙述函数的意义；第二次是在高中一年级时给出的，此时是在引进集合与对应等概念的基础上，用集合对应的观点解释函数的定义；最后，在高中三年级学习微积分时对函数作了进一步的介绍。
函数的基本思想是变量与变量之间的对应，掌握了函数思想就可以对中学数学的很多内容有更深刻的理解。这是由于函数是中学数学中很重要的一部分内容，它的重要性一方面是它的实用性，另一方面是它的统摄性。中学数学中的大部分知识都可以统一在函数的观点下，如数、式、方程、不等式、数列等，对于这些内容，如果能够用函数的观点去进一步认识和体会，则对这些知识和函数本身将有更深入的理解。
函数思想的特征主要表现在以下三个方面：
1．函数思想反映的量与量之间的关系是运动变化中的关系。算术研究的是具体的确定的常数以及它们之间的运算关系。代数研究的是一般抽象的未知数和符号所代表的数，并研究确定的常数和不确定的常数之间的依赖关系。函数研究的是变量之间的依赖关系，这与不定方程中不确定常数之间的依赖关系有质的不同。
2．“对应”是函数思想的本质特征。
对于函数y＝f(x)，我们更重要的是了解y按照怎样的条件所规定的关系依赖于x，即对应法则f是构成函数的基本要素。
3．自变量的蛮化处于主导地位。
函数的值域是由定义域通过对应法则所决定的，自变量的变化范围——定义域是函数的另一个基本要素。
在应用函数思想解题时，我们往往采用基本函数模型方法。也就是从各种复杂的函数中划分出基本函数类，这些基本函数是最常见的、最有用的函数，研究和总结基本函数的图像、性质及其解题的模式(方法)，然后把实际问题或其他复杂函数化归为基本函数来解决，这是基本函数模型方法。解题的基本步骤是：
1．确立基本函数模型。在中学数学学习中，重要函数模型有三类：①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)；②最简分式函数y=等ax+bcx+d(c≠0，ad≠bc)；③对数函数y=x+ax(a>0)。
2．总结基本函数的图像和性质，然后利用它的图像和性质来解题或类比基本函数的研究方法。函数有六大性质：定义域、最值性、周期性、奇偶性、单调性、值域。
3．建立函数，并把非基本函数化归为基本函数来解决。
例1证明恒等式(x-a)(x-b)(c-a)(c-b)+(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)(b-a)(b-a)=1。
思考与分析：该题如果利用从左到右进行恒等式变形将显得十分麻烦，但如果利用函数思想，把它看作是函数，再利用一元n次多项式在实数范围内至多有n个零点的思想来解显得非常简洁。
f(x)=(x-a)(x-b)(c-a)(c-b)+(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)(b-a)(b-a)-1又f(a)=f(b)=f(c)=0，因此，f(x)=0。
例2解方程11-2sinx-cos2x+5-2sin3x-sin6x=6-2cos2x-sin4x。
思考与分析：令f(x)=11-2sinx-cos2x+5-2sin3x-sin6xg(x)=6-2cos2x-sin4x。
∵f(x)=9+(1-SINX)2+4+(1-sin3x)2≥3+2＝5，
g(x)=5-(1-sin2x)2≤5．
∴当且仅当l-sinx=1-sin3x=1-sin2x=0时，
f(x)=g(x)，即sinx=1，x=2kπ+π2，K∈Z。
∴原方程的解为x=2kπ+π2，K∈Z。
本题从表面上看是一个十分复杂的三角方程，如果我们用通常的方法(比如恒等变形、代换等等)，很难解决问题。但我们通过构造两个函数f和g，利用函数取极值的条件，巧妙地得到了原方程的解。
利用函数关系探求方程的根、讨论极值或最值问题，通过构造函数解不等式等等，函数方法在这些方面的应用很多见，这样的例子在各种各样的习题集中能很轻易地找到。在此，不做更多的列举。
总之，函数分析的方法是探讨量与量之间的对应关系，并进一步研究与之相关的问题的重要方法，同样也是中学数学中的一个很重要的方法。
纵观方程思想的发展，我们可以发现，方程思想是指通过列方程(或方程组)与解方程(或方程组)来确定数学关系或解决问题的思维方式。它本质上体现了一种模式构造的思想。因此，我们认为，方程思想是反映客观事物数量关系的一种重要的数学模型，它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证关系的一种基本思想。其解题的基本程序是：
1．把问题归结为确定一个或几个未知量。
2．列出已知量与未知量之间按照条件必须成立的所有关系式(即方程)。
3．解所得的方程或方程组得出结果。
方程思想通常适用于解决有关方程、函数与不等式等方面的许多问题，这是因为这三者之间存在着某些相似之处，在一定条件下是可以相互转化、相互为用的。
方程思想的核心是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量(或参变量)之间的数量关系，抽象为方程(或方程组)、不等式等数学模型，然后通过对方程(或方程组)、不等式的变换求出未知量的值，使问题获解，方程思想体现了已知与未知的对立一。
中学生掌握方程思想可分为三个步骤。第一，学会代数设想。假定问题已解，即未知量客观存在且假设它已求出，然后用字母代表未知量，且与已知量平等对待。有时若想得到更一般的公式化结果，也可以用字母表示已知量。第二，学会代数翻译。透彻分析实际问题中已知量和未知量之间的关系，将用自然语言表达的实际问题翻译成用符号化语言表达的方程或不等式。第三，掌握解方程的思想。方程作为由已知量和未知量构成的条件等式，意味着未知量和已知量一样，享有平等的运算地位，即未知量在这里也变成了运算的对象，和已知量一样也可以参与各种运算。解方程的过程，实质上就是通过对已知量和未知量的重新组合，把未知量转化为已知量的过程，而且根据解题的需要，未知量和已知量还可以交换地位。