4.1地图投影的概念与若干定义
4.1.1地图投影的产生
经过长期的观察与测量，了解到地球的形状是一个近似球体，更确切地说是一个近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的椭球体。这种形体只有现在所做的地球仪大致可以保持与之相似。我们要了解地球上的各种信息并加以分析研究，最理想的方法是将庞大的地球缩小，制成地球仪，直接进行观察研究。这样，其上各点的几何关系——距离、方位、各种特性曲线及面积等可以保持不变。然而，一个直径30cm的地球仪，相当于地球直径的五千万分之一；即使直径1m的地球仪，也只相当于地球直径的一千三百万分之一。在这么小的球面上是无法表示庞大地球上的复杂事物的。并且，地球仪难以制作，成本高，也不便于量测使用和携带保管。
欲详细研究地球表面的情况必须依靠地图。地图比例尺可大可小，表示的内容可详可略，表示的区域可大可小。它可以详细表达地球表面上的各种自然及社会经济要素和现象，地图的制作、拼接、图上作业及携带保管都很方便。
通过测量的方法获得地形图，这一过程，可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点(测量控制点、地形点、地物点)用垂直投影的方法投影到图纸(见图4-1)。因为测量的可观测范围是个很小的区域，此范围内的地表面可视为平面，所以投影没有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、全球，这种投影方法就不适合了。
由于地球(或地球仪)面是不可展的曲面，而地图是连续的平面。因此，用地图表示地球的一部分或全部，这就产生了一种不可克服的矛盾——球面与平面的矛盾，如强行将地球表面展成平面，那就如同将橘子皮剥下铺成平面一样，不可避免地要产生不规则的裂口和褶皱，而且其分布又是毫无规律可循。为了解决将不可展球面上的图形变换到一个连续的地图平面上，就诞生了“地图投影冶这一学科。
4.1.2地图投影的定义
鉴于球面上任意一点的位置用地理坐标(渍，)表示，而平面上点的位置用直角坐标(x，y)或极坐标(r，兹)表示，因此要想将地球表面上的点转移到平面上去，则必须采用一定的数学方法来确定其地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法，称为地图投影。研究地图投影的理论、方法、应用和变换等学问的科学，称地图投影学或数学制图学，是地图学的一个分支学科。
4.1.3地图投影的实质球面上任一点的位置均是由它的经纬度所确定的，因此实施投影时，是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上，并将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网；然后再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。由此可见，地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面上，建立球面上点(渍，)与平面上对应点(x，y)之间的函数关系，用数学公式表达为：
这是地图投影的一般方程式，当给定不同的具体条件时，就可得到不同种类的投影公式，依据各自公式将一系列的经纬线交点(渍，)计算成平面直角坐标系(x，y)，并展绘在平面上，连接各点得到经纬线的平面表象(见图4-2)。经纬网是绘制地图的基础，是地图的主要数学要素。
4.1.4地图投影的基本方法
地图投影已有两千多年的历史，人们根据各种地图的要求，设计了数百种地图投影。地图投影的方法也有很多，通常可归纳为几何透视法和数学分析法。
1.几何透视法
系利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面上的一种投影方法。例如，假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般球体，在其球心、球面或球外安置光源，将透明球体上的经纬线、地物和地貌投影到球外的一个平面上，所形成的图形，即为地图。图4-3即是将地球体面分别投影在平面和圆柱体面上的透视投影示意图。几何透视法只能解决一些简单的变换问题，具有很大的局限性，例如，往往不能将全球投影下来。随着数学分析这一学科的出现，人们就普遍采用数学分析方法来解决地图投影问题了。
2.数学解析法
在球面与投影平面之间建立点与点的函数关系(数学投影公式)，已知球面上点位的地理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上对应坐标的一种投影方法。
4.1.5地图投影变形及研究对象与任务
把地球仪沿经线分裂后在极地四周直接展开的图见图4-4。
经过地图投影这一方法，虽然解决了球面与平面之间的矛盾，但在平面上表示地球的各部分，完全无误地表示是不可能的，即它们之间必有差异，存在变形。总体来讲，共有三种变形：一是长度变形，即投影后的长度与原面上对应的长度不相同了；二是面积变形。即投影后的面积与原面上对应面积不相等了；三是角度变形，即投影前后任意两个对应方向的夹角不相等了。
因此，地图投影研究的对象主要是将地球椭球面(或球面)描写到地图平面上的理论、方法及应用，以及地图投影变形规律。此外，还研究不同地图投影之间的转换和图上量算等问题。
地图投影的任务是建立地图的数学基础，它包括把地球面上的坐标系转化成平面坐标系，建立制图网——经纬线在平面上的表象。
地图测制的最初过程，概略地分为两步：一是选择一个非常近似于地球自然形状的规则几何体来代替它，然后将地球面上的点位按一定法则转移到此规则几何体上；二是将此规则几何体面(不可展曲面)按一定数学法则转换为地图平面。前者是大地测量学的任务，后者是地图投影学的任务。
整个地图投影过程见图4-8。
4.标准点和标准线
标准点，系地图投影面上没有任何变形的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。离开标准点愈远，则变形愈大。如图4-11所示，在图4-11(a)中，投影平面切在地球椭球体面某点，该点既在地球椭球体面上，也在投影平面上，这样的点投影后不产生任何变形。
标准线，系地图投影面上没有任何变形的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线。标准线分为标准纬线和标准经线(分别简称为标纬和标经)，并又各自分切纬线和割纬线或切经线和割经线。离开标准线愈远，则变形愈大。
在图4-11(b)中，圆锥与地球某纬线圈相切，在图4-11(c)圆柱在赤道上与地球相切，这些相切的纬线投影后均无变形。
在确定地图比例尺、分析地图投影变形分布规律、确定地图投影性质和在地图上进行量算，均要以标准点和标准线作为依据。
地图投影不可避免地产生变形，这是不以人们意志为转移的客观规律。我们研究投影的目的在于掌握各种地图投影变形大小及其分布规律，以便于正确控制投影变形。一般来说，地图投影变形越小越好，但对于某些特殊地图，要求地图投影满足特殊条件，那么就不是投影变形越小越好了。
4.2变形椭圆
4.2.1变形椭圆的基本概念
我们还可以利用解析几何的一些方法论述上面所阐述过的变形问题。变形椭圆就是常常用来论述和显示投影变形的一个良好的工具。变形椭圆的意思是，地面一点上的一个无穷小圆——微分圆(也称单位圆)，在投影后一般地成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。它是由法国数学家底索(Tissort)提出来的，亦称为底索曲线(底索指线)。图4-12是微分圆及其表象。
由于斜坐标系在应用上不甚方便，为此我们取一对互相垂直的相当于主方向的直径作为微分圆的坐标轴，由于主方向投影后保持正交且为极值的特点，则在对应平面上它们便成为2。因此，可以得出以下结论：微分
椭圆长、短半轴的大小，等于O点上主方向的长度比。这就是说，如果一点上主方向的长度比(极值长度比)已经确定，则微分圆的大小及形状即可确定。
从表4-1可以看出，变形椭圆在不同投影中是各不相同的。我们知道，一个椭圆只要知道它的长短半径a、b，则这个椭圆就可以完全确定了。关于计算a、b的解析式，将在后面研究。
从变形椭圆形状分析投影变形的方法如下。
表4-1中0栏表示投影中只有个别点或线上能保持主比例尺。1栏表示变形椭圆长、短半径a、b都比实地的r放长或缩短，但a=b，因此形状没有变化。2栏表示a，b中的一个等于1，另一个不等于1，因此形状有变化。3栏表示a，b都不等于1，但它们之间保持有一定的关系，即a=1/b或ab=1，因此形状变了但面积没有变化。4栏里的形状和面积均发生了变化。任何地图投影的变形性质，必属于表4-1中的某一栏。
4.2.2极值长度比和主方向
1.极值长度比
鉴于在某一点上，长度比随方向的变化而变化，通常不一一研究各个方向的长度比，而只研究其中一些特定方向的极大和极小长度比。地面微分圆的任意两正交直径，投影后为椭圆的两共扼直径，其中仍保持正交的一对直径即构成变形椭圆的长短轴。沿变形椭圆长半轴和短半轴方向的长度比分别具有极大和极小值，而称为极大和极小长度比，分别用a和b表示。极大和极小长度比总称极值长度比，是衡量地图投影长度变形大小的数量指标。极值长度比是个变量，在不同点上其值不等，即使在同一点上也随方向不同而变化。在经纬线为正交的投影中，经线长度比(m)和纬线长度比(n)即为极大和极小长度比。经纬线投影后不正交，其交角为兹，则经纬线长度比m，n和极大、极小长度比a，b之间具有下列关系：
2.主方向
过地面某一点上的一对正交微分线段，投影后仍为正交，则这两正交线段所指的方向均称为主方向。主方向上的长度比是极值长度比，一个是极大值，一个是极小值。在经纬线为正交的投影中，因交角兹=90。，故可得：
由此表明，此时经纬线长度比与极值长度比一致。经纬线方向亦为主方向。在经纬线不正交的网格上，变形椭圆的主方向与经纬线不一致，因此在实用时要研究经纬线的长度比。
4.2.3变形椭圆的作用
图4-14和图4-15是两个投影的示例。在投影中不同位置上的变形椭圆具有不同的形状或大小。我们把它们的形状同经纬线形状联系起来观察：在图4-14中，不同位置的变形椭圆形状差异很大，但面积大小差不多。实际上这是一个等面积投影。在图4-15中，在不同位置上变形椭圆保持为圆形，但面积差异很大。实际上，这是一个等角(正形)投影，故变形椭圆的长短半径相等，仍然是圆形，也就是形状没有变化。
从上面两个例子可以看出，变形椭圆确能直观地表达变形特征。
一个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形，在不同位置上的变形椭圆，常有不同的形状和大小(见表4-1)。
变形椭圆各方向上的半径长表示长度比。方向半径大于单位长度，则表示投影后长度增加；方向半径短于单位长度，则表示投影后长度缩短了；方向半径等于单位长度，则表示投影后长度不发生变形。
若变形椭圆的面积等于单位圆面积，则该点上无面积变形，大于单位圆面积表明投影后面积被放大，小于单位圆面积表明投影后面积被缩小。
变形椭圆的扁平程度反映了角度变形大小。变形椭圆长半径与短半径的比值越大，角度变形越大；其比值越接近于1，角度变形越小；长短半径相等，表明投影后角度无变形。
变形椭圆能生动、形象地显示投影变形。一个变形椭圆能同时显示某点的各种变形，一组变形椭圆能揭示全制图区域变形变化规律。但变形椭圆对变形的微小变化的显现较难区分，且绘制也比较困难。
4.2.4等变形线
等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变形变化状况。于是便计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法描绘出一定数量的等变形线以显示此种投影变形的分布及变化规律。这是在制图区域较大而且变形分布亦较复杂时经常采用的一种方法。
4.3投影变形的基本公式
在前两节介绍了地图投影的基本概念及投影变形的定义，还介绍了如何用变形椭圆来描述变形的性质和大小。本节对投影变形作进一步的研究。
4.3.1长度比公式
由于地图投影上的点变形是不相同的，我们先从普遍的意义上来研究某一点上变形变化的特点，再深入研究不同点上变形变化的规律，以便掌握整个投影的变形变化规律。各种变形(面积、角度等)均可用长度变形来表达，因此长度变形是各种变形的基础。为此，首先研究一点上长度比的特征。
按长度比定义，考虑到球面上的微分线段与平面上微分线段的比值，经推导可得任意一点与经线成角方向上的长度比为：
4.4地图比例尺
4.4.1地图比例尺的定义
要把地球表面多维的景观描绘在二维有限的平面图纸上，必然遇到大和小的矛盾。解决矛盾的办法就是按照一定数学法则，运用符号系统，经过制图综合，将有用信息缩小表示。
为了使地图的制作者能按实际所需的比例制图，亦为了使地图的使用者能够了解地图与实际制图区域之间的比例关系，便于用图，在制图之前必须明确制定制图区域缩小的比例，在制成的图上也应明确表示出缩小的比例。
特别应该强调，由于地图投影的原因，会造成地图上各处的缩小比例的不同，地图投影时，应考虑地图投影对地图比例尺的影响。
电子地图出现后，传统的比例尺概念发生了新的变化。在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概括程度、数据精度等都与比例尺密切相关，而在计算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比例尺的特征。
首先应该指出，在传统地图上所标明的缩小比率，都是指长度缩小的比率。
当制图区域较小、景物缩小的比率也比较小时，出于采用了各方面变形都较小的地图投影，因此图面上各处长度缩小的比例都可以看成是相等的。在该情况下，地图比例尺的含义是指图上某线段的长度l与其相应的实地长度D之比。用数学式表达如下：
在通常情况下，地图使用者可以用地图上标明的比例尺，在图上进行各种量算。
而当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大时，此时所采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。