③以学科教学为主的教育观。他主张把教学论看作教育学的基本部分，认为“教育不能离开教学”，应该通过教学，在传授知识的基础上来培养学生的道德。为此，他提出了“教育性教学”的理论，指出教学应该以多方面的兴趣为基础。这些兴趣，有些引向认识周围现实，有些引向认识社会生活。赫尔巴特指出六个方面的兴趣分别是：经验兴趣、思辨兴趣、审美兴趣、同情兴趣、社会兴趣和宗教兴趣。他认为，应该按照上述六个方面的兴趣，组建中小学学习的科目。
他提出教学的四个阶段是：从注意到明了(静态中钻研)，从注意到联想(动态中钻研)，从探究到系统化(静态中理解)，从行动中掌握到方法(动态中理解)。
④数学教育观。教授数学与讲授物理必须相互结合；引进相互依存的两个量的关系(函数)时，最好从自然界或者从物理学取材，务使学生的生活经验、动手操作与数学学习相互联系起来。
二、数学教育近代化运动
19世纪至20世纪中叶，西方主要国家的资本主义已经发展到帝国主义阶段，社会生产力和科学技术迅速发展，对人才有更高的要求。数学学科已经向纵深方向发展，形成了庞大的体系，然而，中学课程的内容严重滞后于数学学科的发展。另一方面，在资产阶级民主思想和人才观的影响下，教育学家、心理学家提出了一系列新颖的教育思想，对传统的教育观点和教学方法提出了挑战。
数学教育近代化运动在这种历史背景下开始了。这个运动的代表人物是英国教育家培利和德国数学家克莱因。因而，这个运动常常被称为培利克莱因数学教育近代化运动。
1．培利的数学教育主张
培利(Perry，1850—1920年)是英国工程师、数学教育家。1901年，在英国的格拉斯哥召开了数学家、物理学家、教育家联席会议。培利发表了著名演讲，提出有关数学教学改革的重要主张。根据这个演讲，他写成了著作《数学的教学》并于1902年发表。他的主张要点是：
①重视实验与应用。学生学习数学应该以实用为目的，因此，教师要通过实验、实测来进行数学教学；
②数学的价值观。数学是自然科学的武器，应用科学是以数学为基础的，数学能发展应用科学，能提供逻辑思维的方法，从而防止抽象空洞的发展哲学问题的倾向；
③数学教育的目标。即培养高尚的情操，欢快的心情；启发思考，培养逻辑思维能力。学生通过学习数学，可以像使用自己的手脚那样自由运用数学逻辑，终生受益；
④数学教学要从欧几里得《几何原本》中解放出来，要充分重视实验几何，重视各种实际测量和近似计算，要充分利用坐标纸，应该多教一点立体几何，应该尽早地教授微积分概念。
培利的上述主张，得到与会者的广泛支持。
2.克莱因的数学教育主张
克莱因(1849-1925年)是德国著名的数学家，生于德国的杜塞斯朵夫。1865年，克莱因进入波恩大学，成为数学家普吕克的学牛和助手。1870年，他到了巴黎，曾任哥廷根大学教授，为数学教育花费了很大的精力。1908年，在罗马召开的国际数学家大会上，设立了国际数学教育委员会，他被推选为中央委员。在第五届同一委员会上，他被选为该委员会主席。1913年，他担任了普鲁士科学院通信院士。他强调用近代数学观点来改造传统的中学数学内容，极力主张加强函数和微积分的教学，认为要充实代数学的内容，提出用变换的观点来改造传统的几何内容，主张把解析几何纳入中学数学的范围。
克莱因在数学上的主要成就是：
①在接受埃尔兰根大学教授的职位时，发表了题为《关于近代几何研究的比较》的著名演说，把欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何在椭圆、双曲线、抛物线几何学的名目下统一起来。他依据贝尔特兰米的成果，严密地证明了非欧几何的无矛盾性。
②用变换群的观点对几何学进行的分类，把各种几何学统一起来，论证了每一种几何学都有相应的群与之对应。例如，非欧几何就是关于测量群不变量的科学；射影几何就是关于射影去不变量的科学。这种理论被称为埃尔兰根纲领。它支配了在这以后的50年的几何学研究方向。
③证明了几何作图的三大难题为不可能问题。即三等分角、化圆为方、二倍立方体等问题，不可能用传统的尺规作图来实现。
④把群论用到线性微分方程、椭圆模函数、阿贝尔丽数及自守函数的研究，完成了自守函数的奠基性研究工作。
⑤发表了《关于黎曼的代数函数论》，把黎曼面的概念具体化，促进了这个领域的研究。
⑥领导哥廷根大学的应用数学的研究，使之取得与纯数学同样重要的地位。
克莱因在数学教育上的主张是：
①数学教育要适应数学的发展，适应教育科学的进步，要结合学生的心理选取和排列教材；
②在数学教学中要加强数学各分支间，以及数学与其他学科间的联系；
③淡化形式训练，强调实际应用，首次点明数学的实用价值；
④1908年，他的名著《用高观点研究初等数学》出版，提出要用近代数学的观点，改造传统的中学数学。他主张把解析几何纳入中学数学范围，加强函数概念，重视直观几何。
为了纪念克莱因在数学教育上的重大贡献，在2004年7月召开的第十届国际数学教育大会(ICME 10)上，国际数学教学委员会(ICMI)设立了以克莱因命名的数学教育终身成就奖，表彰在数学教育方面有杰出贡献的专家。
3．穆尔的数学教育主张
穆尔(Moore，1862—1932年)是美国数学家和数学教育家，曾任芝加哥大学教授，美国数学会副会长。他对数学的贡献主要在抽象代数、泛函分析、射影几何以及集合论方法等领域。
①在抽象代数方面，他在1893年证明了任何一个有限抽象域都与某一个伽罗华域同构。
②在泛函分析方面，他第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论。
③在射影几何方面，他遵循了皮亚诺的研究方法，对皮亚诺曲线给出了几何解释。
④在集合论方面，他与司密斯于1922年合著了《极限的一般理论》。
穆尔在数学教育上的主张是：
①实验方法是数学教学改革的重要步骤。1903年，他在全美数学年会上作了《关于数学的基础》的长篇报告，使数学与数学教育工作者受到很大的震动。
②在数学教学内容的处理方面，他认为，代数可以作为理论算术来教，几何图形可以与算术一起教，必须引入直观几何，从具体到抽象。
③在数学思想方法的教学上，要教学生正确地观察与思考，正确地推理，用语言、图形和方程表达有关事物。
④在数学学习方法上，学生应该经常进行训练，他们不是被动的听讲者，而是积极的活动家。
⑤在穆尔的推动下，芝加哥大学附中开设了相关数学课程，把教学的重点放在数学的相关与统一上，用综合的方法讲授算术、几何、代数、三角等内容。
4．近代化运动的展开和困难
1908年，国际数学教育委员会对中学数学教学提出了以下的改革意见：
①在数学学科的四个分支(算术、几何、代数、三角)之间建立紧密的联系；加强数学、物理两门课程的联系。
②在中学数学课程中增加高等数学的基础知识(如解析几何、数学分析等)，加强初等数学与高等数学的联系。
③在中学数学教学中，要加强函数在算术、代数中的作用，加强运动在几何中的作用。
④改变教科书中关于应用题的解法；加强分析法与综合法的作用。
⑤在数学教学中更广泛地使用探索法。
以培利、克莱因为首的数学教育近代化运动，其目的是改革中学数学课程内容和教学方法，对中学数学产生了深远影响。初等函数在中学数学的地位已经初步确立，上述的一些改革主张在部分国家得到响应。这项运动还有一个目的，就是要统一19世纪中学数学的许多分支，这是在当时难以达到也不必完全达到的。因此，这项工作进行到一定程度就遇到困难，加上两次世界大战的干扰，这个运动就中断了。然而，该运动所提出的改革，在20世纪中叶以后又得到继续。