证法（1）：构造两复数Z1=x1+i，Z2=x2+i，则
Z1=1+x21，Z2=1+x22，
Z1+Z2=(x1+x2)2+4
=21+x1+x222
Z1+Z2大于等于Z1+Z2
1+x21+1+x22大于等于21+x1+x222
两边同除以2即得所证之不等式。
证法（2）：构造一矩形，使一边AB=1，一边BC=x1+x2，点P在边BC上移动。边AP、BP，由平面几何知识知：在同底等高的三角形中，以等腰三角形的周长为最短，设M为BC之中点，则BM=CM=12（x1+x2）。于是有AP+DP大于等于AM+DM，由勾股定理1+x21+1+x22大于等于21+x1+x222。两边同除以2即得所证不等式。
例2是否存在常数a，b，c使得等式1×22+2×32+……+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)，对一切自然数n都成立？并证明你的结论。
解：由条件等式直接构造数列（an），使
an=1×22+2×32+……+n(n+1)2
=n(n+1)12(an2+bn+c)
因此an+1-an=n+112〔4(3-a)n2+(48-5a-3b)n+2(24-a-b-c)〕
令3-a=0，48-5a-3b=0，24-a-b-c=0，各得a=3，b=11，c=10。
这时a1=1×22-1×（1+2）12（3×12+11×1+10)=0。
故存在常数a=3，b=11，c=10，使得an=an-1=……=a1=0，即使所给式子对于一切自然数n都成立。
在解题中，根据问题的性质和条件，构造出某种几何图形、方程、函数等，然后通过它们来达到解题的目的，这就是构造法的解题思想。运用构造法解题，不仅要掌握数学各学科之间的内在联系和规律性，还需要抽象的思维，才能正确“猜想”和构造出解题所需要的几何图形、方程、函数等。
罗素悖论之趣
一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他只给不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管做怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
这是一个着名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个着名悖论用故事通俗地表述出来。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
说谎者悖论之趣
“我正在说的这句话是谎话。”——公元前4世纪的希腊哲学家欧几里德提出的这个悖论，至今还在继续困扰着数学家和逻辑学家。因为，如果你说它是真话，那么按照话的内容分析，它就应该是一句谎话；反过来，如果你说它是谎话，由于它说自己在说一句谎话，当然它就应该是一句真话了。那么，这句话到底是真话还是谎话呢？这就是着名的“说谎者悖论” 。
类似的悖论最早是在公元前6世纪出现的，当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过：“所有克里特岛人都说谎。”这句话就有两种理解：假如说他的话是对的，那么作为克里特岛人的爱皮梅尼特就是在说谎，他的话就是错的；反之，假如说他的话是不对的，那么克里特岛也有人不说谎，他的话就是对的。因而，无论怎样都无法自圆其说。仅这点就足以使人们感到惊讶了。
说谎者悖论有许多变化形式，例如，在同一张纸上写出下列两句话：
下一句话是谎话。
上一句话是真话。
或者写出一连串的“下一句话是真话”，最后标明：“第一句话是谎话。”
更有趣的是下面的对话。同学甲对他的朋友乙说：“你下句话要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或者‘不’来回答！”如果乙回答说：“是！”这就表明他同意了问话人的预言。也就是他要讲的是“不”，因此他的回答是与自己的本意相矛盾的。如果乙回答说：“不！”这就表明他不同意问话人的预言。因此，他就应当回答“是”，因而又与自己的本意相矛盾。究竟如何回答，这是数学家正在研究但尚未解决的问题。
强盗的难题之趣
古希腊有个哲学家，讲了一个故事。大意是：强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。为了戏弄这个商人，强盗头子对他说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了，我就杀掉你。”
聪明的商人仔细一想，便说：“你会杀掉我的。”于是强盗头子发呆了：“哎呀，我怎么办呢？如果我把你杀了，你就是说对了，那应该放你；如果把你放了，你就说错了，应该杀掉才是。”强盗头子想不到自己被难住了，心想商人也很聪明，只好将他放了。
如果不是这样，假如他说：“你会放了我的。”这样，强盗就可以说：“不！我会杀掉你的，你说错了，应该杀掉。”商人就难逃一死了。
物理奥秘探索
“公平杯”的原理
在一个普通的杯子里装上一根弯曲的管子就能变成一个有趣的“公平杯”。往这个杯中倒水，水不满时滴水不漏，但是倒得过满时，杯中的水顷刻间会全部漏完。贪得无厌反而一无所获，这就是“公平杯”这个名字的由来。
“公平杯”为什么会有这种本领呢？原来是杯子中安装的那根弯曲的管子——虹吸管在起作用。要揭开“公平杯”的秘密，必须先知道虹吸管的工作原理。
(一根一端长一端短的弯曲管中装满了水，设想在弯管的顶端中央有一个小液片，它受到左面和右面的压强分别是：PA和PB。而PA=P大气压-P水ghA，PB=P大气压-P水ghB。因为两管长短不等，而是hB大于hA，所以我们将得到PA大于PB，虹吸管顶端的液片在左右不相等的压强的作用下将向右面移动，而新补充升上来的液体又将在这左右不相等的压强的作用下继续向右移动，如此以往，水流将源源不断地从A端吸入而从B端流出，一直到A端的水全部流完为止。这就是虹吸管的工作原理。
知道了虹吸管的工作原理以后，“公平杯”的奥秘就可不揭自穿了。当杯中倒入的水高为h1时，虹吸管中的水未装满，因而不起作用。但是一旦到杯中的水装到高为h2时，虹吸管中装满了水，虹吸管就能发挥作用了，它能把水杯底的管口A吸入，从杯外的管口B流出，源源不断一直到杯中的水流完为止。
什么是反牙螺丝
我们平常拧螺丝时，一般都是用右手来拧的。顺时针方向旋转螺丝，螺丝向前，拧紧；逆时针方向旋转螺丝，螺丝后退，旋松(螺帽也是如此)，这种螺丝俗称顺牙螺丝。但是在某些转动的机械里，由于机器在转动时产生一个逆时针方向的力矩，如果使用顺牙螺丝，在较长时间转动中，这个逆时针转向的力矩有可能将螺丝旋松而脱落。所以在这些场合，设计了一种和顺牙螺丝相反方向的旋转螺丝，逆时针方向旋转螺丝，螺丝向前，拧紧；顺时针方向旋转则旋松。这种螺丝就叫做反牙螺丝。
例如在手表中，上发条时的中间传动齿轮是逆时针方向转动的。所以轮轴的螺丝应该用反牙螺丝，这样可以在使用中越用越紧。又如某些自行车的左踏脚天芯也是如此，这样才能在使用中越拧越紧。
水怎会流不出
小张高兴地搬进了新居。他买了一只蓄水缸，将处理过的净化水贮存在缸里备用。为了防止灰尘、蟑螂和各种小虫的钻入，他把缸盖得严严实实。但当他高兴地打开水龙头放水时，水流了一会却不肯出来了。小张很苦恼，你能帮他解决这个问题吗？
水怎会流不出了呢？原来，蓄水缸与水龙头组成了一个连通器，水要从水龙头流出，必须使缸内与水龙头同一水平面上的压强大于水龙头外的大气压强。开始，缸内液面上方气压与缸外相同，水依靠自身压强流出来。当水流出少许后，缸内液面逐渐下降，液体体积减小，气体体积增大，缸内气体压强就渐渐减小。当缸内气体压强加上水的压强等于缸外大气压时，水就流不出来了。
要想使缸内水能顺利地流出，缸盖就不能密封，就必须留一缝隙或在盖上留一小孔。
假如声速只有3米/秒
假如声音在空气里的传播速度不是340米/秒，只有3米/秒，那么将发生什么现象呢？
如果你驾驶汽车在街上，用鸣喇叭的方法来引起行人和车辆的注意还行吗？这时车速是声速的好几倍，在声音信号进入行人耳朵以前，一场车祸早已发生了。
还有，在上课时，你坐在椅子上听老师讲课，而老师如果有边讲话边走动的习惯，当他向你以声速的1／3的速度走来时，他先发的声音会跟后发的声音几乎同时挤在一起到达你的耳朵，你就很难听清老师说的是什么意思。
我们应当庆幸，事实上，声音在空气里的传播速度不是3米／秒，而是340米/秒。如果声速真的只有3米/秒的话，我们也许不得不考虑用什么来代替声音作为交流和传送信息的工具了。
“香蕉球”的奥秘