拉格朗日(Lagrange，1736-1813年)生于意大利都灵，商人之子，后其父破产家贫。拉格朗日回忆其家史时说，幸亏父亲经商赔光了家产，不然自己很可能当了一个渺小的投机商人而无缘数学了。
18世纪世界上有两位最伟大的数学家，一位是欧拉，另一位就是拉格朗日，至于他们两位谁更伟大一些，可以有不同的说法。
拉格朗日是父母拥有的11个孩子当中的最幼者，他的10个哥哥或姐姐都夭折了，拉格朗日成了父母唯一的下一代。
拉格朗日在意大利都灵受的教育，一直到大学毕业。其父本来想让拉格朗日学法律专业，拉格朗日17岁时偶然从朋友那里看到英国天文学家哈雷介绍微积分的论文《论分析方法的优点》，借回家仔细研读后对高等数学产生了浓厚的兴趣。18岁时他独立地证明积的求导公式。
［u(x)ν(x)］(n)=u(n)ν(0)+c1nu(n-1)ν(1)+…+u(0)ν(n)
拉格朗日把自己的证明寄给欧拉，欧拉回信除了鼓励拉格朗日的钻研精神外，同时如实地告诉拉格朗日说这个公式半个世纪前已由莱布尼兹建立且给出过证明，告诫拉格朗日要扩大自己的知识面，做学问不能孤陋寡闻关门自修。此事虽有些唐突，但拉格朗日还是有些成就感，而且得到欧拉的指点，从此他增强了做数学家的自信，广泛地研读了他能找到的数学名著。
1755年，19岁的拉格朗日被聘为都灵皇家炮兵学校教授，20岁即当选为柏林科学院院士。他从19岁开始研究变分法，1756年，他把关于变分法研究的系统理论呈递柏林科学院，文中首次提出“变分法”这门学科的名字。拉格朗日继承了伯努利和欧拉在变分法方面的思想，1761年发表《论确定定积分式极大和极小值的一种新方法》，此文是变分法的奠基著作之一。
1764年，拉格朗日解决了关于月球为什么同一面永远对着地球的悬赏难题而获得法国科学院大奖。1766年，拉格朗日解决了太阳、木星及其4个卫星之间摄动的“六体问题”二获法国科学院大奖。在这些工作当中，拉格朗日大量运用了微分方程的理论与方法。
1766年，德国普鲁士王腓特烈大帝邀请拉格朗日到柏林科学院任物理数学研究所所长。在邀请函中，这位国王说：“欧洲最大之王请求欧洲最大的数学家拉格朗日到我的国家工作。”拉格朗日接替欧拉担任柏林科学院物理数学研究所所长达20年之久。离开柏林后，拉格朗日到法国参加世界名校巴黎高等师范学校的创建，任教授多年，在该校进行高水平教学与科研，成就卓著。
在柏林工作期间，拉格朗日继续在天体力学上做出丰硕贡献，例如1772年，他的论文《论三体问题》与欧拉同时获奖；1774年，《论月球的长期方程》与1779年《由对行星活动的试验来研究彗星的摄动理论》两项研究成果又获大奖。
在微分方程方面，拉格朗日首先研究了常微分方程的奇解，且研究了变系数线性方程和微分方程组。
奇解是一种数学上有趣、物理上有用的解，它是不在微分方程通解之内，但与通解中的每解都相切的曲线(即通解曲线族的包络)。例如：
求一曲线，使得它的任一切线夹在两坐标轴之间的线段段之长为定长a>0。
设所求曲线为y=y(x)，则其切线为y-y=y＇(x-x)。
式中(x，y)是切线上的一点，(x，y)是切点，此切线与坐标轴交于(0，y-xy＇)与(x-yy＇，0)两点，由勾股定理及题意应有。
a2=(x-yy＇)2+(x+xy＇)2
y=xy＇±ay＇1+(y＇)2)
显然，此微分方程的通解为
y(x)=cx±ac1+c2
这是以任意常数c为斜率的直线族，与它们相切的曲线即为所求之曲线。
拉格朗日指出，若Γ∶y=y(x)是微分方程的奇解，且F(x，y，p)的偏导数连续，则对Γ上的任一点(x，y)，应满足。
F(x，y，p)=0F＇P(x，y，p)=0
于是方程y=xy＇±ay＇1+(y＇)2)的奇解y=y(x)应满足
y=xp±ac1+p2
x±11+p2［a1+p2-12(1+p2)-122pap］=0
消去p之后得
x23+y23=a23
这是一种叫做星形线的美丽曲线，见图42。
拉格朗日是奇解理论的创始人之一。
1772年-1779年，提出把一阶偏微分方程化成常微分方程组的“拉格朗日法”。
拉格朗日在政治上坚持人本主义的正义立场，对当权者的独裁与残暴深恶痛绝，例如当大化学家拉瓦锡(Lavoisier)走上断头台时，拉格朗日对这种愚蠢而血腥的判决十分愤恨，他大声疾呼：“暴君在刹那间就能砍掉一位大科学家的头，但是，一百年也不会再生出这样天才的一颗头颅了！”
拉格朗日是一位视事业高于生活的人，但他并非无情无义之辈，他到56岁才结婚。时年天文学家莱蒙尼尔的女儿经常从生活上照顾体弱多病的孤独的拉格朗日，并坚持要嫁给比她大几十岁的长者为妻，以便更周到地护理拉格朗日。拉格朗日晚年诚心诚意地向科学界宣告：“我在科学世界得到的全部荣誉，有我的温柔的、挚爱的年轻妻子的一份功劳。”
拉普拉斯评价拉格朗日时说：“牛顿和拉格朗日是世界上对科学进展最有功绩的人，他们最高度地掌握了发现一般原理、发现科学实质的方法，这种方法能够对抽象理论做出罕见的最优美的说明，这就是拉格朗日的特点。”
1783年，拉格朗日任都灵科学院名誉院长，1787年，接受法国国王路易十六的邀请定居法国，在巴黎生活了20年，完成了伟大的经典大作《分析力学》。在巴黎高等师范学校与巴黎理工大学培养了一大批世界第一流的科学家。
1797年，拉格朗日出版名著《解析函数论》，此书是函数论的宝藏。1801年出版《函数计算讲义》。拉格朗日的著作对后来数学研究有深远重大的影响，当时分析数学尚处于基础不完备的令人不满的年代，拉格朗日是使微积分严谨化的最早的第一流数学家。同时拉格朗日重视数学的普及，他说，一个数学家对自己的工作必须明白到这种地步，使得能把自己的研究成果向大街上遇到的任何人讲清楚，并给对方以深刻的印象时，才能说这个数学家的工作做到了底。
1799年拿破仑封拉格朗日为伯爵，当选上议院议员和荣誉军团成员，授予拉格朗日帝国大十字勋章。
1813年4月10日，拉格朗日因病去世。他的故乡意大利以及他工作过的柏林、巴黎都举行了追悼大会。拿破仑下令收集拉格朗日的论文手稿，作为重要文物，珍藏于巴黎科学院，且编辑出版了《拉格朗日文集》十四大卷。
拉格朗日是18世纪科学界的领袖人物，在数学、力学、天文学三门科学中都有伟大的成就，但他主要是一位数学家。他把数学分析与几何、力学划清界限，同时又有效地把数学分析(例如微分方程)大量应用于力学、几何和天文，使数学的独立性加强，应用性也加强。
拉格朗日是18世纪至19世纪数学力学史上承上启下的大科学家。